W tym materiale poznasz definicję miejsca zerowego funkcji. Zaprezentowane są tutaj przykłady wykorzystywania tej definicji oraz analizy wykresów funkcji, także w kontekście praktycznym.
Przykład 1
Przyjrzyjmy się wykresowi zmian temperatury powietrza w pewnej miejscowości w marcu.
RoUjFgzQ0D2Ho1
Z wykresu możemy odczytać, że temperatura powietrza w dniu marca była równa , natomiast marca wynosiła . Możemy też zadać pytanie: kiedy temperatura wynosiła ? Z wykresu odczytujemy, że temperaturę odnotowano czterokrotnie: , , , marca.
R7gxOKXayiuCd1
Szczególną wartością temperatury powietrza jest . W tej temperaturze woda przechodzi ze stanu stałego w ciekły lub na odwrót. Zadajmy sobie pytanie: kiedy w marcu, w tej miejscowości, odnotowano temperaturę ? Z wykresu odczytujemy: , , marca.
Przyjmijmy, że rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji. Wtedy dla , , wartości tej funkcji wynoszą .
Miejsce zerowe funkcji
Definicja: Miejsce zerowe funkcji
Każdy argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość , nazywamy miejscem zerowym tej funkcji.
Przykład 2
Gdy dziedziną lub zbiorem wartości funkcji jest zbiór nieograniczony, to jesteśmy w stanie narysować jedynie pewien fragment wykresu tej funkcji (ze względu na ograniczone rozmiary kartki papieru lub ekranu monitora). Jeśli narysowany jest jedynie fragment wykresu funkcji i nie wiemy nic więcej o tej funkcji, to nie możemy na podstawie tego fragmentu wykresu wyciągać wniosków, które dotyczą tych części wykresu, których rysunek nie przedstawia. Na przykład na podstawie przedstawionego fragmentu wykresu funkcji możemy podać jej miejsce zerowe i stwierdzić, że w widocznym na rysunku przedziale innych miejsc zerowych ta funkcja nie ma.
RcusUQPuvuWK41
Jeśli wiedzielibyśmy, że funkcja przedstawiona na wykresie jest dla każdego rzeczywistego określona wzorem
,
to wyznaczenie jej wszystkich miejsc zerowych sprowadziłoby się do rozwiązania równania , co równoważnie zapisujemy , skąd , czyli .
Przykład 3
Wykres przedstawia zmiany stanu konta klienta banku w pierwszych jedenastu dniach miesiąca.
RSurZGS81aLwF1
Klient zakupił lodówkę za kwotę tys. euro (czyli stan jego konta zmniejszył się o tys. euro w momencie dokonania płatności). Innych zakupów tego dnia już nie zrobił.
Kiedy to nastąpiło?
Z wykresu odczytujemy, że zakup ten nastąpił dnia miesiąca, gdyż dnia stan konta wynosił tys. euro, . dnia tys. euro, a w żadnym innym dniu stan konta nie był o tys. euro niższy, niż w dniu poprzednim.
R15lQCcHzJkjX1
Konto klienta zostało zasilone kwotą tys. euro. Którego dnia miesiąca tego dokonano?
Z wykresu możemy odczytać, że nastąpiło to w . dniu miesiąca.
R1FxLGHtLyixc1
Kiedy stan konta klienta był równy zero?
Z wykresu odczytujemy, że klient miał zerowy stan konta . i . dnia miesiąca.
W przypadku niektórych kont banki dopuszczają sytuację, w której klient wypłaca z konta więcej pieniędzy niż posiada na koncie. Powstaje wówczas tzw. debet. Możemy, analizując ciągle ten sam wykres, zapytać, czy na koncie klienta był w tym okresie debet, a jeśli był, to w jakiej wysokości. Debet ilustrują te punkty wykresu, które znajdują się poniżej osi poziomej układu współrzędnych, a więc punkty odpowiadające ujemnym wartościom funkcji. Z wykresu odczytujemy, że tylko w dniu miesiąca zdarzyła się taka sytuacja. Wielkość debetu wyniosła tys. euro.
Powyższe przykłady pokazują, że w praktyce niekiedy istotne jest określenie, w jakim przypadku funkcja przyjmuje wartość . Są też sytuacje, gdy wygodniej jest porównywać wartości funkcji z inną szczególną wartością tej funkcji. Na przykład, gdy analizujemy wykres temperatury ciała człowieka w pewnym przedziale czasowym, to temperaturę porównujemy z wartością . Jest to tzw. normalna temperatura ciała człowieka. Temperatura ciała wyższa od tej wartości, ale nie większa niż , wskazuje na stan podgorączkowy. Temperatura ciała wyższa niż oznacza gorączkę. Temperatura ciała człowieka niższa niż oznacza osłabienie organizmu.
Przykład 4
Na rysunku przedstawiony jest wykres temperatury ciała pacjenta, mierzonej co godzinę, przez kolejnych godzin.
Rks43K8AR7sL51
Określmy kilka przykładowych wartości temperatury ciała tego pacjenta. W początkowym momencie mierzenia, czyli w chwili , pacjent miał stan podgorączkowy, temperatura jego ciała była równa . W chwili temperatura jego ciała wynosiła , a więc miał wówczas gorączkę. Po siedmiu godzinach pomiaru temperatura ciała pacjenta przyjęła wartość normalną i taka temperatura utrzymywała się przez godzinę, do chwili . Przez następne dwie godziny pacjent był osłabiony, ale od chwili , aż do końca pomiaru, czyli do chwili , znowu powróciła u niego temperatura normalna. Możemy więc powiedzieć, że normalna temperatura odnotowana była w dwóch przedziałach czasowych: oraz .
W praktyce często występują charakterystyczne wartości różnych wielkości, często inne niż zero, w stosunku do których odnosimy mierzone wartości. Np. temperatura , a więc temperatura wrzenia wody w warunkach normalnego ciśnienia, decybeli – poziom natężenia dźwięku, który wywołuje ból ludzkiego ucha, metrów n.p.m. – tzw. „granica śmierci” w górach.