Mnożenie i dzielenie sumy algebraicznej przez jednomian

W tym materiale dowiesz się, jak wykorzystujemy twierdzenia dotyczące działań na potęgach o tej samej podstawie w mnożeniu i dzieleniu sum algebraicznych. Aby przypomnieć sobie pojęcia związane z tematem materiału zajrzyj do Jednomiany i sumy algebraiczneD7ha4GT6zJednomiany i sumy algebraiczne, aby przypomnieć sobie twierdzenia o potęgach zajrzyj do Iloczyn i iloraz potęg o takich samych podstawachDNbLIcVfzIloczyn i iloraz potęg o takich samych podstawach.

Ważne!

Aby pomnożyć jednomian przez sumę algebraiczną, mnożymy każdy składnik sumy przez ten jednomian.
Aby podzielić sumę algebraiczną przez jednomian, dzielimy każdy składnik sumy przez ten jednomian.

Przykład 1

Pomnóżmy sumę algebraiczną $2 x^{2} - 2 x y + 5 y$ przez jednomian $5 x^{2} y$ . Wykorzystamy twierdzenie dotyczące mnożenia potęg o tej samej podstawie.

5 x^{2} y \cdot (2 x^{2} - 2 x y + 5 y) = 5 x^{2} y \cdot 2 x^{2} - 5 x^{2} y \cdot 2 x y + 5 x^{2} y \cdot 5 y =

= 10 x^{4} y - 10 x^{3} y^{2} + 25 x^{2} y^{2}

Przykład 2

Podzielmy sumę algebraiczną $12 a^{2} b^{3} + 6 a b^{4} - 4 a^{3} b$ przez jednomian $2 a b$ zakładając, że $a \neq 0$ i $b \neq 0$ .

Skorzystamy z twierdzenia dotyczącego dzielenia potęg o tej samej podstawie.

\frac{12 a^{2} b^{3} + 6 a b^{4} - 4 a^{3} b}{2 a b} = \frac{12 a^{2} b^{3}}{2 a b} + \frac{6 a b^{4}}{2 a b} - \frac{4 a^{3} b}{2 a b} = 6 a b^{2} + 3 b^{3} - 2 a^{2}

Podzielmy teraz tę samą sumę przez jednomian $4 a^{2} b^{2}$ . Niech w dalszym ciągu $a \neq 0$ i $b \neq 0$ .

\frac{12 a^{2} b^{3} + 6 a b^{4} - 4 a^{3} b}{4 a^{2} b^{2}} = \frac{12 a^{2} b^{3}}{4 a^{2} b^{2}} + \frac{6 a b^{4}}{4 a^{2} b^{2}} - \frac{4 a^{3} b}{4 a^{2} b^{2}} = 3 b + \frac{1, 5 b^{2}}{a} - \frac{a}{b}

RWviA9KhSDWEQ11

Ćwiczenie 1

Pomnóż jednomiany przez sumy algebraiczne. Połącz w pary wyrażenia, które są sobie równe.

3 x^{2} y (- 2, 5 x^{3} y^{2} + 4 x y^{2} - 5 y)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 4 x^{3} y^{2} + 12 x^{3} y^{3} + 4 x^{2} y

, 2.

- 1, 25 m^{3} n^{6} - m^{4} n^{5} + 9, 375 m^{5} n^{6}

, 3.

- 2 a^{2} b^{4} + 6 a^{4} b^{2} - \frac{a^{2} b^{2}}{4}

, 4.

- \frac{1}{4} a^{2} b^{4} + \frac{2}{11} a^{2} b - 3 a^{5} b^{3}

, 5.

3 k^{3} l^{5} - 5, 76 k^{2} l^{6} + 6, 24 k^{6} l^{3} - 2, 4 k^{3} l^{4}

, 6.

- 7, 5 x^{5} y^{3} + 12 x^{3} y^{3} - 15 x^{2} y^{2}

, 7.

- 2 a^{2} b^{4} + 6 a^{4} b^{2} - 0, 25 a^{2} b^{2}

- \frac{1}{3} a b (\frac{3}{4} a b^{3} - \frac{6}{11} a + 9 a^{4} b^{2})

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 4 x^{3} y^{2} + 12 x^{3} y^{3} + 4 x^{2} y

, 2.

- 1, 25 m^{3} n^{6} - m^{4} n^{5} + 9, 375 m^{5} n^{6}

, 3.

- 2 a^{2} b^{4} + 6 a^{4} b^{2} - \frac{a^{2} b^{2}}{4}

, 4.

- \frac{1}{4} a^{2} b^{4} + \frac{2}{11} a^{2} b - 3 a^{5} b^{3}

, 5.

3 k^{3} l^{5} - 5, 76 k^{2} l^{6} + 6, 24 k^{6} l^{3} - 2, 4 k^{3} l^{4}

, 6.

- 7, 5 x^{5} y^{3} + 12 x^{3} y^{3} - 15 x^{2} y^{2}

, 7.

- 2 a^{2} b^{4} + 6 a^{4} b^{2} - 0, 25 a^{2} b^{2}

- 1, 2 k^{2} l^{3} (- 2, 5 k l^{2} + 4, 8 l^{3} - 5, 2 k^{4} + 2 k l)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 4 x^{3} y^{2} + 12 x^{3} y^{3} + 4 x^{2} y

, 2.

- 1, 25 m^{3} n^{6} - m^{4} n^{5} + 9, 375 m^{5} n^{6}

, 3.

- 2 a^{2} b^{4} + 6 a^{4} b^{2} - \frac{a^{2} b^{2}}{4}

, 4.

- \frac{1}{4} a^{2} b^{4} + \frac{2}{11} a^{2} b - 3 a^{5} b^{3}

, 5.

3 k^{3} l^{5} - 5, 76 k^{2} l^{6} + 6, 24 k^{6} l^{3} - 2, 4 k^{3} l^{4}

, 6.

- 7, 5 x^{5} y^{3} + 12 x^{3} y^{3} - 15 x^{2} y^{2}

, 7.

- 2 a^{2} b^{4} + 6 a^{4} b^{2} - 0, 25 a^{2} b^{2}

2, 5 m^{2} n^{4} (- \frac{1}{2} m n^{2} - 0, 4 m^{2} n + 3 \frac{1}{4} m^{3} n^{2})

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 4 x^{3} y^{2} + 12 x^{3} y^{3} + 4 x^{2} y

, 2.

- 1, 25 m^{3} n^{6} - m^{4} n^{5} + 9, 375 m^{5} n^{6}

, 3.

- 2 a^{2} b^{4} + 6 a^{4} b^{2} - \frac{a^{2} b^{2}}{4}

, 4.

- \frac{1}{4} a^{2} b^{4} + \frac{2}{11} a^{2} b - 3 a^{5} b^{3}

, 5.

3 k^{3} l^{5} - 5, 76 k^{2} l^{6} + 6, 24 k^{6} l^{3} - 2, 4 k^{3} l^{4}

, 6.

- 7, 5 x^{5} y^{3} + 12 x^{3} y^{3} - 15 x^{2} y^{2}

, 7.

- 2 a^{2} b^{4} + 6 a^{4} b^{2} - 0, 25 a^{2} b^{2}

- 2 x y^{6} (- 3, 5 x^{6} y + 4 x y^{2} - 0, 3 x^{3} y^{2})

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 4 x^{3} y^{2} + 12 x^{3} y^{3} + 4 x^{2} y

, 2.

- 1, 25 m^{3} n^{6} - m^{4} n^{5} + 9, 375 m^{5} n^{6}

, 3.

- 2 a^{2} b^{4} + 6 a^{4} b^{2} - \frac{a^{2} b^{2}}{4}

, 4.

- \frac{1}{4} a^{2} b^{4} + \frac{2}{11} a^{2} b - 3 a^{5} b^{3}

, 5.

3 k^{3} l^{5} - 5, 76 k^{2} l^{6} + 6, 24 k^{6} l^{3} - 2, 4 k^{3} l^{4}

, 6.

- 7, 5 x^{5} y^{3} + 12 x^{3} y^{3} - 15 x^{2} y^{2}

, 7.

- 2 a^{2} b^{4} + 6 a^{4} b^{2} - 0, 25 a^{2} b^{2}

\frac{a b}{2} (- 4 a b^{3} + 12 a^{3} b - 0, 5 a b)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 4 x^{3} y^{2} + 12 x^{3} y^{3} + 4 x^{2} y

, 2.

- 1, 25 m^{3} n^{6} - m^{4} n^{5} + 9, 375 m^{5} n^{6}

, 3.

- 2 a^{2} b^{4} + 6 a^{4} b^{2} - \frac{a^{2} b^{2}}{4}

, 4.

- \frac{1}{4} a^{2} b^{4} + \frac{2}{11} a^{2} b - 3 a^{5} b^{3}

, 5.

3 k^{3} l^{5} - 5, 76 k^{2} l^{6} + 6, 24 k^{6} l^{3} - 2, 4 k^{3} l^{4}

, 6.

- 7, 5 x^{5} y^{3} + 12 x^{3} y^{3} - 15 x^{2} y^{2}

, 7.

- 2 a^{2} b^{4} + 6 a^{4} b^{2} - 0, 25 a^{2} b^{2}

2 \sqrt{2} x^{2} y (- \sqrt{2} x y + 3 \sqrt{2} x y^{2} + \sqrt{2})

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 4 x^{3} y^{2} + 12 x^{3} y^{3} + 4 x^{2} y

, 2.

- 1, 25 m^{3} n^{6} - m^{4} n^{5} + 9, 375 m^{5} n^{6}

, 3.

- 2 a^{2} b^{4} + 6 a^{4} b^{2} - \frac{a^{2} b^{2}}{4}

, 4.

- \frac{1}{4} a^{2} b^{4} + \frac{2}{11} a^{2} b - 3 a^{5} b^{3}

, 5.

3 k^{3} l^{5} - 5, 76 k^{2} l^{6} + 6, 24 k^{6} l^{3} - 2, 4 k^{3} l^{4}

, 6.

- 7, 5 x^{5} y^{3} + 12 x^{3} y^{3} - 15 x^{2} y^{2}

, 7.

- 2 a^{2} b^{4} + 6 a^{4} b^{2} - 0, 25 a^{2} b^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RZQr3DfZxyDMs21

Ćwiczenie 2

Podziel sumy algebraiczne przez jednomian. Połącz w pary wyrażenia, które są sobie równe.

\frac{5 x^{2} y^{2} + 3 x^{3} y - 2 x y^{4}}{x^{2} y^{2}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{0,6 y}{x} - \frac{1, 8}{y^{2}} + \frac{1, 2 y^{2}}{x^{2}}

, 2.

3 a^{3} b^{2} - 2 + b^{3}

, 3.

8 a^{3} b^{2} - 6 a b^{2} + \frac{4}{b}

, 4.

5 + \frac{3 x}{y} - \frac{2 y^{2}}{x}

, 5.

6 x^{2} y^{4} - x^{4} y^{2} + 3 y^{3}

(- 18 x^{3} y^{5} + 3 x^{5} y^{3} - 9 x y^{4}) : (- 3 x y)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{0,6 y}{x} - \frac{1, 8}{y^{2}} + \frac{1, 2 y^{2}}{x^{2}}

, 2.

3 a^{3} b^{2} - 2 + b^{3}

, 3.

8 a^{3} b^{2} - 6 a b^{2} + \frac{4}{b}

, 4.

5 + \frac{3 x}{y} - \frac{2 y^{2}}{x}

, 5.

6 x^{2} y^{4} - x^{4} y^{2} + 3 y^{3}

(24 a^{5} b^{4} - 18 a^{3} b^{4} + 12 a^{2} b) : (3 a^{2} b^{2})

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{0,6 y}{x} - \frac{1, 8}{y^{2}} + \frac{1, 2 y^{2}}{x^{2}}

, 2.

3 a^{3} b^{2} - 2 + b^{3}

, 3.

8 a^{3} b^{2} - 6 a b^{2} + \frac{4}{b}

, 4.

5 + \frac{3 x}{y} - \frac{2 y^{2}}{x}

, 5.

6 x^{2} y^{4} - x^{4} y^{2} + 3 y^{3}

\frac{- 1, 2 x^{2} y^{4} - 3, 6 x^{3} y + 2, 4 x y^{5}}{2 x^{3} y^{3}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{0,6 y}{x} - \frac{1, 8}{y^{2}} + \frac{1, 2 y^{2}}{x^{2}}

, 2.

3 a^{3} b^{2} - 2 + b^{3}

, 3.

8 a^{3} b^{2} - 6 a b^{2} + \frac{4}{b}

, 4.

5 + \frac{3 x}{y} - \frac{2 y^{2}}{x}

, 5.

6 x^{2} y^{4} - x^{4} y^{2} + 3 y^{3}

(3 \sqrt{3} a^{4} b^{3} - 2 \sqrt{3} a b + \sqrt{3} a b^{4}) : (\sqrt{3} a b)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{0,6 y}{x} - \frac{1, 8}{y^{2}} + \frac{1, 2 y^{2}}{x^{2}}

, 2.

3 a^{3} b^{2} - 2 + b^{3}

, 3.

8 a^{3} b^{2} - 6 a b^{2} + \frac{4}{b}

, 4.

5 + \frac{3 x}{y} - \frac{2 y^{2}}{x}

, 5.

6 x^{2} y^{4} - x^{4} y^{2} + 3 y^{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RFji31OmDYgqJ1

Ćwiczenie 3

Przeciągnij i upuść jednomiany tak, aby podane równości były prawdziwe. a)

4 a b^{2} (- 2 a + 3 b -

9 a^{3} b^{3}

, 2.

3 a^{3} b

, 3.

- 3 a b^{3}

, 4.

\sqrt{12} a^{2}

, 5.

5 a^{2} b

, 6.

- 6 a b

, 7.

10

, 8.

5 a b

) = - 8 a^{2} b^{2} + 12 a b^{3} - 20 a^{2} b^{3}

- 0, 75 a b (- 4 a^{2} + 12 a b^{3} -

9 a^{3} b^{3}

, 2.

3 a^{3} b

, 3.

- 3 a b^{3}

, 4.

\sqrt{12} a^{2}

, 5.

5 a^{2} b

, 6.

- 6 a b

, 7.

10

, 8.

5 a b

) =

9 a^{3} b^{3}

, 2.

3 a^{3} b

, 3.

- 3 a b^{3}

, 4.

\sqrt{12} a^{2}

, 5.

5 a^{2} b

, 6.

- 6 a b

, 7.

10

, 8.

5 a b

- 9 a^{2} b^{4} + 7, 5 a b

- \frac{2}{3} a (

9 a^{3} b^{3}

, 2.

3 a^{3} b

, 3.

- 3 a b^{3}

, 4.

\sqrt{12} a^{2}

, 5.

5 a^{2} b

, 6.

- 6 a b

, 7.

10

, 8.

5 a b

+ 9 a^{2} b + 12 a b^{2}) = 4 a^{2} b - 6 a^{3} b - 8 a^{2} b^{2}

\sqrt{3} a b^{2} (2 \sqrt{3} b -

9 a^{3} b^{3}

, 2.

3 a^{3} b

, 3.

- 3 a b^{3}

, 4.

\sqrt{12} a^{2}

, 5.

5 a^{2} b

, 6.

- 6 a b

, 7.

10

, 8.

5 a b

+ \sqrt{27} a^{2} b) = 6 a b^{3} - 6 a^{3} b^{2} +

9 a^{3} b^{3}

, 2.

3 a^{3} b

, 3.

- 3 a b^{3}

, 4.

\sqrt{12} a^{2}

, 5.

5 a^{2} b

, 6.

- 6 a b

, 7.

10

, 8.

5 a b

1, 2 b^{2} (- 2, 5 a b + 0, 1 a -

9 a^{3} b^{3}

, 2.

3 a^{3} b

, 3.

- 3 a b^{3}

, 4.

\sqrt{12} a^{2}

, 5.

5 a^{2} b

, 6.

- 6 a b

, 7.

10

, 8.

5 a b

) =

9 a^{3} b^{3}

, 2.

3 a^{3} b

, 3.

- 3 a b^{3}

, 4.

\sqrt{12} a^{2}

, 5.

5 a^{2} b

, 6.

- 6 a b

, 7.

10

, 8.

5 a b

+ 0, 12 a b^{2} - 6 a^{2} b^{3}

Przeciągnij i upuść jednomiany tak, aby podane równości były prawdziwe.

$9 a^{3} b^{3}$ , $5 a b$ , $\sqrt{12} a^{2}$ , $3 a^{3} b$ , $5 a^{2} b$ , $- 3 a b^{3}$ , $10$ , $- 6 a b$

a) $4 a b^{2} (- 2 a + 3 b -$ ............ $) = - 8 a^{2} b^{2} + 12 a b^{3} - 20 a^{2} b^{3}$
b) $- 0, 75 a b (- 4 a^{2} + 12 a b^{3} -$ ............ $) =$ ............ $- 9 a^{2} b^{4} + 7, 5 a b$
c) $- \frac{2}{3} a ($ ............ $+ 9 a^{2} b + 12 a b^{2}) = 4 a^{2} b - 6 a^{3} b - 8 a^{2} b^{2}$
d) $\sqrt{3} a b^{2} (2 \sqrt{3} b -$ ............ $+ \sqrt{27} a^{2} b) = 6 a b^{3} - 6 a^{3} b^{2} +$ ............
e) $1, 2 b^{2} (- 2, 5 a b + 0, 1 a -$ ............ $) =$ ............ $+ 0, 12 a b^{2} - 6 a^{2} b^{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RaWranlViBMVl1

Ćwiczenie 4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RKGRAqmZxwAdo2

Ćwiczenie 5

Połącz w pary wyrażenia, które są sobie równe.

- 4 x y (- 1, 5 x^{2} y + 2, 5 x y^{2})

Możliwe odpowiedzi: 1.

6 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3}

, 2.

10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{2}

, 3.

6 x^{3} y^{2} - 12 x^{2} y^{3}

, 4.

- 6 x^{2} y^{2} - 3 x^{2} y^{3}

, 5.

4 x^{3} y - 8 x^{2} y^{3}

\sqrt{5} x^{2} (2 \sqrt{5} x y^{2} - \sqrt{20} y^{2})

Możliwe odpowiedzi: 1.

6 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3}

, 2.

10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{2}

, 3.

6 x^{3} y^{2} - 12 x^{2} y^{3}

, 4.

- 6 x^{2} y^{2} - 3 x^{2} y^{3}

, 5.

4 x^{3} y - 8 x^{2} y^{3}

- \frac{3}{4} x y^{2} (8 x + 4 x y)

Możliwe odpowiedzi: 1.

6 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3}

, 2.

10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{2}

, 3.

6 x^{3} y^{2} - 12 x^{2} y^{3}

, 4.

- 6 x^{2} y^{2} - 3 x^{2} y^{3}

, 5.

4 x^{3} y - 8 x^{2} y^{3}

1, 2 x^{2} y^{2} (5 x - 10 y)

Możliwe odpowiedzi: 1.

6 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3}

, 2.

10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{2}

, 3.

6 x^{3} y^{2} - 12 x^{2} y^{3}

, 4.

- 6 x^{2} y^{2} - 3 x^{2} y^{3}

, 5.

4 x^{3} y - 8 x^{2} y^{3}

2 \sqrt[3]{2} x^{2} y (\sqrt[3]{4} x - \sqrt[3]{32} y^{2})

Możliwe odpowiedzi: 1.

6 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3}

, 2.

10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{2}

, 3.

6 x^{3} y^{2} - 12 x^{2} y^{3}

, 4.

- 6 x^{2} y^{2} - 3 x^{2} y^{3}

, 5.

4 x^{3} y - 8 x^{2} y^{3}

Połącz w pary.

$- 4 x y (- 1, 5 x^{2} y + 2, 5 x y^{2})$
$\sqrt{5} x^{2} (2 \sqrt{5} x y^{2} - \sqrt{20} y^{2})$
$- \frac{3}{4} x y^{2} (8 x + 4 x y)$
$1, 2 x^{2} y^{2} (5 x - 10 y)$
$2 \sqrt[3]{2} x^{2} y (\sqrt[3]{4} x - \sqrt[3]{32} y^{2})$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Dane są wyrażenia algebraiczne:

$A = - 5 x^{2} y^{2} + 3, 5 x^{2} y - 7 x y^{2} + 9 x y$ ,

$B = 5 x y$ , gdzie $x \neq 0$ i $y \neq 0$ .

Wykonaj działania i przedstaw wyniki w najprostszej postaci.

$A \cdot B$
$\frac{A}{B}$

RhMt7BxtZcJ9R

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podstaw za $A$ i $B$ podane wyrażenia algebraiczne, a następnie wykonaj mnożenie oraz dzielenie sumy algebraicznej przez jednomian.

Dla $A \cdot B$ mamy:

$A \cdot B =$
$= (- 5 x^{2} y^{2} + 3, 5 x^{2} y - 7 x y^{2} + 9 x y) \cdot 5 x y =$

Mnożymy dwa czynniki.

$= - 5 x^{2} y^{2} \cdot 5 x y + 3, 5 x^{2} y \cdot 5 x y - 7 x y^{2} \cdot 5 x y + 9 x y \cdot 5 x y =$

Mnożymy czynniki będące składnikami sumy.

$= - 25 x^{3} y^{3} + 17, 5 x^{3} y^{2} - 35 x^{2} y^{3} + 45 x^{2} y^{2}$

Dla $\frac{A}{B}$ mamy:

$\frac{A}{B} =$

$= \frac{- 5 x^{2} y^{2} + 3, 5 x^{2} y - 7 x y^{2} + 9 x y}{5 x y} =$

Rozbijamy ułamek na cztery ułamki o prostszej postaci. Od razu zapisujemy znaki poprzedzające każde pojedyncze wyrażenie z licznika przed ułamkiem.

$= - \frac{5 x^{2} y^{2}}{5 x y} + \frac{3, 5 x^{2} y}{5 x y} - \frac{7 x y^{2}}{5 x y} + \frac{9 x y}{5 x y} =$

Skracamy ułamki.

$= - x y + 0, 7 x - 1, 4 y + 1, 8$

Ćwiczenie 7

R1cV2varStFsm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

RnVyAmIVtYmV1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

R9JU1TrLhvS56

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

R1bsXIDkluuBa

Przez pierwsze trzy miesiące roku pan Kowalski zarabiał miesięcznie po

x zł

. W kwietniu, maju i czerwcu jego miesięczna pensja była niższa o

150 zł

od pensji marcowej. W pozostałych sześciu miesiącach pensja miesięczna wynosiła

115 %

pensji miesięcznej z pierwszego kwartału. Jakie było średnie miesięczne wynagrodzenie pana Kowalskiego w ciągu tego roku? Uzupełnij poniższe zdanie, przeciągając w lukę odpowiednie z podanych wyrażenie. Odpowiedź: Średnie miesięczne wynagrodzenie pana Kowalskiego wynosi 1.

1, 757 x - 38, 5

, 2.

1, 175 x - 36, 5

, 3.

1, 075 x - 37, 5

, 4.

1, 575 x - 35, 5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.