Liczby wymierne. Wartość bezwzględna

Zimą możemy zaobserwować, że temperatura powietrza spada poniżej $0 ° C$ . Mówimy wówczas, że jest równa na przykład $- 5 ° C$ , $- 12, 5 ° C$ , $- 12 ° C$ . Liczby, za pomocą których zapisana jest ta temperatura, nazywamy ujemnymi.

RhJNFKxRAWvov1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wysokość bezwzględna to pionowa odległość (wysokość) danego punktu względem przyjętego punktu odniesienia, którym jest średni poziom morza. Wysokość bezwzględna oznaczana jest skrótem n.p.m., czyli nad poziomem morza (Wikipedia).

Wysokość bezwzględną punktów leżących powyżej poziomu morza oznaczamy liczbami dodatnimi, a punktów leżących poniżej poziomu morza, tzw. depresji, liczbami ujemnymi.

Najniższy obszar na lądzie na kuli ziemskiej stanowi depresja Morza Martwego
( $396$ do $418 m$ p.p.m., czyli $- 418$ do $- 396 m$ n.p.m.)

Dotychczas poznaliśmy:

liczby naturalne : $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ , $10$ , $11$ , $\dots$
liczby całkowite: $\dots$ , $- 4$ , $- 3$ , $- 2$ , $- 1$ , $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $\dots$

Przykład 1

R6VCQh5kPKr7j1

Liczba wymierna

Definicja: Liczba wymierna

Liczba wymierna to liczba, którą można przedstawić w postaci ułamka $\frac{a}{b}$ , gdzie $a$ i $b$ są liczbami całkowitymi i $b \neq 0$ .

Liczby wymierne

Własność: Liczby wymierne

Liczbami wymiernymi są liczby naturalne, całkowite i ułamki.

Rh6SR8f4S05Vd1

Ilustracja przedstawia przykłady liczb wymiernych umieszczone w zbiorze będącym elipsą. Liczby te to: minus pięć, zero, siedem ósmych, trzy i siedem dziesiątych, dwa i trzy czwarte, 24, minus jedna druga. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Odwrotnością liczby $\frac{2}{7}$ jest liczba $3 \frac{1}{2}$ , ponieważ zamieniając liczbę $3 \frac{1}{2}$ na ułamek niewłaściwy, otrzymamy ułamek $\frac{7}{2}$ . Analogicznie parami liczb wzajemnie odwrotnych są

$\frac{1}{3}$ i $3$
$8$ i $0, 125$
$4, 6$ i $\frac{5}{23}$

Odwrotność liczby

Definicja: Odwrotność liczby

Liczba odwrotna do danej liczby $a$ , to taka liczba $b$ , że

a \cdot b = 1

Odwrotnością liczby $a$ , gdzie $a \neq 0$ jest liczba $\frac{1}{a}$ .

Zapamiętaj!

Iloczyn liczb wzajemnie odwrotnych jest równy $1$ .

Przykład:

Liczba odwrotna do liczby $\frac{3}{4}$ to $\frac{4}{3}$ bo $\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1$ .

Przykład 3

Zaznaczmy na osi liczbowej pary liczb.

$2$ i $- 2$
$3$ i $- 3$
$0, 5$ i $- 0, 5$
RIQ8TtHhN3Qku1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Co możemy powiedzieć o odległościach liczb $2$ i $- 2$ od zera? Zauważmy, że te odległości są równe $2$ . Podobnie odległość każdej z liczb $3$ i $- 3$ od zera wynosi $3$ a liczb $0, 5$ i $- 0, 5$ wynosi $0, 5$ . Liczby $2$ i $- 2$ , $3$ i $- 3$ oraz $0, 5$ i $- 0, 5$ to pary liczb przeciwnych.

Liczba przeciwna

Definicja: Liczba przeciwna

Liczba przeciwna do danej liczby $a$ to taka liczba $- a$ , że zachodzi równość

a + (- a) = 0

Ważne!

Liczby przeciwne to takie liczby, które znajdują się po przeciwnych stronach $0$ na osi liczbowej i których odległość od $0$ jest taka sama.

Wartość bezwzględna

Definicja: Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna liczby $a$ jest to odległość liczby $a$ od zera na osi liczbowej.

R1M96C3A8XwgH1

Własności wartości bezwzględnej

Jeżeli liczba $a$ jest nieujemna ( $a \geq 0$ ), to jej wartością bezwzględną jest ta sama liczba $a$ .
Jeżeli liczba $a$ jest ujemna ( $a < 0$ ), to jej wartością bezwzględną jest liczba przeciwna do $a$ , czyli $- a$ .
Wartość bezwzględną liczby $a$ oznaczamy $|a|$ .
Liczby przeciwne mają taką samą wartość bezwzględną.

Przykład 4

RFZ0rWXP7c2pl1

Przykład 5

Rozwiążemy równanie $|x| = a$ , gdzie $a \geq 0$ .

R1Z2op0UxulX51

Ćwiczenie 1

Uzasadnij, że podana liczba jest wymierna.

$- 3$
$0, 4$
$2 \frac{3}{5}$
$- 3, 2$
$0, (6)$
$- 1, (9)$

R1XRKYCX4BB79

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przedstaw każdą liczbę w postaci ułamka $\frac{a}{b}$ , gdzie $a$ i $b$ są liczbami całkowitymi i $b \neq 0$ .

$- \frac{3}{1}$
$\frac{2}{5}$
$\frac{13}{5}$
$- \frac{16}{5}$
$\frac{2}{3}$
$- \frac{2}{1}$

R5KzGaVJTmlJi1

Ćwiczenie 2

Łączenie par. Rozstrzygnij, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.. Liczbą odwrotną do

2, 5

jest liczba

\frac{2}{5}

. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Odwrotność liczby naturalnej nie jest liczbą wymierną.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Iloczyn liczby i liczby do niej przeciwnej wynosi

0

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Suma liczby i liczby do niej przeciwnej wynosi

0

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Rozstrzygnij, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.

	Prawda	Fałsz
Liczbą odwrotną do $2, 5$ jest liczba $\frac{2}{5}$	□	□
Odwrotność liczby naturalnej nie jest liczbą wymierną.	□	□
Iloczyn liczby i liczby do niej przeciwnej wynosi $0$ .	□	□
Suma liczby i liczby do niej przeciwnej wynosi $0$ .	□	□

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Zaznacz daną liczbę na osi liczbowej. Pamiętaj o doborze odpowiedniej podziałki.

$\frac{1}{5}$
$- 2, 3$
$- \frac{3}{7}$
$\frac{5}{3}$
$- 3, 75$
$- \frac{8}{7}$

R12temUHdjlYV

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RApLVogYhnOBf

Ćwiczenie 3

Uzupełnij luki, przeciągając odpowiedź we właściwe miejsce.
Liczbą odwrotną do liczby

\frac{1}{5}

jest 1.

(- \frac{2}{3})

, 2.

\frac{3}{2}

, 3.

- \frac{1}{5}

, 4.

8

, 5.

- 1

, 6.

0, 75

, 7.

5

, 8.

1

, 9.

- \frac{1}{8}

, 10.

- \frac{4}{3}

, a liczbą przeciwną do niej jest liczba 1.

(- \frac{2}{3})

, 2.

\frac{3}{2}

, 3.

- \frac{1}{5}

, 4.

8

, 5.

- 1

, 6.

0, 75

, 7.

5

, 8.

1

, 9.

- \frac{1}{8}

, 10.

- \frac{4}{3}

.
Liczbą odwrotną do liczby

(- \frac{3}{2})

jest 1.

(- \frac{2}{3})

, 2.

\frac{3}{2}

, 3.

- \frac{1}{5}

, 4.

8

, 5.

- 1

, 6.

0, 75

, 7.

5

, 8.

1

, 9.

- \frac{1}{8}

, 10.

- \frac{4}{3}

, a liczbą przeciwną do niej jest liczba 1.

(- \frac{2}{3})

, 2.

\frac{3}{2}

, 3.

- \frac{1}{5}

, 4.

8

, 5.

- 1

, 6.

0, 75

, 7.

5

, 8.

1

, 9.

- \frac{1}{8}

, 10.

- \frac{4}{3}

.
Liczbą odwrotną do liczby

1

jest 1.

(- \frac{2}{3})

, 2.

\frac{3}{2}

, 3.

- \frac{1}{5}

, 4.

8

, 5.

- 1

, 6.

0, 75

, 7.

5

, 8.

1

, 9.

- \frac{1}{8}

, 10.

- \frac{4}{3}

, a liczbą przeciwną do niej jest liczba 1.

(- \frac{2}{3})

, 2.

\frac{3}{2}

, 3.

- \frac{1}{5}

, 4.

8

, 5.

- 1

, 6.

0, 75

, 7.

5

, 8.

1

, 9.

- \frac{1}{8}

, 10.

- \frac{4}{3}

.
Liczbą odwrotną do liczby

- \frac{3}{4}

jest 1.

(- \frac{2}{3})

, 2.

\frac{3}{2}

, 3.

- \frac{1}{5}

, 4.

8

, 5.

- 1

, 6.

0, 75

, 7.

5

, 8.

1

, 9.

- \frac{1}{8}

, 10.

- \frac{4}{3}

, a liczbą przeciwną do niej jest liczba 1.

(- \frac{2}{3})

, 2.

\frac{3}{2}

, 3.

- \frac{1}{5}

, 4.

8

, 5.

- 1

, 6.

0, 75

, 7.

5

, 8.

1

, 9.

- \frac{1}{8}

, 10.

- \frac{4}{3}

.
Liczbą odwrotną do liczby

0, 125

jest 1.

(- \frac{2}{3})

, 2.

\frac{3}{2}

, 3.

- \frac{1}{5}

, 4.

8

, 5.

- 1

, 6.

0, 75

, 7.

5

, 8.

1

, 9.

- \frac{1}{8}

, 10.

- \frac{4}{3}

, a liczbą przeciwną do niej jest liczba 1.

(- \frac{2}{3})

, 2.

\frac{3}{2}

, 3.

- \frac{1}{5}

, 4.

8

, 5.

- 1

, 6.

0, 75

, 7.

5

, 8.

1

, 9.

- \frac{1}{8}

, 10.

- \frac{4}{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Odczytaj liczby, które odpowiadają punktom na osi liczbowej.

R8FsXmQU1XaAD1

Rysunki dwóch osi liczbowych z zaznaczonymi punktami -1 i 0. Na osiach zaznaczone punkty A, B, C, D, E. Na pierwszej osi odcinek jednostkowy podzielony na cztery równe części. Szukane punkty: A – w połowie między punktami -1 i 0 — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$A = - \frac{1}{2}$ , $B = - 1 \frac{1}{4}$ , $C = \frac{1}{4}$ , $D = - 1 \frac{5}{8}$ , $E = \frac{5}{8}$
$A = - \frac{6}{7}$ , $B = \frac{1}{7}$ , $C = - \frac{3}{7}$ , $D = - 1 \frac{1}{14}$ , $E = - \frac{3}{14}$

R1X288J1vFgHB

Ćwiczenie 4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RgSTUnoerJKoG2

Ćwiczenie 5

Poniżej przedstawione są pewne liczby. Określ, czy podane liczby są naturalne, całkowite, wymierne, ujemne, czy mniejsze od

- 3

. Przeciągnij każdy element do odpowiedniej grupy lub wybierz prawidłowe odpowiedzi z listy rozwijalnej. W żadnym polu nie można wstawić dwóch takich samych liczb. Naturalne Możliwe odpowiedzi: 1.

- 5

, 2.

\frac{21}{7}

, 3.

5

, 4.

- \frac{12}{3}

, 5.

- \frac{5}{2}

, 6.

- 5

, 7.

5

, 8.

12

, 9.

- 5

, 10.

5

, 11.

- \frac{12}{3}

, 12.

\frac{8}{2}

, 13.

- \frac{6}{2}

, 14.

\frac{21}{7}

, 15.

- 5

, 16.

- 0, (2)

, 17.

12

, 18.

12

, 19.

1

, 20.

- 0, (2)

, 21.

- 10

, 22.

- 10

, 23.

- \frac{12}{3}

, 24.

- 10

, 25.

\frac{8}{2}

, 26.

\frac{8}{2}

, 27.

1

, 28.

- \frac{6}{2}

, 29.

- \frac{5}{2}

, 30.

\frac{0}{3}

, 31.

1

, 32.

\frac{0}{3}

, 33.

- 10

, 34.

1, 1

, 35.

\frac{0}{3}

, 36.

\frac{21}{7}

, 37.

- \frac{12}{3}

, 38.

- \frac{6}{2}

Całkowite Możliwe odpowiedzi: 1.

- 5

, 2.

\frac{21}{7}

, 3.

5

, 4.

- \frac{12}{3}

, 5.

- \frac{5}{2}

, 6.

- 5

, 7.

5

, 8.

12

, 9.

- 5

, 10.

5

, 11.

- \frac{12}{3}

, 12.

\frac{8}{2}

, 13.

- \frac{6}{2}

, 14.

\frac{21}{7}

, 15.

- 5

, 16.

- 0, (2)

, 17.

12

, 18.

12

, 19.

1

, 20.

- 0, (2)

, 21.

- 10

, 22.

- 10

, 23.

- \frac{12}{3}

, 24.

- 10

, 25.

\frac{8}{2}

, 26.

\frac{8}{2}

, 27.

1

, 28.

- \frac{6}{2}

, 29.

- \frac{5}{2}

, 30.

\frac{0}{3}

, 31.

1

, 32.

\frac{0}{3}

, 33.

- 10

, 34.

1, 1

, 35.

\frac{0}{3}

, 36.

\frac{21}{7}

, 37.

- \frac{12}{3}

, 38.

- \frac{6}{2}

Wymierne Możliwe odpowiedzi: 1.

- 5

, 2.

\frac{21}{7}

, 3.

5

, 4.

- \frac{12}{3}

, 5.

- \frac{5}{2}

, 6.

- 5

, 7.

5

, 8.

12

, 9.

- 5

, 10.

5

, 11.

- \frac{12}{3}

, 12.

\frac{8}{2}

, 13.

- \frac{6}{2}

, 14.

\frac{21}{7}

, 15.

- 5

, 16.

- 0, (2)

, 17.

12

, 18.

12

, 19.

1

, 20.

- 0, (2)

, 21.

- 10

, 22.

- 10

, 23.

- \frac{12}{3}

, 24.

- 10

, 25.

\frac{8}{2}

, 26.

\frac{8}{2}

, 27.

1

, 28.

- \frac{6}{2}

, 29.

- \frac{5}{2}

, 30.

\frac{0}{3}

, 31.

1

, 32.

\frac{0}{3}

, 33.

- 10

, 34.

1, 1

, 35.

\frac{0}{3}

, 36.

\frac{21}{7}

, 37.

- \frac{12}{3}

, 38.

- \frac{6}{2}

Ujemne Możliwe odpowiedzi: 1.

- 5

, 2.

\frac{21}{7}

, 3.

5

, 4.

- \frac{12}{3}

, 5.

- \frac{5}{2}

, 6.

- 5

, 7.

5

, 8.

12

, 9.

- 5

, 10.

5

, 11.

- \frac{12}{3}

, 12.

\frac{8}{2}

, 13.

- \frac{6}{2}

, 14.

\frac{21}{7}

, 15.

- 5

, 16.

- 0, (2)

, 17.

12

, 18.

12

, 19.

1

, 20.

- 0, (2)

, 21.

- 10

, 22.

- 10

, 23.

- \frac{12}{3}

, 24.

- 10

, 25.

\frac{8}{2}

, 26.

\frac{8}{2}

, 27.

1

, 28.

- \frac{6}{2}

, 29.

- \frac{5}{2}

, 30.

\frac{0}{3}

, 31.

1

, 32.

\frac{0}{3}

, 33.

- 10

, 34.

1, 1

, 35.

\frac{0}{3}

, 36.

\frac{21}{7}

, 37.

- \frac{12}{3}

, 38.

- \frac{6}{2}

Mniejsze od

- 3

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 5

, 2.

\frac{21}{7}

, 3.

5

, 4.

- \frac{12}{3}

, 5.

- \frac{5}{2}

, 6.

- 5

, 7.

5

, 8.

12

, 9.

- 5

, 10.

5

, 11.

- \frac{12}{3}

, 12.

\frac{8}{2}

, 13.

- \frac{6}{2}

, 14.

\frac{21}{7}

, 15.

- 5

, 16.

- 0, (2)

, 17.

12

, 18.

12

, 19.

1

, 20.

- 0, (2)

, 21.

- 10

, 22.

- 10

, 23.

- \frac{12}{3}

, 24.

- 10

, 25.

\frac{8}{2}

, 26.

\frac{8}{2}

, 27.

1

, 28.

- \frac{6}{2}

, 29.

- \frac{5}{2}

, 30.

\frac{0}{3}

, 31.

1

, 32.

\frac{0}{3}

, 33.

- 10

, 34.

1, 1

, 35.

\frac{0}{3}

, 36.

\frac{21}{7}

, 37.

- \frac{12}{3}

, 38.

- \frac{6}{2}

Przeciągnij liczby z dolnej sekcji do górnej.

Naturalne
Całkowite
Wymierne
Ujemne
Mniejsze od $- 3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R14rZxnilGx4F2

Ćwiczenie 6

$- 26, - 5, - 1, 0, 3, 12$
$0, 3, 12$
$- 26, - 5, - \frac{4}{2}, - 1, 0, \frac{10}{5}, 3, 12$
$0, \frac{10}{5}, 3, 12$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RmHWOJLIe6kNX2

Ćwiczenie 7

Każda liczba naturalna jest liczbą wymierną.
Każda liczba wymierna jest liczbą całkowitą.
W zbiorze liczb całkowitych nie ma najmniejszej liczby.
$1, (4)$ nie jest liczbą wymierną.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R141H3eBYx1dl2

Ćwiczenie 8

Oblicz.

|4|

Możliwe odpowiedzi: 1.

4

, 2.

\frac{3}{5}

, 3.

2 \frac{1}{3}

, 4.

3

, 5.

0, 66

, 6.

1, (2)

|- 3|

Możliwe odpowiedzi: 1.

4

, 2.

\frac{3}{5}

, 3.

2 \frac{1}{3}

, 4.

3

, 5.

0, 66

, 6.

1, (2)

|\frac{3}{5}|

Możliwe odpowiedzi: 1.

4

, 2.

\frac{3}{5}

, 3.

2 \frac{1}{3}

, 4.

3

, 5.

0, 66

, 6.

1, (2)

|- 2 \frac{1}{3}|

Możliwe odpowiedzi: 1.

4

, 2.

\frac{3}{5}

, 3.

2 \frac{1}{3}

, 4.

3

, 5.

0, 66

, 6.

1, (2)

|- 0, 66|

Możliwe odpowiedzi: 1.

4

, 2.

\frac{3}{5}

, 3.

2 \frac{1}{3}

, 4.

3

, 5.

0, 66

, 6.

1, (2)

|- 1, (2)|

Możliwe odpowiedzi: 1.

4

, 2.

\frac{3}{5}

, 3.

2 \frac{1}{3}

, 4.

3

, 5.

0, 66

, 6.

1, (2)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RYSLzwkYDmaEu2

Ćwiczenie 9

Poniżej przedstawiono pewne pary liczb. Określ, czy są to liczby przeciwne, czy odwrotne. Przeciągnij każdy element do odpowiedniej grupy lub wybierz prawidłowe odpowiedzi z listy rozwijalnej.. Liczby przeciwne Możliwe odpowiedzi: 1.

2, 2

\frac{5}{11}

, 2.

0, 375

\frac{8}{3}

, 3.

- 2, 4

\frac{12}{5}

, 4.

\frac{1}{4}

4

, 5.

- 3, 5

\frac{7}{2}

Liczby odwrotne Możliwe odpowiedzi: 1.

2, 2

\frac{5}{11}

, 2.

0, 375

\frac{8}{3}

, 3.

- 2, 4

\frac{12}{5}

, 4.

\frac{1}{4}

4

, 5.

- 3, 5

\frac{7}{2}

Przeciągnij pasujące elementy z sekcji dolnej do górnej.

Liczby przeciwne
Liczby odwrotne

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1eTcvJ2ZVdU72

Ćwiczenie 10

$2,4$
$- \frac{24}{10}$
$\frac{5}{12}$
$- \frac{5}{12}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RdPlshoqyU6ut2

Ćwiczenie 11

$- \frac{8}{3}$
$- \frac{3}{8}$
$\frac{8}{3}$
$2 \frac{2}{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1cb4mbvgMeCp3

Ćwiczenie 12

$\frac{4}{19}$
$- \frac{4}{19}$
$\frac{19}{4}$
$- \frac{19}{4}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R45nLRZLaYlHP3

Ćwiczenie 13

Suma liczby i liczby do niej przeciwnej wynosi $0$ .
Iloczyn liczby i liczby do niej przeciwnej wynosi $0$ .
Odwrotność liczby naturalnej różnej od zera nie jest liczbą wymierną.
Liczbą przeciwną do odwrotności liczby $2,5$ jest liczba $- \frac{2}{5}$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RM79r95q0FenV3

Ćwiczenie 14

Wybierz.

naturalna, wymierna, naturalną, dodatnią, dodatniej, ujemnej, nieskończone nieokresowe, skończone

Każda liczba .................................................. jest liczbą całkowitą. Liczba przeciwna do liczby całkowitej .................................................. jest liczbą naturalną. Odwrotność liczby naturalnej różnej od zera jest liczbą ................................................... Liczba, która ma rozwinięcie dziesiętne .................................................. nie jest liczbą wymierną.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.