W tym materiale zapoznasz się z definicją miejsca zerowego funkcji oraz zbioru miejsc zerowych funkcji. Dowiesz się, jak znajdować miejsca zerowe funkcji przedstawionych w różny sposób. Nauczysz się też definiować funkcje, w których dane są miejsca zerowe.
Przykład 1
Przyjrzyjmy się wykresowi zmian temperatury powietrza w pewnej miejscowości w marcu.
R1EhfCw6FnfGM 1 Wykres składa się z łamanej linii, na osi poziomej znajdują się dni miesiąca, a na osi pionowej różne temperatury. Z wykresu możemy odczytać, że w dniach od 1 do 6 marca oraz w dniach od 10 do 31 marca temperatura powietrza była równa 0 stopni Celsjusza lub dodatnia. W dniach 7, 8, 9 marca temperatura powietrza była ujemna. Temperatura -4 stopnie Celsjusza w dniu 9 marca była najniższa, a temperatura 9 stopni Celsjusza w dniu 13 marca była najwyższa.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Z wykresu możemy odczytać, że temperatura powietrza w dniu 5 marca była równa 3 ° C , natomiast 11 marca wynosiła 4 ° C . Możemy też z wykresu dowiedzieć się, że temperaturę 5 ° C odnotowano czterokrotnie: 2 , 12 , 14 , 26 marca.
Rqhg6FlOX9kjN 1 Na wykresie temperatury zaznaczona jest prosta pomocnicza w miejscu, gdzie temperatura wynosi 5 stopni Celsjusza, co ułatwia odczytanie z wykresu dni z tą temperaturą.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Szczególną wartością temperatury powietrza jest 0 ° C . W tej temperaturze woda przechodzi ze stanu stałego w ciekły lub na odwrót. W których dniach marca, w tej miejscowości odnotowano temperaturę 0 ° C ? Z wykresu odczytujemy: 6 , 10 , 16 marca. Możemy przyjąć, że rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji. Wtedy dla x = 6 , x = 10 , x = 16 wartości tej funkcji są równe 0 .
Miejsce zerowe funkcji Definicja: Miejsce zerowe funkcji
Miejscem zerowym funkcji nazywamy każdy argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0 .
Zbiór miejsc zerowych funkcji Definicja: Zbiór miejsc zerowych funkcji
Zbiorem miejsc zerowych nazywamy zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartość 0 .
Rg5VM6MwprmXz 1
Ćwiczenie 1
Sprawdź, która liczba jest miejscem zerowym funkcji. Przenieś prawidłowe odpowiedzi w puste pola. Funkcja y = 2 x - 2 przyjmuje wartość 0 dla 1. x 0 = 2 , 2. x 0 = 1 , 3. x 0 1 = - 2 , x 0 2 = 2 , 4. x 0 1 = - 1 , x 0 2 = 1 , 5. x 0 = 1 , 6. x 0 = 2 . Funkcja y = x 3 - 1 przyjmuje wartość 0 dla 1. x 0 = 2 , 2. x 0 = 1 , 3. x 0 1 = - 2 , x 0 2 = 2 , 4. x 0 1 = - 1 , x 0 2 = 1 , 5. x 0 = 1 , 6. x 0 = 2 . Funkcja y = x 2 - 1 przyjmuje wartość 0 dla 1. x 0 = 2 , 2. x 0 = 1 , 3. x 0 1 = - 2 , x 0 2 = 2 , 4. x 0 1 = - 1 , x 0 2 = 1 , 5. x 0 = 1 , 6. x 0 = 2 .
Sprawdź, która liczba jest miejscem zerowym funkcji. Przenieś prawidłowe odpowiedzi w puste pola. Funkcja y = 2 x - 2 przyjmuje wartość 0 dla 1. x 0 = 2 , 2. x 0 = 1 , 3. x 0 1 = - 2 , x 0 2 = 2 , 4. x 0 1 = - 1 , x 0 2 = 1 , 5. x 0 = 1 , 6. x 0 = 2 . Funkcja y = x 3 - 1 przyjmuje wartość 0 dla 1. x 0 = 2 , 2. x 0 = 1 , 3. x 0 1 = - 2 , x 0 2 = 2 , 4. x 0 1 = - 1 , x 0 2 = 1 , 5. x 0 = 1 , 6. x 0 = 2 . Funkcja y = x 2 - 1 przyjmuje wartość 0 dla 1. x 0 = 2 , 2. x 0 = 1 , 3. x 0 1 = - 2 , x 0 2 = 2 , 4. x 0 1 = - 1 , x 0 2 = 1 , 5. x 0 = 1 , 6. x 0 = 2 .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 2
Odczytaj z wykresów miejsca zerowe funkcji. Przenieś prawidłowe odpowiedzi w puste pola.
R1JBtIm4vOhF9 1 Wykres funkcji składa się z siedmiu punktów o współrzędnych (-2, 3), (-1, 2), (0, jeden i jedna druga), (1, 1), (2, 0), (3, -2), (4, -3).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RLyIBduh0eFeN 1 Wykres funkcji w postaci krzywej leżącej w pierwszej, drugiej, trzeciej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Dziedziną funkcji jest przedział lewostronnie domknięty od -3 do 3. Do wykresu funkcji należą punkty o współrzędnych (-3, 3), (-2, 0), (0, -1), (1, 0).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RjSDAty2yabxF 1 Wykres funkcji składa się z siedmiu punktów o współrzędnych (-3, 1), (-2, 1), (-1, 0), (0, -2), (1, 0), (2, 1), (3, 1).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rm7tBovmGozTC 1 Wykres funkcji w postaci łamanej leżącej w pierwszej, drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Dziedziną funkcji jest przedział prawostronnie domknięty od -3 do 4. Do wykresu funkcji należą punkty (-2, 3), (0, 3), (1, 0), (2, -1), (3, 0) i (4, 4).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R9RGP8cKETX2j Funkcja z pierwszego wykresu przyjmuje wartość 0 dla 1. x 0 1 = 1 x 0 2 = 1 , 2. x 0 1 = - 1 x 0 2 = 1 , 3. x 0 = 1 , 4. x 0 1 = 3 x 0 2 = 2 , 5. x 0 1 = 2 x 0 2 = 2 , 6. x 0 1 = - 2 x 0 2 = 1 , 7. x 0 = 2 , 8. x 0 1 = 1 x 0 2 = 3 , 9. x 0 = 3 , 10. x 0 1 = 2 x 0 2 = 1 , 11. x 0 1 = - 1 x 0 2 = 2 , 12. x 0 1 = - 1 x 0 2 = 1 . Funkcja z drugiego wykresu przyjmuje wartość 0 dla 1. x 0 1 = 1 x 0 2 = 1 , 2. x 0 1 = - 1 x 0 2 = 1 , 3. x 0 = 1 , 4. x 0 1 = 3 x 0 2 = 2 , 5. x 0 1 = 2 x 0 2 = 2 , 6. x 0 1 = - 2 x 0 2 = 1 , 7. x 0 = 2 , 8. x 0 1 = 1 x 0 2 = 3 , 9. x 0 = 3 , 10. x 0 1 = 2 x 0 2 = 1 , 11. x 0 1 = - 1 x 0 2 = 2 , 12. x 0 1 = - 1 x 0 2 = 1 . Funkcja z trzeciego wykresu przyjmuje wartość 0 dla 1. x 0 1 = 1 x 0 2 = 1 , 2. x 0 1 = - 1 x 0 2 = 1 , 3. x 0 = 1 , 4. x 0 1 = 3 x 0 2 = 2 , 5. x 0 1 = 2 x 0 2 = 2 , 6. x 0 1 = - 2 x 0 2 = 1 , 7. x 0 = 2 , 8. x 0 1 = 1 x 0 2 = 3 , 9. x 0 = 3 , 10. x 0 1 = 2 x 0 2 = 1 , 11. x 0 1 = - 1 x 0 2 = 2 , 12. x 0 1 = - 1 x 0 2 = 1 . Funkcja z czwartego wykresu przyjmuje wartość 0 dla 1. x 0 1 = 1 x 0 2 = 1 , 2. x 0 1 = - 1 x 0 2 = 1 , 3. x 0 = 1 , 4. x 0 1 = 3 x 0 2 = 2 , 5. x 0 1 = 2 x 0 2 = 2 , 6. x 0 1 = - 2 x 0 2 = 1 , 7. x 0 = 2 , 8. x 0 1 = 1 x 0 2 = 3 , 9. x 0 = 3 , 10. x 0 1 = 2 x 0 2 = 1 , 11. x 0 1 = - 1 x 0 2 = 2 , 12. x 0 1 = - 1 x 0 2 = 1 .
Funkcja z pierwszego wykresu przyjmuje wartość 0 dla 1. x 0 1 = 1 x 0 2 = 1 , 2. x 0 1 = - 1 x 0 2 = 1 , 3. x 0 = 1 , 4. x 0 1 = 3 x 0 2 = 2 , 5. x 0 1 = 2 x 0 2 = 2 , 6. x 0 1 = - 2 x 0 2 = 1 , 7. x 0 = 2 , 8. x 0 1 = 1 x 0 2 = 3 , 9. x 0 = 3 , 10. x 0 1 = 2 x 0 2 = 1 , 11. x 0 1 = - 1 x 0 2 = 2 , 12. x 0 1 = - 1 x 0 2 = 1 . Funkcja z drugiego wykresu przyjmuje wartość 0 dla 1. x 0 1 = 1 x 0 2 = 1 , 2. x 0 1 = - 1 x 0 2 = 1 , 3. x 0 = 1 , 4. x 0 1 = 3 x 0 2 = 2 , 5. x 0 1 = 2 x 0 2 = 2 , 6. x 0 1 = - 2 x 0 2 = 1 , 7. x 0 = 2 , 8. x 0 1 = 1 x 0 2 = 3 , 9. x 0 = 3 , 10. x 0 1 = 2 x 0 2 = 1 , 11. x 0 1 = - 1 x 0 2 = 2 , 12. x 0 1 = - 1 x 0 2 = 1 . Funkcja z trzeciego wykresu przyjmuje wartość 0 dla 1. x 0 1 = 1 x 0 2 = 1 , 2. x 0 1 = - 1 x 0 2 = 1 , 3. x 0 = 1 , 4. x 0 1 = 3 x 0 2 = 2 , 5. x 0 1 = 2 x 0 2 = 2 , 6. x 0 1 = - 2 x 0 2 = 1 , 7. x 0 = 2 , 8. x 0 1 = 1 x 0 2 = 3 , 9. x 0 = 3 , 10. x 0 1 = 2 x 0 2 = 1 , 11. x 0 1 = - 1 x 0 2 = 2 , 12. x 0 1 = - 1 x 0 2 = 1 . Funkcja z czwartego wykresu przyjmuje wartość 0 dla 1. x 0 1 = 1 x 0 2 = 1 , 2. x 0 1 = - 1 x 0 2 = 1 , 3. x 0 = 1 , 4. x 0 1 = 3 x 0 2 = 2 , 5. x 0 1 = 2 x 0 2 = 2 , 6. x 0 1 = - 2 x 0 2 = 1 , 7. x 0 = 2 , 8. x 0 1 = 1 x 0 2 = 3 , 9. x 0 = 3 , 10. x 0 1 = 2 x 0 2 = 1 , 11. x 0 1 = - 1 x 0 2 = 2 , 12. x 0 1 = - 1 x 0 2 = 1 .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 3
Na podstawie grafu odczytaj miejsca zerowe przedstawionych funkcji. Wpisz odpowiednie liczby w puste pola w kolejności rosnącej.
RT5ctooFJx1Uw 1 Graf pokazuje zbiór X ={2, 3, 4, 5, 6} oraz zbiór Y ={-2, -1, 0, 1}. Elementowi 2 przyporządkowano element -2. Elementowi 3 przyporządkowano element 1. Elementom 4 i 6 przyporządkowano element 0. Elementowi 5 przyporządkowano element -1.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R5YpJyxQLGc6o 1 Graf pokazuje zbiór X ={2, 3, 4, 0, 6} oraz zbiór Y ={-100, 0, 100}. Elementom 2, 4 i 0 przyporządkowano element 0. Elementowi 3 przyporządkowano element -100. Elementowi 6 przyporządkowano element 100.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RLxLOCQ2tukya 1 Graf pokazuje zbiór X ={-1, 0, 1, 2, 3 } oraz zbiór Y ={-2, 0, 2}. Elementowi -1 przyporządkowano element -2. Elementom 0, 1, 2, 3 przyporządkowano element 0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RgJUSP2mwzTOn 1. Miejsca zerowe to: Tu uzupełnij i Tu uzupełnij. 2. Miejsca zerowe to: Tu uzupełnij, Tu uzupełnij i Tu uzupełnij. 3. Miejsca zerowe to: Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij i Tu uzupełnij.
1. Miejsca zerowe to: Tu uzupełnij i Tu uzupełnij. 2. Miejsca zerowe to: Tu uzupełnij, Tu uzupełnij i Tu uzupełnij. 3. Miejsca zerowe to: Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij i Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 4
Funkcja f : X → Y określona jest za pomocą tabeli.
R1D58KTBIPtVd Możliwe odpowiedzi: 1. 3 , 2. 1 i 7 , 3. tylko 1 , 4. tylko 7
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rddfg9mJxu7Ap 2
Ćwiczenie 5
Która funkcja ma dwa miejsca zerowe - 2 i 2 ? Możliwe odpowiedzi: 1. y = x 2 + 4 , 2. y = x - 4 , 3. y = - x 2 + 4 , 4. y = - x 2 - 4
y = x 2 + 4
y = x - 4
y = - x 2 + 4
y = - x 2 - 4
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1IniIuq6OYRL 2
Ćwiczenie 6
Jeżeli liczba - 2 jest miejscem zerowym funkcji y = m + 1 x - 2 , to: Możliwe odpowiedzi: 1. m = - 4 , 2. m = 4 , 3. m = - 1 , 4. m = - 2
m = - 4
m = 4
m = - 1
m = - 2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RsIWw3rH6xPbj 2
Ćwiczenie 7
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe. Zaznacz zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Liczba 2 jest miejscem zerowym funkcji f x = 2 x + 2 ., 2. Liczba 2 jest miejscem zerowym funkcji f x = 2 x - 2 ., 3. Funkcja f x = 0 nie posiada miejsc zerowych., 4. Funkcja f x = 0 posiada nieskończenie wiele miejsc zerowych., 5. Liczba 2 jest miejscem zerowym funkcji f x = x + 2 2 ., 6. Liczba 2 jest miejscem zerowym funkcji f x = 2 x - 2 2 .
Liczba 2 jest miejscem zerowym funkcji f x = 2 x + 2 .
Liczba 2 jest miejscem zerowym funkcji f x = 2 x - 2 .
Funkcja f x = 0 nie posiada miejsc zerowych.
Funkcja f x = 0 posiada nieskończenie wiele miejsc zerowych.
Liczba 2 jest miejscem zerowym funkcji f x = x + 2 2 .
Liczba 2 jest miejscem zerowym funkcji f x = 2 x - 2 2 .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 8
RzhENRgCFCfA0 Liczba 2 jest miejscem zerowym funkcji f x = m + 1 x - 2 , gdzie x jest dowolną liczbą rzeczywistą. Przenieś prawidłowe odpowiedzi w puste pola. Wartość m w tym wzorze wynosi m = 1. 1 , 2. 6 , 3. x - 4 , 4. 3 , 5. 2 , 6. 1 , 7. x + 1 , 8. 2 , 9. 3 , 10. 0 , 11. 4 , 12. x + 3 , 13. 5 , 14. x - 2 , a wzór tej funkcji to f x = 1. 1 , 2. 6 , 3. x - 4 , 4. 3 , 5. 2 , 6. 1 , 7. x + 1 , 8. 2 , 9. 3 , 10. 0 , 11. 4 , 12. x + 3 , 13. 5 , 14. x - 2 . Wartość funkcji dla argumentu 3 wynosi 1. 1 , 2. 6 , 3. x - 4 , 4. 3 , 5. 2 , 6. 1 , 7. x + 1 , 8. 2 , 9. 3 , 10. 0 , 11. 4 , 12. x + 3 , 13. 5 , 14. x - 2 . Wartość funkcji wynosi 1 dla argumentu 1. 1 , 2. 6 , 3. x - 4 , 4. 3 , 5. 2 , 6. 1 , 7. x + 1 , 8. 2 , 9. 3 , 10. 0 , 11. 4 , 12. x + 3 , 13. 5 , 14. x - 2 .
Liczba 2 jest miejscem zerowym funkcji f x = m + 1 x - 2 , gdzie x jest dowolną liczbą rzeczywistą. Przenieś prawidłowe odpowiedzi w puste pola. Wartość m w tym wzorze wynosi m = 1. 1 , 2. 6 , 3. x - 4 , 4. 3 , 5. 2 , 6. 1 , 7. x + 1 , 8. 2 , 9. 3 , 10. 0 , 11. 4 , 12. x + 3 , 13. 5 , 14. x - 2 , a wzór tej funkcji to f x = 1. 1 , 2. 6 , 3. x - 4 , 4. 3 , 5. 2 , 6. 1 , 7. x + 1 , 8. 2 , 9. 3 , 10. 0 , 11. 4 , 12. x + 3 , 13. 5 , 14. x - 2 . Wartość funkcji dla argumentu 3 wynosi 1. 1 , 2. 6 , 3. x - 4 , 4. 3 , 5. 2 , 6. 1 , 7. x + 1 , 8. 2 , 9. 3 , 10. 0 , 11. 4 , 12. x + 3 , 13. 5 , 14. x - 2 . Wartość funkcji wynosi 1 dla argumentu 1. 1 , 2. 6 , 3. x - 4 , 4. 3 , 5. 2 , 6. 1 , 7. x + 1 , 8. 2 , 9. 3 , 10. 0 , 11. 4 , 12. x + 3 , 13. 5 , 14. x - 2 .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Pokaż podpowiedź Zauważ, że aby obliczyć wartość m należy rozwiązać równanie 0 = m + 1 · 2 - 2 .
3
Ćwiczenie 9
Przedstaw za pomocą grafu, tabeli i wykresu funkcję, której dziedziną jest zbiór składający się z 8 elementów, jeżeli
Opisz graf, tabelę i wykres funkcji, której dziedziną jest zbiór składający się z 8 elementów, jeżeli
funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe
funkcja ma 6 miejsc zerowych
funkcja nie ma miejsc zerowych.
R1GnfZcEwVe1k
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Qk2W6m7z77c
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1VllcEeEMkxJ (Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Pokaż podpowiedź Zacznij od wyznaczenia dziedziny, a następnie ustal wszystkie miejsca zerowe funkcji. Pozostałe wartości wybieraj tak, aby nie zmieniły liczby miejsc zerowych.
Pokaż przykładową odpowiedź
Funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe.
Rz7AzRuKZp00Q Graf pokazuje zbiór X ={1,2,3,4,5,6,7,8} oraz zbiór Y ={10,9,14,7,8,0,2,11}. Elementowi 1 przyporządkowano element 2, elementowi 2 przyporządkowano element 8, elementowi 3 przyporządkowano element 7, elementowi 4 przyporządkowano element 14, elementowi 5 przyporządkowano element 9, elementowi 6 przyporządkowano element 10, elementowi 7 przyporządkowano element 0, elementowi 8 przyporządkowano element 11 .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RFXOSUV3NRk40 Wykres funkcji składa się z ośmiu punktów o współrzędnych (1, 2), (2, 8), (3, 7), (4, 14), (5, 9), (6, 10), (7,0), 8 , 11 .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Funkcja ma 6 miejsc zerowych.
RORcqbOqyVuyM Graf pokazuje zbiór X ={1,2,3,4,5,6,7,8 } oraz zbiór Y ={1,2,0}. Elementowi 1 przyporządkowano element 1, elementowi 2 przyporządkowano element 2, elementom 3, 4, 5, 6, 7, 8 przyporządkowano element 0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1ZSgUFnV9rEM Wykres funkcji składa się z ośmiu punktów o współrzędnych (1, 1), (2, 2), (3, 0), (4, 0), (5, 0), (6, 0), (7, 0), 8 , 0 .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Funkcja nie ma miejsc zerowych.
RFtc1qOJDxSK1 Graf pokazuje zbiór X ={1,2,3,4,5,6,7,8} oraz zbiór Y ={6,9,4,5,10}. Elementom 1 i 7 przyporządkowano element 4, elementom 2 i 3 przyporządkowano element 9, elementowi 4 przyporządkowano element 6, elementom 5 i 6 przyporządkowano element 5, elementowi 8 przyporządkowano element 10 .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RWBf7qkWAPi4z Wykres funkcji składa się z ośmiu punktów o współrzędnych (1, 4), (2, 9), (3, 3), (4, 6), (5, 5), (6, 5), (7, 4), 8 , 10 .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.