Miejsce zerowe funkcji

W tym materiale zapoznasz się z definicją miejsca zerowego funkcji oraz zbioru miejsc zerowych funkcji. Dowiesz się, jak znajdować miejsca zerowe funkcji przedstawionych w różny sposób. Nauczysz się też definiować funkcje, w których dane są miejsca zerowe.

Przykład 1

Przyjrzyjmy się wykresowi zmian temperatury powietrza w pewnej miejscowości w marcu.

R1EhfCw6FnfGM1

Wykres składa się z łamanej linii, na osi poziomej znajdują się dni miesiąca, a na osi pionowej różne temperatury. Z wykresu możemy odczytać, że w dniach od 1 do 6 marca oraz w dniach od 10 do 31 marca temperatura powietrza była równa 0 stopni Celsjusza lub dodatnia. W dniach 7, 8, 9 marca temperatura powietrza była ujemna. Temperatura -4 stopnie Celsjusza w dniu 9 marca była najniższa, a temperatura 9 stopni Celsjusza w dniu 13 marca była najwyższa. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z wykresu możemy odczytać, że temperatura powietrza w dniu $5$ marca była równa $3 ° C$ , natomiast $11$ marca wynosiła $4 ° C$ . Możemy też z wykresu dowiedzieć się, że temperaturę $5 ° C$ odnotowano czterokrotnie: $2$ , $12$ , $14$ , $26$ marca.

Rqhg6FlOX9kjN1

Na wykresie temperatury zaznaczona jest prosta pomocnicza w miejscu, gdzie temperatura wynosi 5 stopni Celsjusza, co ułatwia odczytanie z wykresu dni z tą temperaturą. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Szczególną wartością temperatury powietrza jest $0 ° C$ . W tej temperaturze woda przechodzi ze stanu stałego w ciekły lub na odwrót. W których dniach marca, w tej miejscowości odnotowano temperaturę $0 ° C$ ? Z wykresu odczytujemy: $6$ , $10$ , $16$ marca. Możemy przyjąć, że rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji. Wtedy dla $x = 6$ , $x = 10$ , $x = 16$ wartości tej funkcji są równe $0$ .

Miejsce zerowe funkcji

Definicja: Miejsce zerowe funkcji

Miejscem zerowym funkcji nazywamy każdy argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość $0$ .

Zbiór miejsc zerowych funkcji

Definicja: Zbiór miejsc zerowych funkcji

Zbiorem miejsc zerowych nazywamy zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartość $0$ .

Rg5VM6MwprmXz1

Ćwiczenie 1

Sprawdź, która liczba jest miejscem zerowym funkcji. Przenieś prawidłowe odpowiedzi w puste pola. Funkcja

y = 2 x - 2

przyjmuje wartość

0

dla 1.

x_{0} = 2

, 2.

x_{0} = 1

, 3.

x_{0_{1}} = - 2

x_{0_{2}} = 2

, 4.

x_{0_{1}} = - 1

x_{0_{2}} = 1

, 5.

x_{0} = 1

, 6.

x_{0} = 2

. Funkcja

y = x^{3} - 1

przyjmuje wartość

0

dla 1.

x_{0} = 2

, 2.

x_{0} = 1

, 3.

x_{0_{1}} = - 2

x_{0_{2}} = 2

, 4.

x_{0_{1}} = - 1

x_{0_{2}} = 1

, 5.

x_{0} = 1

, 6.

x_{0} = 2

. Funkcja

y = x^{2} - 1

przyjmuje wartość

0

dla 1.

x_{0} = 2

, 2.

x_{0} = 1

, 3.

x_{0_{1}} = - 2

x_{0_{2}} = 2

, 4.

x_{0_{1}} = - 1

x_{0_{2}} = 1

, 5.

x_{0} = 1

, 6.

x_{0} = 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Odczytaj z wykresów miejsca zerowe funkcji. Przenieś prawidłowe odpowiedzi w puste pola.

R1JBtIm4vOhF91
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RLyIBduh0eFeN1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RjSDAty2yabxF1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rm7tBovmGozTC1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R9RGP8cKETX2j

Funkcja z pierwszego wykresu przyjmuje wartość

0

dla 1.

x_{0_{1}} = 1

x_{0_{2}} = 1

, 2.

x_{0_{1}} = - 1

x_{0_{2}} = 1

, 3.

x_{0} = 1

, 4.

x_{0_{1}} = 3

x_{0_{2}} = 2

, 5.

x_{0_{1}} = 2

x_{0_{2}} = 2

, 6.

x_{0_{1}} = - 2

x_{0_{2}} = 1

, 7.

x_{0} = 2

, 8.

x_{0_{1}} = 1

x_{0_{2}} = 3

, 9.

x_{0} = 3

, 10.

x_{0_{1}} = 2

x_{0_{2}} = 1

, 11.

x_{0_{1}} = - 1

x_{0_{2}} = 2

, 12.

x_{0_{1}} = - 1

x_{0_{2}} = 1

. Funkcja z drugiego wykresu przyjmuje wartość

0

dla 1.

x_{0_{1}} = 1

x_{0_{2}} = 1

, 2.

x_{0_{1}} = - 1

x_{0_{2}} = 1

, 3.

x_{0} = 1

, 4.

x_{0_{1}} = 3

x_{0_{2}} = 2

, 5.

x_{0_{1}} = 2

x_{0_{2}} = 2

, 6.

x_{0_{1}} = - 2

x_{0_{2}} = 1

, 7.

x_{0} = 2

, 8.

x_{0_{1}} = 1

x_{0_{2}} = 3

, 9.

x_{0} = 3

, 10.

x_{0_{1}} = 2

x_{0_{2}} = 1

, 11.

x_{0_{1}} = - 1

x_{0_{2}} = 2

, 12.

x_{0_{1}} = - 1

x_{0_{2}} = 1

. Funkcja z trzeciego wykresu przyjmuje wartość

0

dla 1.

x_{0_{1}} = 1

x_{0_{2}} = 1

, 2.

x_{0_{1}} = - 1

x_{0_{2}} = 1

, 3.

x_{0} = 1

, 4.

x_{0_{1}} = 3

x_{0_{2}} = 2

, 5.

x_{0_{1}} = 2

x_{0_{2}} = 2

, 6.

x_{0_{1}} = - 2

x_{0_{2}} = 1

, 7.

x_{0} = 2

, 8.

x_{0_{1}} = 1

x_{0_{2}} = 3

, 9.

x_{0} = 3

, 10.

x_{0_{1}} = 2

x_{0_{2}} = 1

, 11.

x_{0_{1}} = - 1

x_{0_{2}} = 2

, 12.

x_{0_{1}} = - 1

x_{0_{2}} = 1

. Funkcja z czwartego wykresu przyjmuje wartość

0

dla 1.

x_{0_{1}} = 1

x_{0_{2}} = 1

, 2.

x_{0_{1}} = - 1

x_{0_{2}} = 1

, 3.

x_{0} = 1

, 4.

x_{0_{1}} = 3

x_{0_{2}} = 2

, 5.

x_{0_{1}} = 2

x_{0_{2}} = 2

, 6.

x_{0_{1}} = - 2

x_{0_{2}} = 1

, 7.

x_{0} = 2

, 8.

x_{0_{1}} = 1

x_{0_{2}} = 3

, 9.

x_{0} = 3

, 10.

x_{0_{1}} = 2

x_{0_{2}} = 1

, 11.

x_{0_{1}} = - 1

x_{0_{2}} = 2

, 12.

x_{0_{1}} = - 1

x_{0_{2}} = 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Na podstawie grafu odczytaj miejsca zerowe przedstawionych funkcji. Wpisz odpowiednie liczby w puste pola w kolejności rosnącej.

RT5ctooFJx1Uw1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R5YpJyxQLGc6o1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RLxLOCQ2tukya1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RgJUSP2mwzTOn

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Funkcja $f : X \to Y$ określona jest za pomocą tabeli.

$x$	$- 2$	$0$	$1$	$3$	$4$	$7$
$y$	$2$	$3$	$0$	$1$	$2$	$0$

R1D58KTBIPtVd

$3$
$1$ i $7$
tylko $1$
tylko $7$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rddfg9mJxu7Ap2

Ćwiczenie 5

$y = x^{2} + 4$
$y = x - 4$
$y = - x^{2} + 4$
$y = - x^{2} - 4$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1IniIuq6OYRL2

Ćwiczenie 6

$m = - 4$
$m = 4$
$m = - 1$
$m = - 2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RsIWw3rH6xPbj2

Ćwiczenie 7

Liczba $2$ jest miejscem zerowym funkcji $f (x) = 2 x + 2$ .
Liczba $2$ jest miejscem zerowym funkcji $f (x) = 2 x - 2$ .
Funkcja $f (x) = 0$ nie posiada miejsc zerowych.
Funkcja $f (x) = 0$ posiada nieskończenie wiele miejsc zerowych.
Liczba $\sqrt{2}$ jest miejscem zerowym funkcji $f (x) = x + 2 \sqrt{2}$ .
Liczba $\sqrt{2}$ jest miejscem zerowym funkcji $f (x) = 2 x - 2 \sqrt{2}$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

RzhENRgCFCfA0

Liczba

2

jest miejscem zerowym funkcji

f (x) = (m + 1) x - 2

, gdzie

x

jest dowolną liczbą rzeczywistą. Przenieś prawidłowe odpowiedzi w puste pola. Wartość

m

w tym wzorze wynosi

m =

1

, 2.

6

, 3.

x - 4

, 4.

3

, 5.

2

, 6.

1

, 7.

x + 1

, 8.

2

, 9.

3

, 10.

0

, 11.

4

, 12.

x + 3

, 13.

5

, 14.

x - 2

, a wzór tej funkcji to

f (x) =

1

, 2.

6

, 3.

x - 4

, 4.

3

, 5.

2

, 6.

1

, 7.

x + 1

, 8.

2

, 9.

3

, 10.

0

, 11.

4

, 12.

x + 3

, 13.

5

, 14.

x - 2

. Wartość funkcji dla argumentu

3

wynosi 1.

1

, 2.

6

, 3.

x - 4

, 4.

3

, 5.

2

, 6.

1

, 7.

x + 1

, 8.

2

, 9.

3

, 10.

0

, 11.

4

, 12.

x + 3

, 13.

5

, 14.

x - 2

. Wartość funkcji wynosi

1

dla argumentu 1.

1

, 2.

6

, 3.

x - 4

, 4.

3

, 5.

2

, 6.

1

, 7.

x + 1

, 8.

2

, 9.

3

, 10.

0

, 11.

4

, 12.

x + 3

, 13.

5

, 14.

x - 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że aby obliczyć wartość $m$ należy rozwiązać równanie $0 = (m + 1) \cdot 2 - 2$ .

Ćwiczenie 9

Przedstaw za pomocą grafu, tabeli i wykresu funkcję, której dziedziną jest zbiór składający się z $8$ elementów, jeżeli

Opisz graf, tabelę i wykres funkcji, której dziedziną jest zbiór składający się z $8$ elementów, jeżeli

funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe
funkcja ma $6$ miejsc zerowych
funkcja nie ma miejsc zerowych.

R1GnfZcEwVe1k

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Qk2W6m7z77c

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1VllcEeEMkxJ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

Rz7AzRuKZp00Q

Graf pokazuje zbiór X ={1,2,3,4,5,6,7,8} oraz zbiór Y ={10,9,14,7,8,0,2,11}. Elementowi 1 przyporządkowano element 2, elementowi 2 przyporządkowano element 8, elementowi 3 przyporządkowano element 7, elementowi 4 przyporządkowano element 14, elementowi 5 przyporządkowano element 9, elementowi 6 przyporządkowano element 10, elementowi 7 przyporządkowano element 0, elementowi 8 przyporządkowano element 11. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$y$	$2$	$8$	$7$	$14$	$9$	$10$	$0$	$11$

RFXOSUV3NRk40

Wykres funkcji składa się z ośmiu punktów o współrzędnych (1, 2), (2, 8), (3, 7), (4, 14), (5, 9), (6, 10), (7,0), 8,11. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja ma $6$ miejsc zerowych.

RORcqbOqyVuyM

Graf pokazuje zbiór X ={1,2,3,4,5,6,7,8 } oraz zbiór Y ={1,2,0}. Elementowi 1 przyporządkowano element 1, elementowi 2 przyporządkowano element 2, elementom 3, 4, 5, 6, 7, 8 przyporządkowano element 0. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$y$	$1$	$2$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

R1ZSgUFnV9rEM

Wykres funkcji składa się z ośmiu punktów o współrzędnych (1, 1), (2, 2), (3, 0), (4, 0), (5, 0), (6, 0), (7, 0), 8,0. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja nie ma miejsc zerowych.

RFtc1qOJDxSK1

Graf pokazuje zbiór X ={1,2,3,4,5,6,7,8} oraz zbiór Y ={6,9,4,5,10}. Elementom 1 i 7 przyporządkowano element 4, elementom 2 i 3 przyporządkowano element 9, elementowi 4 przyporządkowano element 6, elementom 5 i 6 przyporządkowano element 5, elementowi 8 przyporządkowano element 10. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$y$	$4$	$9$	$9$	$6$	$5$	$5$	$4$	$10$

RWBf7qkWAPi4z

Wykres funkcji składa się z ośmiu punktów o współrzędnych (1, 4), (2, 9), (3, 3), (4, 6), (5, 5), (6, 5), (7, 4), 8,10. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.