Miejsca zerowe funkcji

Przyjrzyjmy się wykresowi zmian temperatury powietrza w pewnej miejscowości w marcu.

RoUjFgzQ0D2Ho1

Wykres pokazuje, że w dniach od 1 do 6 marca oraz w dniach od 10 do 31 marca temperatura powietrza była równa 0 stopni Celsjusza lub dodatnia. W dniach 7, 8, 9 marca temperatura powietrza była ujemna. Temperatura (-4) stopnie Celsjusza w dniu 9 marca była najniższa, a temperatura 9 stopni Celsjusza w dniu 13 marca była najwyższa.

Z wykresu możemy odczytać, że temperatura powietrza w dniu $5$ marca była równa $3°C$, natomiast $11$ marca wynosiła $4°C$. Możemy też zadać pytanie: kiedy temperatura wynosiła $5°C$? Z wykresu odczytujemy, że temperaturę $5°C$ odnotowano czterokrotnie: $2$, $12$, $14$, $26$ marca.

R7gxOKXayiuCd1

Wykres pokazuje, że w dniach od 1 do 6 marca oraz w dniach od 10 do 31 marca temperatura powietrza była równa 0 stopni Celsjusza lub dodatnia. W dniach 7, 8, 9 marca temperatura powietrza była ujemna. Temperatura (-4) stopnie Celsjusza w dniu 9 marca była najniższa, a temperatura 9 stopni Celsjusza w dniu 13 marca była najwyższa. Na wykresie temperatury zaznaczona jest prosta pomocnicza w miejscu, gdzie temperatura wynosi 5 stopni Celsjusza, co ułatwia odczytanie z wykresu dni z tą temperaturą. Możemy odczytać, że taka temperatura panowała drugiego, dwunastego, czternastego i dwudziestego szóstego dnia marca.

Szczególną wartością temperatury powietrza jest $0°C$. W tej temperaturze woda przechodzi ze stanu stałego w ciekły lub na odwrót. Zadajmy sobie pytanie: kiedy w marcu, w tej miejscowości, odnotowano temperaturę $0°C$? Z wykresu odczytujemy: $6$, $10$, $16$ marca.

Przyjmijmy, że rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji. Wtedy dla $x=6$, $x=10$, $x=16$ wartości tej funkcji wynoszą $0$.

Każdy argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość $0$, nazywamy miejscem zerowym tej funkcji.

Gdy dziedziną lub zbiorem wartości funkcji jest zbiór nieograniczony, to jesteśmy w stanie narysować jedynie pewien fragment wykresu tej funkcji (ze względu na ograniczone rozmiary kartki papieru lub ekranu monitora). Jeśli narysowany jest jedynie fragment wykresu funkcji i nie wiemy nic więcej o tej funkcji, to nie możemy na podstawie tego fragmentu wykresu wyciągać wniosków, które dotyczą tych części wykresu, których rysunek nie przedstawia. Na przykład na podstawie przedstawionego fragmentu wykresu funkcji $h$ możemy podać jej miejsce zerowe $x=2$ i stwierdzić, że w widocznym na rysunku przedziale $⟨-6, 6⟩$ innych miejsc zerowych ta funkcja nie ma.

RcusUQPuvuWK41

Wykres w postaci prostej, która przecina oś X w punkcie o współrzędnych (2, 0) a oś Y w punkcie o współrzędnych (0, -1). Prosta przedstawia funkcję rosnącą.

Jeśli wiedzielibyśmy, że funkcja przedstawiona na wykresie jest dla każdego $x$ rzeczywistego określona wzorem

to wyznaczenie jej wszystkich miejsc zerowych sprowadziłoby się do rozwiązania równania $h\left(x\right)=0$, co równoważnie zapisujemy $\frac{1}{2}x-1=0$, skąd $\frac{1}{2}x=1$, czyli $x=2$.

Wykres przedstawia zmiany stanu konta klienta banku w pierwszych jedenastu dniach miesiąca.

RSurZGS81aLwF1

Wykres przedstawia stan konta w poszczególnych dniach. Na poziomej osi znajdują się dni od pierwszego do 11 dnia z podziałką co jeden dzień. Na pionowej osi znajdują się kwoty od zera do sześciu tysięcy euro z podziałką co tysiąc euro. Możemy odczytać, że pierwszego dnia stan konta wynosi minus tysiąc euro. W drugim, trzecim i czwartym dniu stan konta jest taki sam i wynosi 4 tysiące euro. Piątego dnia stan konta wynosi 2 tysiące euro. Szóstego dnia stan konta wynosi tysiąc euro. Siódmego dnia stan konta wynosi cztery tysiące euro. Ósmego dnia stan konta wynosi 5 tysięcy euro. Dziewiątego dnia stan konta wynosi 0 euro. Dziesiątego dnia stan konta wynosi tysiąc euro. Jedenastego dnia stan konta wynosi 0 euro.

Klient zakupił lodówkę za kwotę $2$ tys. euro (czyli stan jego konta zmniejszył się o $2$ tys. euro w momencie dokonania płatności). Innych zakupów tego dnia już nie zrobił.

Kiedy to nastąpiło?

Z wykresu odczytujemy, że zakup ten nastąpił $5.$ dnia miesiąca, gdyż $4.$ dnia stan konta wynosił $4$ tys. euro, $5$. dnia $2$ tys. euro, a w żadnym innym dniu stan konta nie był o $2$ tys. euro niższy, niż w dniu poprzednim.

R15lQCcHzJkjX1

Wykres przedstawia stan konta w poszczególnych dniach. Na poziomej osi znajdują się dni od pierwszego do 11 dnia z podziałką co jeden dzień. Na pionowej osi znajdują się kwoty od zera do sześciu tysięcy euro z podziałką co tysiąc euro. Możemy odczytać, że pierwszego dnia stan konta wynosi minus tysiąc euro. W drugim, trzecim i czwartym dniu stan konta jest taki sam i wynosi 4 tysiące euro. Piątego dnia zieloną strzałką zaznaczono spadek stanu konta. Strzałka zaczyna się na poziome 4 tysięcy euro, a kończy na dwóch tysiącach euro. Szóstego dnia stan konta wynosi tysiąc euro. Siódmego dnia stan konta wynosi cztery tysiące euro. Ósmego dnia stan konta wynosi 5 tysięcy euro. Dziewiątego dnia stan konta wynosi 0 euro. Dziesiątego dnia stan konta wynosi tysiąc euro. Jedenastego dnia stan konta wynosi 0 euro.

Konto klienta zostało zasilone kwotą $3$ tys. euro. Którego dnia miesiąca tego dokonano?

Z wykresu możemy odczytać, że nastąpiło to w $7$. dniu miesiąca.

R1FxLGHtLyixc1

Wykres przedstawia stan konta w poszczególnych dniach. Na poziomej osi znajdują się dni od pierwszego do 11 dnia z podziałką co jeden dzień. Na pionowej osi znajdują się kwoty od zera do sześciu tysięcy euro z podziałką co tysiąc euro. Możemy odczytać, że pierwszego dnia stan konta wynosi minus tysiąc euro. W drugim, trzecim i czwartym dniu stan konta jest taki sam i wynosi 4 tysiące euro. Piątego dnia stan konta wynosi 2 tysiące euro. Szóstego dnia stan konta wynosi tysiąc euro. Siódmego dnia zieloną strzałką odnotowano przypływ pieniędzy, strzałka prowadzi od poziomu tysiąca euro do poziomu czterech tysięcy euro. Ósmego dnia stan konta wynosi 5 tysięcy euro. Dziewiątego dnia stan konta wynosi 0 euro. Dziesiątego dnia stan konta wynosi tysiąc euro. Jedenastego dnia stan konta wynosi 0 euro.

Kiedy stan konta klienta był równy zero?

Z wykresu odczytujemy, że klient miał zerowy stan konta $9$. i $11$. dnia miesiąca.

W przypadku niektórych kont banki dopuszczają sytuację, w której klient wypłaca z konta więcej pieniędzy niż posiada na koncie. Powstaje wówczas tzw. debet. Możemy, analizując ciągle ten sam wykres, zapytać, czy na koncie klienta był w tym okresie debet, a jeśli był, to w jakiej wysokości. Debet ilustrują te punkty wykresu, które znajdują się poniżej osi poziomej układu współrzędnych, a więc punkty odpowiadające ujemnym wartościom funkcji. Z wykresu odczytujemy, że tylko w $1.$ dniu miesiąca zdarzyła się taka sytuacja. Wielkość debetu wyniosła $1$ tys. euro.

Na rysunku przedstawiony jest wykres temperatury ciała pacjenta, mierzonej co godzinę, przez kolejnych $12$ godzin.

Rks43K8AR7sL51

Wykres przedstawia temperaturę pacjenta, mierzoną o pełnych godzinach. Na poziomej osi znajdują się godziny od zera do dwunastu z podziałką co jedną godzinę, a na pionowej osi znajdują się temperatury od 35 stopni do 42 stopni Celsjusza. Oś X leży na wysokości 36,6 stopni Celsjusza. Pierwsza zarejestrowana temperatura pacjenta wynosi 37 stopni, w ciągu następnej godziny liniowo rośnie do 38 stopni. Między pierwszą a drugą godziną temperatura pacjenta nie zmienia się i wynosi stale 38 stopni. Między drugą i trzecią godziną temperatura liniowo rośnie i osiąga w trzeciej godzinie 39 stopni. Przez kolejną godzinę temperatura pacjenta nie zmienia się i wynosi stałe 39 stopni. Między czwartą i piątą godziną temperatura pacjenta liniowo maleje do wartości 38 stopni. W piątej godzinie temperatura zaczyna maleć po łuku i w szóstej godzinie osiąga wartość 37 stopni. Między szóstą i siódmą godziną temperatura maleje liniowo i w siódmej godzinie osiąga 36,6 stopnia Celsjusza. Po ósmej godzinie temperatura zaczyna maleć i w dziewiątej godzinie osiąga 36 stopni. Temperatura ponownie zaczyna rosnąć i w dziesiątej godzinie osiąga 36,6 stopnia. Przez następne dwie godziny temperatura nie ulega zmianie- wynosi 36,6 stopni.

Określmy kilka przykładowych wartości temperatury ciała tego pacjenta. W początkowym momencie mierzenia, czyli w chwili $t=0$, pacjent miał stan podgorączkowy, temperatura jego ciała była równa $37°C$. W chwili $t=4$ temperatura jego ciała wynosiła $39°C$, a więc miał wówczas gorączkę. Po siedmiu godzinach pomiaru temperatura ciała pacjenta przyjęła wartość normalną i taka temperatura utrzymywała się przez godzinę, do chwili $t=8$. Przez następne dwie godziny pacjent był osłabiony, ale od chwili $t=10$, aż do końca pomiaru, czyli do chwili $t=12$, znowu powróciła u niego temperatura normalna. Możemy więc powiedzieć, że normalna temperatura odnotowana była w dwóch przedziałach czasowych: $⟨7, 8⟩$ oraz $⟨10, 12⟩$.