Liczby
Życie codzienne w wieku jest zdominowane przez świat liczb. Używamy ich praktycznie codziennie, na przykład gdy zapisujemy datę, numer PESEL, kiedy płacimy rachunki, podajemy wynik meczu, lub pieczemy ciasto według przepisu.
Cyfry w naszym świecie są tak powszechne i oczywiste, że mogłoby się wydawać, iż istnieją od zawsze. Nic bardziej mylnego. Zapis cyfr, z których zbudowane są liczby, zmieniał się na przestrzeni dziejów i różnych kultur.
Już w bardzo dawnych czasach pojawił się problem zapisu liczb. Nie wystarczyła sama umiejętność liczenia, trzeba było prowadzić rejestry upolowanej zwierzyny, broni, wojowników, do czego niezbędne były zapisy liczbowe.
Cyfra to umowny znak służący do zapisywania liczb. Słowo cyfra pochodzi z języka arabskiego od słowa sifr, czyli zero. Obecnie używane cyfry nazywane arabskimi tak naprawdę są pochodzenia hinduskiego.
Cyfry używane współcześnie upowszechniły się dopiero w epoce nowożytnej.
Cyfry arabskie są to znaki: .
Ciekawostką jest bardzo późne pojawienie się symbolu zera, dopiero około wieku n.e. Wynikało to z trudności uznania zera za liczbę. Liczbę wiązano z konkretną ilością na przykład bloków kamiennych do budowy piramid, natomiast zero oznaczało nic, brak przedmiotów.
System liczbowy indyjsko‑arabski nazywany jest układem dziesiątkowym pozycyjnym. System dziesiątkowy oznacza, że dziesięć jednostek niższego rzędu tworzy jedną jednostkę bezpośrednio wyższego rzędu, np. dziesięć jedności tworzy jedną dziesiątkę, dziesięć dziesiątek tworzy jedną setkę.
Pozycyjny system oznacza, że znaczenie cyfry jest zależne od pozycji, jaką zajmuje ona w liczbie.
Film dostępny na portalu epodreczniki.pl
Animacja
Film dostępny na portalu epodreczniki.pl
Animacja
Oto kilka nazw dużych liczb:
– milion
– miliard
– bilion
– biliard
– trylion
– tryliard
Liczby naturalne
Liczby naturalne to:
Najmniejszą liczbą naturalną jest zero.
W zbiorze liczb naturalnych nie ma liczby największej.
Zapisz słownie każdą z liczb.
Zapisz następujące liczby.
dwadzieścia milionów pięć
trzy miliardy trzy miliony trzydzieści tysięcy
pięćdziesiąt bilionów miliard sto
trzy tryliony dwadzieścia bilionów sto jeden
jeden tryliard jeden miliard
dwanaście tryliardów dwanaście bilionów sto dwadzieścia milionów dwanaście
Przeciągnij i upuść.
12 zer, 10 zer, 14 zer, 8 zer
a) Do zapisania liczby dwa miliardy pięćset milionów użyto ............ .
b) Do zapisania liczby cztery biliony trzysta trzy miliardy użyto ............ .
c) Do zapisania liczby biliard sto trzy biliony sto użyto ............ .
d) Do zapisania liczby siedemnaście trylionów miliard cztery tysiące dwanaście użyto ............ .
Odpowiedz na pytania.
Ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych?
Ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych zaczynających się od cyfry parzystej?
Ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych parzystych?
Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych, których suma cyfr jest równa ? Podaj te liczby.
Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy ? Podaj te liczby.
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
- W zapisie liczby trylion występuje zer.
- Wszystkich liczb dwucyfrowych o niepowtarzających się cyfrach jest .
- Najmniejszą liczbą czterocyfrową, w której suma cyfr wynosi jest .
- Największą liczbą trzycyfrową, w której cyfra setek jest o dwa mniejsza od cyfry jedności jest .
Oto kilka własności działań w zbiorze liczb naturalnych. Niech będą liczbami naturalnymi.
Dodawanie jest działaniem przemiennym, czyli .
Dodawanie jest działaniem łącznym, czyli .
Mnożenie jest działaniem przemiennym, czyli .
Mnożenie jest działaniem łącznym, czyli .
W zbiorze liczb naturalnych wykonalne są działania dodawania i mnożenia, tzn. wyniki tych działań są liczbami naturalnymi.
Dzielenie nie jest działaniem wykonalnym w zbiorze liczb naturalnych, ponieważ wynik dzielenia może nie być liczbą naturalną.
Odejmowanie nie jest działaniem wykonalnym w zbiorze liczb naturalnych, ponieważ wynik odejmowania może nie być liczbą naturalną.
Nie można wykonać dzielenia przez liczbę .
Liczba jest podzielna przez , ponieważ . Mówimy, że liczba jest dzielnikiem liczby .
Nie każdą liczbę naturalną możemy podzielić przez liczbę naturalną dodatnią bez reszty. Na przykład reszta, ponieważ i . Zatem liczba nie dzieli się przez liczbę bez reszty.
Liczba jest podzielna przez każdą liczbę naturalną z wyjątkiem .
Liczbę naturalną większą od nazywamy liczbą pierwszą, jeżeli jej jedynymi dzielnikami są liczby i . Liczby naturalne większe od , które nie są liczbami pierwszymi nazywamy liczbami złożonymi. Liczby i nie są ani liczbami pierwszymi, ani złożonymi.
Cechy podzielności
Liczba jest podzielna przez , jeżeli jest podzielna przez i .
Liczba jest podzielna przez , jeżeli od liczby powstałej przez skreślenie trzech ostatnich cyfr odejmiemy liczbę skreśloną i otrzymana liczba jest podzielna przez .
Liczba jest podzielna przez , jeżeli jej trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez lub są zerami.
Liczba jest podzielna przez , jeżeli w jej rzędzie jedności jest cyfra .
Przeciągnij elementy z dolnej sekcji do górnej.
3243, 351, 2166, 184, 170, 1355, 208, 5553, 126, 712, 6505
| Liczby podzielne przez 3 | |
|---|---|
| Liczby podzielne przez 4 | |
| Liczby podzielne przez 5 |
Jaka to liczba?
Najmniejsza liczba czterocyfrowa podzielna przez .
Największa liczba trzycyfrowa podzielna przez .
Zosia ponumerowała strony swego kartkowego pamiętnika. Cyfrę napisała
- razy
- razy
- razy
- razy
Aby liczba była podzielna przez i w miejsce kropek należy wpisać
W wyniku dzielenia pewnej liczby naturalnej przez otrzymujemy i reszta . Ta liczba to
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
- Liczba jest wielokrotnością liczby .
- Najmniejszą liczbą pierwszą jest .
- Jedyną liczbą pierwszą parzystą jest liczba .
- Jeżeli liczba jest dzielnikiem pewnej liczby , to jest też dzielnikiem .
W pewnym sklepie jest metrów bieżących czerwonej wstążki. Pierwsza klientka chce kupić kawałki wstążki o długości metry każdy, a druga kawałki wstążki o długości metrów każdy.
Ile kawałków wstążki może kupić każda klientka?
Której klientce sklep powinien sprzedać wstążkę, aby w sklepie pozostało jak najmniej metrów wstążki?
Na zegarze jest godzina . Którą godzinę będzie wskazywał zegar za minut?
Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność
Największym wspólnym dzielnikiem dodatnich liczb naturalnych i (oznaczamy nazywamy największą liczbę naturalną, która jest jednocześnie dzielnikiem liczby i liczby .
Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb naturalnych dodatnich i (oznaczamy nazywamy najmniejszą liczbę naturalną dodatnią, która jest podzielna przez liczbę i liczbę .
Oblicz, stosując metodę rozkładu na czynniki pierwsze.
i
i
i
Zuzia planuje przyjęcie urodzinowe. Spodziewa się na urodzinach czterech lub pięciu koleżanek, a każdą koleżankę pragnie poczęstować taką samą liczbą ciastek. Ile co najmniej ciastek musi upiec Zuzia?
Wychowawczyni klasy gimnazjum otrzymała długopisów i notesów dla uczniów swojej klasy. Chciałaby rozdać uczniom wszystkie otrzymane przedmioty. Ilu uczniów otrzyma podarunki, jeżeli każdy uczeń ma dostać od wychowawczyni taką samą liczbę długopisów i taką samą liczbę notesów?
W domu państwa Nowaków, zbudowanym w roku, postanowiono średnio co lata wymieniać dywan w salonie, a co lata odświeżać ściany, malując je nowym kolorem.
W którym najbliższym roku czeka państwa Nowaków wymiana dywanu i malowanie ścian jednocześnie?
Ile razy do roku może się to jeszcze wydarzyć? Kiedy to będzie?
Film dostępny na portalu epodreczniki.pl
Animacja
Skorzystaj z algorytmu Euklidesa i oblicz liczb: .
Poszukaj w dostępnych źródłach informacji o liczbach doskonałych.
Zapoznaj się z cechą podzielności liczb przez
Poszukaj w dostępnych źródłach informacji, na czym polega schemat wyznaczania liczb pierwszych nazywany sitem Eratostenesa. Wypisz wszystkie liczby pierwsze mniejsze od .
Poszukaj w dostępnych źródłach informacji, co to są liczby względnie pierwsze. Sprawdź, czy liczby i są względnie pierwsze.