Liczby wymierne. Wartość bezwzględna

Zimą możemy zaobserwować, że temperatura powietrza spada poniżej $0 ° C$ . Mówimy wówczas, że jest równa, na przykład $- 5 ° C$ , $- 12,5 ° C$ , $- 12 ° C$ . Liczby, za pomocą których zapisana jest ta temperatura, nazywamy ujemnymi.

RWXPIk9EAnBMw1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wysokość bezwzględna to pionowa odległość (wysokość) danego punktu względem przyjętego punktu odniesienia, którym jest średni poziom morza. Wysokość bezwzględna oznaczana jest skrótem n.m.p., czyli nad poziomem morza (Wikipedia).
Wysokość bezwzględną punktów leżących powyżej poziomu morza oznaczamy liczbami dodatnimi, a punktów leżących poniżej poziomu morza, tzw. depresji, liczbami ujemnymi.

Najniższy obszar na lądzie na kuli ziemskiej stanowi depresja Morza Martwego ( $396$ do $418$ m p.p.m, czyli $- 418$ do – $396$ m n.p.m)

Dotychczas poznaliśmy:

liczby naturalne : $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11$ , …
liczby całkowite: …, $- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4$ , …

Przykład 1

R1VJbW2zr7wfj1

Liczba wymierna

Definicja: Liczba wymierna

Liczba wymierna to liczba, którą można przedstawić w postaci ułamka $\frac{a}{b},$ gdzie $a$ i $b$ są liczbami całkowitymi i $b \neq 0$ .

Liczby wymierne

Własność: Liczby wymierne

Liczbami wymiernymi są liczby naturalne, całkowite i ułamki.

RxkoxIMhNIk8C1

"Przykłady liczb wymiernych: -5 — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Odwrotnością liczby $\frac{2}{7}$ jest liczba $3 \frac{1}{2}$ , ponieważ zamieniając liczbę $3 \frac{1}{2}$ na ułamek niewłaściwy, otrzymamy ułamek $\frac{7}{2}$ . Analogicznie parami liczb wzajemnie odwrotnych są

$\frac{1}{3}$ i $3$
$8$ i $0,125$
$4,6$ i $\frac{5}{23}$

Odwrotność liczby

Definicja: Odwrotność liczby

Liczba odwrotna do danej liczby $a$ , to taka liczba $b$ , że

a ∙ b = 1

Odwrotnością liczby $a$ , gdzie $a \neq 0$ jest liczba $\frac{1}{a}$ .

Zapamiętaj!

Iloczyn liczb wzajemnie odwrotnych jest równy $1$ .
Przykład
Liczba odwrotna do liczby $\frac{3}{4}$ to $\frac{4}{3}$ bo $\frac{3}{4} ∙ \frac{4}{3} = 1$ .

Przykład 3

Zaznaczmy na osi liczbowej pary liczb.

$2$ i $- 2$
$3$ i $- 3$
$0,5$ i $- 0,5$
RhtAFz3tNaYjb1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Co możemy powiedzieć o odległościach liczb $2$ i $- 2$ od zera? Zauważmy, że te odległości są równe $2$ . Podobnie odległość każdej z liczb $3$ i $- 3$ od zera wynosi $3$ a liczb $0,5$ i $- 0,5$ wynosi $0,5$ . Liczby $2$ i $- 2$ , $3$ i $- 3$ oraz $0,5$ i $- 0,5$ to pary liczb przeciwnych.

Liczba przeciwna

Definicja: Liczba przeciwna

Liczba przeciwna do danej liczby $a$ to taka liczba $- a$ , że zachodzi równość

a + (- a) = 0

Ważne!

Liczby przeciwne to takie liczby, które znajdują się po przeciwnych stronach $0$ na osi liczbowej i których odległość od $0$ jest taka sama.

Wartość bezwzględna

Definicja: Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna liczby $a$ jest to odległość liczby $a$ od zera na osi liczbowej.

R1L6uQbV0RSM61

Własności wartości bezwzględnej

Jeżeli liczba $a$ jest nieujemna $(a \geq 0)$ , to jej wartością bezwzględną jest ta sama liczba $a$ .
Jeżeli $a$ jest ujemna $(a < 0)$ , to jej wartością bezwzględną jest liczba przeciwna do $a$ , czyli $- a$ .
Wartość bezwzględną liczby $a$ oznaczamy $|a|$ .
Liczby przeciwne mają taką samą wartość bezwzględną.

Przykład 4

RWGbRhR2E2IQ91

Przykład 5

Rozwiążemy równanie $|x| = a$ , gdzie $a \geq 0 .$

R1JX0OGFWae0B1

iACq0R6JuZ_d5e321

Ćwiczenie 1

Uzasadnij, że podana liczba jest wymierna.

$- 3$
$0,4$
$2 \frac{3}{5}$
$- 3,2$
$0, (6)$
$- 1, (9)$

$- \frac{3}{1}$
$\frac{2}{5}$
$\frac{13}{5}$
$- \frac{16}{5}$
$\frac{2}{3}$
$- \frac{2}{1}$

Ćwiczenie 2

R1T5f86r4I6Hg1

Rozstrzygnij, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.

	Prawda	Fałsz
Liczbą odwrotną do $2, 5$ jest liczba $\frac{2}{5}$	□	□
Odwrotność liczby naturalnej nie jest liczbą wymierną.	□	□
Iloczyn liczby i liczby do niej przeciwnej wynosi $0$ .	□	□
Suma liczby i liczby do niej przeciwnej wynosi $0$ .	□	□

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Zaznacz daną liczbę na osi liczbowej. Pamiętaj o odpowiednim doborze jednostki.

$\frac{1}{5}$
$- 2,3$
$- \frac{3}{7}$
$\frac{5}{3}$
$- 3,75$
$- \frac{8}{7}$

Ćwiczenie 4

Odczytaj liczby, które odpowiadają punktom na osi liczbowej.

Rt5zm4tq7pGjt1

"Rysunki dwóch osi liczbowych z zaznaczonymi punktami -1 i 0. Na osiach zaznaczone punkty A, B, C, D, E. Na pierwszej osi odcinek jednostkowy podzielony na cztery równe części. Szukane punkty: A – w połowie między punktami -1 i 0 — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$A = - \frac{1}{2}$ , $B = - 1 \frac{1}{4}$ , $C = \frac{1}{4}$ , $D = - 1 \frac{5}{8}$ , $E = \frac{5}{8}$
$A = - \frac{6}{7},$ $B = \frac{1}{7}$ , $C = - \frac{3}{7},$ $D = - 1 \frac{1}{14},$ $E = - \frac{3}{14}$

Ćwiczenie 5

ReldKT0kS07k21

Przeciągnij liczby z dolnej sekcji do górnej.

Naturalne
Całkowite
Wymierne
Ujemne
Mniejsze od $- 3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 6

Wszystkie liczby całkowite wybrane ze zbioru liczb $- 26$ , $- 5$ , $- \frac{4}{2}$ , $- 1$ , $- 0,5$ , $0,$ $\frac{10}{5}$ , $3$ , $\frac{9}{4}$ , $12$ to

R1dSxiE8rAMyq

$- 26, - 5, - 1, 0, 3, 12$
$0, 3, 12$
$- 26, - 5, - \frac{4}{2}, - 1, 0, \frac{10}{5}, 3, 12$
$0, \frac{10}{5}, 3, 12$

static

Ćwiczenie 6

Wszystkie liczby całkowite wybrane ze zbioru liczb $- 26$ , $- 5$ , $- \frac{4}{2}$ , $- 1$ , $- 0,5$ , $0,$ $\frac{10}{5}$ , $3$ , $\frac{9}{4}$ , $12$ to

R1RwEA45FcIk2

$- 26, - 5, - 1, 0, 3, 12$
$0, 3, 12$
$- 26, - 5, - \frac{4}{2}, - 1, 0, \frac{10}{5}, 3, 12$
$0, \frac{10}{5}, 3, 12$

classicmobile

Ćwiczenie 7

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

Ryb7Xkw59Ayfx

Każda liczba naturalna jest liczbą wymierną.
Każda liczba wymierna jest liczbą całkowitą.
W zbiorze liczb całkowitych nie ma najmniejszej liczby.
$1, (4)$ nie jest liczbą wymierną.

static

Ćwiczenie 7

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R199Wfs5YaaJ2

Każda liczba naturalna jest liczbą wymierną.
Każda liczba wymierna jest liczbą całkowitą.
W zbiorze liczb całkowitych nie ma najmniejszej liczby.
$1, (4)$ nie jest liczbą wymierną.

iACq0R6JuZ_d5e617

Ćwiczenie 8

Oblicz.

$|4|$
$|- 3|$
$|\frac{3}{5}|$
$|- 2 \frac{1}{3}|$
$|- 0,66|$
$|- 1, (2)|$

$4$
3
$\frac{3}{5}$
$2 \frac{1}{3}$
$0,66$
$1, (2)$

Ćwiczenie 9

R14AhPm19UJmt1

Przeciągnij pasujące elementy z sekcji dolnej do górnej.

Liczby przeciwne
Liczby odwrotne

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 10

Odwrotnością liczby $- 2,4$ jest liczba

RRvD7w9d1YfLQ

$2,4$
$- \frac{24}{10}$
$\frac{5}{12}$
$- \frac{5}{12}$

static

Ćwiczenie 10

Odwrotnością liczby $- 2,4$ jest liczba

R153i6ee92vdS

$2,4$
$- \frac{24}{10}$
$\frac{5}{12}$
$- \frac{5}{12}$

classicmobile

Ćwiczenie 11

Liczbą przeciwną do $\frac{3}{8}$ jest

RI9tAIV2sjOuD

$- \frac{8}{3}$
$- \frac{3}{8}$
$\frac{8}{3}$
$2 \frac{2}{3}$

static

Ćwiczenie 11

Liczbą przeciwną do $\frac{3}{8}$ jest

R5h9OWDzEMveb

$- \frac{8}{3}$
$- \frac{3}{8}$
$\frac{8}{3}$
$2 \frac{2}{3}$

classicmobile

Ćwiczenie 12

Oblicz wartość wyrażenia $2 \frac{1}{4} + 3 ∙ (\frac{1}{3} + \frac{1}{2})$ . Liczba odwrotna do otrzymanej liczby, to

RPeXOkxbOFMBh

$\frac{4}{19}$
$- \frac{4}{19}$
$\frac{19}{4}$
$- \frac{19}{4}$

static

Ćwiczenie 12

Oblicz wartość wyrażenia $2 \frac{1}{4} + 3 ∙ (\frac{1}{3} + \frac{1}{2})$ . Liczba odwrotna do otrzymanej liczby, to

R1D9nx7SYTUUj

$\frac{4}{19}$
$- \frac{4}{19}$
$\frac{19}{4}$
$- \frac{19}{4}$

classicmobile

Ćwiczenie 13

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RpeE517kly9dN

Suma liczby i liczby do niej przeciwnej wynosi $0$ .
Iloczyn liczby i liczby do niej przeciwnej wynosi $0$ .
Odwrotność liczby naturalnej różnej od zera nie jest liczbą wymierną.
Liczbą przeciwną do odwrotności liczby $2,5$ jest liczba $- \frac{2}{5}$ .

static

Ćwiczenie 13

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1R7eiL3tXRrS

Suma liczby i liczby do niej przeciwnej wynosi $0$ .
Iloczyn liczby i liczby do niej przeciwnej wynosi $0$ .
Odwrotność liczby naturalnej różnej od zera nie jest liczbą wymierną.
Liczbą przeciwną do odwrotności liczby $2,5$ jest liczba $- \frac{2}{5}$ .

Ćwiczenie 14

R1SdEFuNXlpvS1

Wybierz.

naturalną, nieskończone nieokresowe, dodatnią, wymierna, dodatniej, ujemnej, naturalna, skończone

Każda liczba .................................................. jest liczbą całkowitą. Liczba przeciwna do liczby całkowitej .................................................. jest liczbą naturalną. Odwrotność liczby naturalnej różnej od zera jest liczbą ................................................... Liczba, która ma rozwinięcie dziesiętne .................................................. nie jest liczbą wymierną.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wielokąty foremne

Porównywanie liczb wymiernych