Metoda przeciwnych współczynników rozwiązywania układów równań

Metoda przeciwnych współczynników polega na tym, aby po dodaniu lub odjęciu równań stronami wyeliminować jedną z niewiadomych i otrzymać równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

REzx4R1zgBzwR1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Omawiana metoda rozwiązywania układów równań nazywa się metodą przeciwnych współczynników, ponieważ gdy współczynniki przy wybranej niewiadomej są liczbami przeciwnymi, wystarczy dodać równania stronami w celu zredukowania jednej zmiennej i otrzymania równania z jedną niewiadomą.

Przykład 1

RvzDcmnZlnWXR1

Przykład 2

R1ecOykOJnB6D1

Zapamiętaj!

Jeżeli, rozwiązując układ równań metodą przeciwnych współczynników, równanie, które otrzymaliśmy w wyniku dodawania równań stronami, okaże się równaniem sprzecznym, to układ równań nie ma rozwiązania, jest układem sprzecznym.

Przykład 3

R1ZIilh8R1XFW1

Zapamiętaj!

Jeżeli, rozwiązując układ równań metodą przeciwnych współczynników, równanie, które otrzymaliśmy w wyniku dodawania równań stronami, okaże się równaniem tożsamościowym, to układ równań ma nieskończenie wiele par liczb spełniających ten układ, czyli jest to układ nieoznaczony.

Przykład 4

Nie zawsze współczynniki przy niewiadomych $x$ lub $y$ są liczbami przeciwnymi.

Czasami trzeba obie strony jednego z równań pomnożyć lub podzielić przez odpowiednią liczbę różną od zera, aby otrzymać przeciwne współczynniki przy wybranej niewiadomej.

RCPXRiuhmjwsx1

Przykład 5

RaFIhTqtMtNdF1

Rhn3tQFuRKRO92

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R16b0o7hJbHuK2

Ćwiczenie 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1UiPg67QmYjd1

Ćwiczenie 3

$7 x = 10$
$7 x = 14$
$x = 2$
$7 y = 14$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RS2gvM6nMeCzl1

Ćwiczenie 4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1QRGwOgeZBvu1

Ćwiczenie 5

$2$ i $- 3$
$2$ i $3$
$5$ i $2$
$5$ i $2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

R1NAxRybEN0Gr

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1ZMz8M5OuCwN21

Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej tak, aby utworzyć kolejne etapy rozwiązania układu równań metodą przeciwnych współczynników.

\{\begin{cases} 2 x + 3 y = 13 \\ 4 x - y = - 9 \end{cases}

Etap 1.
Układ równań,
Pierwsze równanie

2 x + 3 y = 13 | \cdot (- 2)

koniec równania,
drugie równanie

4 x - y = - 9

koniec równania,
koniec układu równań.
Etap 2.
Układ równań,
Pierwsze równanie 1.

5

, 2.

15

, 3.

- 26

, 4.

7

, 5.

- 7

, 6.

- 2

, 7.

4 x

, 8.

- 4 x

- 6 y =

5

, 2.

15

, 3.

- 26

, 4.

7

, 5.

- 7

, 6.

- 2

, 7.

4 x

, 8.

- 4 x

koniec równania,
drugie równanie

4 x - y = - 9

koniec równania,
koniec układu równań.
Etap 3.
1.

5

, 2.

15

, 3.

- 26

, 4.

7

, 5.

- 7

, 6.

- 2

, 7.

4 x

, 8.

- 4 x

y = - 35

y =

5

, 2.

15

, 3.

- 26

, 4.

7

, 5.

- 7

, 6.

- 2

, 7.

4 x

, 8.

- 4 x

Etap 4.

2 x + 3 \cdot 5 = 13

2 x +

5

, 2.

15

, 3.

- 26

, 4.

7

, 5.

- 7

, 6.

- 2

, 7.

4 x

, 8.

- 4 x

= 13

2 x =

5

, 2.

15

, 3.

- 26

, 4.

7

, 5.

- 7

, 6.

- 2

, 7.

4 x

, 8.

- 4 x

x = - 1

Przeciągnij i upuść tak, aby utworzyć kolejne etapy rozwiązania układu równań metodą przeciwnych współczynników.

2x+3y=134x-y=-9

1. Etap
$2 x + 3 y = 13 | \cdot (- 2)$
$4 x - y = - 9$
2. Etap
{ $- 4 x$ , $4 x$ , $- 26$ , $- 7$ , $5$ , $- 2$ , $7$ , $15$

$................................................................................................................- 6 y =................................................................................................................4 x- y = - 93. Etap................................................................................................................y = - 35y =................................................................................................................4. Etap2 x + 3 \cdot 5 = 132 x +................................................................................................................= 132 x =................................................................................................................x = - 1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

RO8BnxIJ9WpHR

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R12WeBZzPthnQ21

\{\begin{cases} - 3 x + 5 y = - 16 \\ 2 x - y = 6 \end{cases}

Etap 1.
Układ równań,
Pierwsze równanie

- 3 x + 5 y = - 16 | \cdot 2

koniec równania,
drugie równanie

2 x - y = 6 | \cdot

6 x

, 2.

- 6

, 3.

- 6 x

, 4.

- 3 x

, 5.

2

, 6.

7 y

, 7.

- 3

, 8.

- 32

, 9.

- 10

, 10.

3 y

, 11.

3

, 12.

- 2

koniec równania,
koniec układu równań.
Etap 2.
Układ równań,
pierwsze równanie 1.

6 x

, 2.

- 6

, 3.

- 6 x

, 4.

- 3 x

, 5.

2

, 6.

7 y

, 7.

- 3

, 8.

- 32

, 9.

- 10

, 10.

3 y

, 11.

3

, 12.

- 2

+ 10 y =

6 x

, 2.

- 6

, 3.

- 6 x

, 4.

- 3 x

, 5.

2

, 6.

7 y

, 7.

- 3

, 8.

- 32

, 9.

- 10

, 10.

3 y

, 11.

3

, 12.

- 2

koniec równania,
drugie równanie 1.

6 x

, 2.

- 6

, 3.

- 6 x

, 4.

- 3 x

, 5.

2

, 6.

7 y

, 7.

- 3

, 8.

- 32

, 9.

- 10

, 10.

3 y

, 11.

3

, 12.

- 2

-

6 x

, 2.

- 6

, 3.

- 6 x

, 4.

- 3 x

, 5.

2

, 6.

7 y

, 7.

- 3

, 8.

- 32

, 9.

- 10

, 10.

3 y

, 11.

3

, 12.

- 2

= 18

koniec równania,
koniec układu równań.
Etap 3.
1.

6 x

, 2.

- 6

, 3.

- 6 x

, 4.

- 3 x

, 5.

2

, 6.

7 y

, 7.

- 3

, 8.

- 32

, 9.

- 10

, 10.

3 y

, 11.

3

, 12.

- 2

= - 14

y =

6 x

, 2.

- 6

, 3.

- 6 x

, 4.

- 3 x

, 5.

2

, 6.

7 y

, 7.

- 3

, 8.

- 32

, 9.

- 10

, 10.

3 y

, 11.

3

, 12.

- 2

Etap 4.
1.

6 x

, 2.

- 6

, 3.

- 6 x

, 4.

- 3 x

, 5.

2

, 6.

7 y

, 7.

- 3

, 8.

- 32

, 9.

- 10

, 10.

3 y

, 11.

3

, 12.

- 2

+ 5 \cdot (- 2) = - 16

- 3 x +

6 x

, 2.

- 6

, 3.

- 6 x

, 4.

- 3 x

, 5.

2

, 6.

7 y

, 7.

- 3

, 8.

- 32

, 9.

- 10

, 10.

3 y

, 11.

3

, 12.

- 2

= - 16

- 3 x =

6 x

, 2.

- 6

, 3.

- 6 x

, 4.

- 3 x

, 5.

2

, 6.

7 y

, 7.

- 3

, 8.

- 32

, 9.

- 10

, 10.

3 y

, 11.

3

, 12.

- 2

x =

6 x

, 2.

- 6

, 3.

- 6 x

, 4.

- 3 x

, 5.

2

, 6.

7 y

, 7.

- 3

, 8.

- 32

, 9.

- 10

, 10.

3 y

, 11.

3

, 12.

- 2

Przeciągnij i upuść tak, aby utworzyć kolejne etapy rozwiązania układu równań metodą przeciwnych współczynników.

$- 6$ , $- 6 x$ , $- 10$ , $- 2$ , $2$ , $- 3 y$ , $7 y$ , $6 x$ , $- 3$ , -3x+5y=-162x-y=6

1. Etap
$- 3 x + 5 y = - 16 | \cdot 2$
$2 x - y = 6 | \cdot$ { $3$ , $- 32$ , $- 3 x$

$..................................................................................................2. Etap..................................................................................................+10 y =....................................................................................................................................................................................................+..................................................................................................= 183. Etap..................................................................................................= - 14y =..................................................................................................4. Etap..................................................................................................+ 5 \cdot (- 2) = - 16- 3 x +..................................................................................................= - 16- 3 x =..................................................................................................x =..................................................................................................$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

R14PKDsbwQScS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RE3P9y2Xvi1sk2

\{\begin{cases} x + 2 y = - 5 \\ 2 x - y = 0 \end{cases}

Etap 1.
Układ równań,
Pierwsze równanie

x + 2 y = - 5

koniec równania,
drugie równanie

2 x - y = 0 | \cdot

- 5

, 2.

5 x

, 3.

0

, 4.

- 1

, 5.

2

, 6.

- 2

, 7.

- 1

, 8.

4 x

koniec równania,
koniec układu równań.
Etap 2.
Układ równań,
pierwsze równanie

x + 2 y = - 5

koniec równania,
drugie równanie 1.

- 5

, 2.

5 x

, 3.

0

, 4.

- 1

, 5.

2

, 6.

- 2

, 7.

- 1

, 8.

4 x

- 2 y =

- 5

, 2.

5 x

, 3.

0

, 4.

- 1

, 5.

2

, 6.

- 2

, 7.

- 1

, 8.

4 x

koniec równania,
koniec układu równań.
Etap 3.
1.

- 5

, 2.

5 x

, 3.

0

, 4.

- 1

, 5.

2

, 6.

- 2

, 7.

- 1

, 8.

4 x

=

- 5

, 2.

5 x

, 3.

0

, 4.

- 1

, 5.

2

, 6.

- 2

, 7.

- 1

, 8.

4 x

x =

- 5

, 2.

5 x

, 3.

0

, 4.

- 1

, 5.

2

, 6.

- 2

, 7.

- 1

, 8.

4 x

Etap 4.

2 \cdot

- 5

, 2.

5 x

, 3.

0

, 4.

- 1

, 5.

2

, 6.

- 2

, 7.

- 1

, 8.

4 x

- y = 0

y =

- 5

, 2.

5 x

, 3.

0

, 4.

- 1

, 5.

2

, 6.

- 2

, 7.

- 1

, 8.

4 x

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

RFGFhKReAnstl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R7rBVkrzi6Bhd2

\{\begin{cases} 2 x + 6 y = 4 \\ 3 x - 2 y = - 16 \end{cases}

Etap 1.
Układ równań
pierwsze równanie

2 x + 6 y = 4 | \cdot 3

koniec równania,
drugie równanie

3 x - 2 y = - 16 | \cdot

- 4

, 2.

44

, 3.

6 x

, 4.

12

, 5.

- 2

, 6.

2

, 7.

- 8

, 8.

4 y

, 9.

22 y

, 10.

2

koniec równania,
koniec układu równań.
Etap 2.
Układ równań
pierwsze równanie 1.

- 4

, 2.

44

, 3.

6 x

, 4.

12

, 5.

- 2

, 6.

2

, 7.

- 8

, 8.

4 y

, 9.

22 y

, 10.

2

+ 18 y =

- 4

, 2.

44

, 3.

6 x

, 4.

12

, 5.

- 2

, 6.

2

, 7.

- 8

, 8.

4 y

, 9.

22 y

, 10.

2

koniec równania,
drugie równanie

- 6 x +

- 4

, 2.

44

, 3.

6 x

, 4.

12

, 5.

- 2

, 6.

2

, 7.

- 8

, 8.

4 y

, 9.

22 y

, 10.

2

= 32

koniec równania,
koniec układu równań.
Etap 3.
1.

- 4

, 2.

44

, 3.

6 x

, 4.

12

, 5.

- 2

, 6.

2

, 7.

- 8

, 8.

4 y

, 9.

22 y

, 10.

2

=

- 4

, 2.

44

, 3.

6 x

, 4.

12

, 5.

- 2

, 6.

2

, 7.

- 8

, 8.

4 y

, 9.

22 y

, 10.

2

y =

- 4

, 2.

44

, 3.

6 x

, 4.

12

, 5.

- 2

, 6.

2

, 7.

- 8

, 8.

4 y

, 9.

22 y

, 10.

2

Etap 4.

2 x + 6 \cdot

- 4

, 2.

44

, 3.

6 x

, 4.

12

, 5.

- 2

, 6.

2

, 7.

- 8

, 8.

4 y

, 9.

22 y

, 10.

2

= 4

2 x =

- 4

, 2.

44

, 3.

6 x

, 4.

12

, 5.

- 2

, 6.

2

, 7.

- 8

, 8.

4 y

, 9.

22 y

, 10.

2

x =

- 4

, 2.

44

, 3.

6 x

, 4.

12

, 5.

- 2

, 6.

2

, 7.

- 8

, 8.

4 y

, 9.

22 y

, 10.

2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R16RZ6fW8omeo2

Ćwiczenie 10

nieoznaczony
sprzeczny
oznaczony

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R14I8Tj8dKhvg2

Ćwiczenie 11

oznaczony
sprzeczny
nieoznaczony

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RBrWbi5d5f6083

Ćwiczenie 12

sprzeczny
nieoznaczony
oznaczony

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RedApXLnH0UTV3

Ćwiczenie 13

$x = 1 y = - 4 \frac{1}{2}$
$x = 1 y = - 2 \frac{1}{2}$
$x = 4 \frac{1}{2} y = 1$
$x = - 1 y = - 2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RBjNwlya3zgbX3

Ćwiczenie 14

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.