Temat

Ostrosłup i jego własności

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

X. Stereometria. Uczeń:

3. rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów;

6. oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka, kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń;

7. wykorzystuje zależności między objętościami brył podobnych.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Określanie rodzajów ostrosłupów.

3. Wskazywanie elementów ostrosłupa, odcinków i kątów w ostrosłupie.

Efekty uczenia

Uczeń:

- określa rodzaje ostrosłupów,

- wskazuje elementy ostrosłupa.

Metody kształcenia

1. Diamentowe uszeregowanie.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca grupowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie metodą diamentowego uszeregowania porządkują swoje wiadomości na temat wzajemnego położenia dwóch płaszczyzn, wzajemnego położenia dwóch prostych w przestrzeni oraz wzajemnego położenia prostej i płaszczyzny.

Efekty swojej pracy prezentują na planszach. Nauczyciel weryfikuje przedstawione informacje, wyjaśnia wątpliwości.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest poznanie własności ostrosłupa.

Uczniowie, pracując w grupach analizują materiał przedstawiony w aplecie. Stawiają hipotezy. Formułują wnioski.

Polecenie
Przeanalizuj materiał zawarty w aplecie. Sformułuj definicję ostrosłupa.

[Geogebra aplet]

Definicja
Ostrosłup to wielościan, którego jedna ściana, zwana podstawą, jest dowolnym wielokątem, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. Wierzchołek ten nazywamy wierzchołkiem ostrosłupa.

Uczniowie, pracując samodzielnie, określają zależności między rodzajem n‑kąta podstawy, a liczbą ścian, wierzchołków i krawędzi ostrosłupa. Formułują odpowiednie wnioski.

Polecenie
Podstawą ostrosłupa jest n‑kąt. Podaj zależności między liczbą n, a liczbą wierzchołków, krawędzi i ścian ostrosłupa.

Wniosek:

Jeżeli podstąwą ostrosłupa jest n‑kąt, to ostrosłup ten posiada:

- n+1 wierzchołków,

- n+1 ścian,

- 2n krawędzi.

Uczniowie, pracując samodzielnie, formułują określenia rodzajów ostrosłupów.

Definicja
Ostrosłup nazywamy prostym, jeżeli wszystkie jego krawędzie boczne mają taką samą długość.

Definicja
Ostrosłup nazywamy prawidłowym, jeżeli jest ostrosłupem prostym a jego podstawą jest wielokąt foremny.

Definicja
Ostrosłup prawidłowy trójkątny, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi, nazywamy czworościanem foremnym.

Uczniowie korzystając z nowych wiadomości rozwiązują zadania.

Polecenie
W pewnym ostrosłupie liczba ścian jest o 7 mniejsza od liczby krawędzi. Oblicz ile wierzchołków ma ten ostrosłup.

Polecenie
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa 4 dm, a długość krawędzi bocznej 6 dm. Oblicz wysokość tego ostrosłupa.

Polecenie
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość 10 dm, krawędź boczna 8 dm. Oblicz wysokość tego ostrosłupa.

Polecenie
Oblicz miarę kąta dwuściennego przy podstawie ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, jeśli wysokość ostrosłupa jest 3 razy krótsza od wysokości podstawy.

Polecenie
Suma długości krawędzi czworościanu foremnego jest równa 48 cm. Oblicz wysokość tego czworościanu.

Polecenie
Podstawą ostrosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 8 cm i 10 cm. Długość krawędzi bocznej jest równa 15 cm. Oblicz wysokości hIndeks dolny 1₁ i hIndeks dolny 2₂ dwóch różnych ścian bocznych tego ostrosłupa.

Polecenie dla chętnych
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat, a spodek wysokości znajduje się w jednym z wierzchołków tego kwadratu. Wiedząc, że wysokość ostrosłupa jest równa przekątnej podstawy, oblicz cosinus kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej ostrosłupa do krawędzi podstawy.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające. Wspólnie formułują definicję do zapamiętania:

- Ostrosłup to wielościan, którego jedna ściana, zwana podstawą, jest dowolnym wielokątem, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. Wierzchołek ten nazywamy wierzchołkiem ostrosłupa.

- Ostrosłup nazywamy prostym, jeżeli wszystkie jego krawędzie boczne mają taką samą długość.

- Ostrosłup nazywamy prawidłowym, jeżeli jest ostrosłupem prostym a jego podstawą jest wielokąt foremny.