Jednomiany i sumy algebraiczne

Przykład 1

Spośród podanych wyrażeń algebraicznych wybierzemy te, które są zapisane za pomocą pojedynczych liczb lub liter albo są iloczynami liczb i liter.

R6FXsXkAuwE071

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jednomian

Definicja: Jednomian

Jednomianem nazywamy wyrażenie algebraiczne, które jest liczbą, literą lub iloczynem liczb i liter.

Ważne!

Wyrażenie algebraiczne zbudowane jest z jednomianów.

Tabela. Dane
Wyrażenie algebraiczne	Jednomiany tworzące to wyrażenie
$\frac{- 6 a + 6 b}{4 abc}$	$- 6 a$ , $6 b$ , $4 abc$
$\frac{x^{2} y}{x - 8 y}$	$x^{2} y$ , $x$ , $- 8 y$
$(100 - h) ∙ h^{2}$	$100$ , $- h$ , $h^{2}$

Występujący w jednomianie znak mnożenia często pomijamy, na przykład:

4 ∙ x = 4 x

x ∙ y = xy

- 15 ∙ a = - 15 a

Jeżeli w jednomianie pierwszym czynnikiem jest litera, a drugim liczba, to znaku mnożenia nie pomijamy, albo zmieniamy kolejność czynników (mnożenie jest przemienne), na przykład:

x ∙ 3 = 3 x

a ∙ (- 9) = - 9 a

Przykład 2

Uporządkujemy jednomian i odczytamy jego współczynnik liczbowy.

R17lAgsC9ithf1

Zapamiętaj!

Jednomian jest uporządkowany, jeżeli jego pierwszym czynnikiem jest liczba, a następnymi litery w kolejności alfabetycznej.

Współczynnik liczbowy

Definicja: Współczynnik liczbowy

Liczbę, która występuje na początku uporządkowanego jednomianu nazywamy współczynnikiem liczbowym tego jednomianu.

Ważne!

W jednomianie współczynnik liczbowy $1$ możemy pominąć $1 ∙ d = d$ . Współczynnik $- 1$ możemy zastąpić znakiem minus

- 1 ∙ h = - h .

Suma algebraiczna

Definicja: Suma algebraiczna

Sumą algebraiczną nazywamy wyrażenie, które jest sumą jednomianów. Jednomiany te nazywamy wyrazami sumy.
Wyrażenie algebraiczne, w którym występuje odejmowanie jednomianów, jest także sumą algebraiczną, ponieważ odejmowanie możemy zastąpić dodawaniem jednomianów przeciwnych.

6 x^{2} - 4 y - (- 5 x) - 13 xy = 6 x^{2} + (- 4 y) + 5 x + (- 13 xy) .

Sumę algebraiczną

- 2 x + x^{2} + 23 y + 15 xy - 3 y^{2} + {xy}^{2} + (- 5)

możemy zapisać bez użycia nawiasów

- 2 x + x^{2} + 23 y + 15 xy - 3 x^{2} + {xy}^{2} - 5

Przykład 3

Spośród jednomianów wybierzmy te, które różnią się tylko współczynnikiem liczbowym.

RrGW7jXdFMhcY1

Jednomiany podobne

Definicja: Jednomiany podobne

Jednomianami podobnymi nazywamy jednomiany, w których występują takie same czynniki literowe w tej samej potędze.
Jednomiany podobne różnią się współczynnikiem liczbowym lub kolejnością czynników. Jednomiany podobne występujące w sumie algebraicznej nazywamy wyrazami podobnymi sumy algebraicznej.

Przykład 4

Rsx5tZ35R65Iq1

Redukcja wyrazów podobnych

Definicja: Redukcja wyrazów podobnych

Redukcją wyrazów podobnych nazywamy przekształcenie sumy algebraicznej polegające na wykonaniu dodawania lub odejmowania wyrazów podobnych. W wyniku redukcji wyrazów podobnych, otrzymujemy prostszą postać sumy algebraicznej.

iVSJbfCOba_d5e314

classicmobile

Ćwiczenie 1

Które z podanych wyrażeń algebraicznych są jednomianami?

RyaT0VvysRwhX

$\frac{x}{y}$
$(- 2 x) ∙ x$
$x + x^{2}$
$6 h ∙ 7 t$
$100 + 100 x$
$- uk$
$ab + cd$
$g^{10} ∙ 2^{10}$
$\frac{a + b}{a - b}$

static

Ćwiczenie 1

Które z podanych wyrażeń algebraicznych są jednomianami?

R15rZRqFZvGbR

$\frac{x}{y}$
$(- 2 x) ∙ x$
$x + x^{2}$
$6 h ∙ 7 t$
$100 + 100 x$
$- uk$
$ab + cd$
$g^{10} ∙ 2^{10}$
$\frac{a + b}{a - b}$

classicmobile

Ćwiczenie 2

Które z podanych wyrażeń algebraicznych są jednomianami?

R1VE0FVulm278

$- abc$
$6 abc - a$
$- 8$
$x^{2} y + x y^{2}$
$- 2 ab ∙ (- 3 cd)$
$a^{2} + c$
$d$
$\frac{3}{4} ∙ (- 12)$
$- x$

static

Ćwiczenie 2

Które z podanych wyrażeń algebraicznych są jednomianami?

RtkZWoCjwftUh

$- abc$
$6 abc - a$
$- 8$
$x^{2} y + x y^{2}$
$- 2 ab ∙ (- 3 cd)$
$a^{2} + c$
$d$
$\frac{3}{4} ∙ (- 12)$
$- x$

Ćwiczenie 3

Wypisz wyrazy sumy algebraicznej.

$\frac{2}{3} a - \frac{1}{2} b + 2 c$
$- x^{5} + 2 x^{3} - x$
$9 a ∙ (- \frac{1}{3} b) - 15 \frac{1}{3} c$
$1 \frac{1}{2} d ∙ (- \frac{8}{15} g) ∙ 30 + {dg}^{2} - 0,4 {gd}^{2}$
$9,3 x ∙ (- 2,2 y) + 11,5 xy ∙ (- x)$

$\frac{2}{3} a, - \frac{1}{2} b, 2 c$
$- x^{5}, 2 x^{3}, - x$
$9 a ∙ (- \frac{1}{3} b) = - 3 ab, - 15 \frac{1}{3} c$
$1 \frac{1}{2} d ∙ (- \frac{8}{15} g) ∙ 30 = - 24 dg, {dg}^{2}, - 0,4 {gd}^{2}$
$9,3 x ∙ (- 2,2 y) = - 20,46 xy, 11,5 xy ∙ (- x) = - 11,5 x^{2} y$

Ćwiczenie 4

Uporządkuj jednomian.

$6 ∙ a ∙ (- 2 c)$
$4 \frac{1}{2} ∙ (- 10) ∙ xxx ∙ y$
$- 0,9 a^{2} b ∙ 100 a b^{2}$
$- 1 \frac{2}{3} x^{3} y^{2} z ∙ (- 18 xy z^{3})$
$\frac{4}{9} adr ∙ (- \frac{3}{8} r a^{2}) ∙ (- d^{3}) ∙ (- a r^{2})$
$- 3 hk ∙ (- k) ∙ (- h^{4}) ∙ \frac{8}{27} {kh}^{2} ∙ (- 1)$

$- 12 ac$
$- 45 x^{3} y$
$- 90 a^{3} b^{3}$
$30 x^{4} y^{3} z^{4}$
$- \frac{1}{6} a^{4} d^{4} r^{4}$
$\frac{8}{9} h^{7} k^{3}$

Ćwiczenie 5

R1LtRS8mO0uTy1

Połącz w pary jednomian i odpowiadający mu współczynnik liczbowy.

$- 4,4$
$- 10$
$6$
$10$
$- 0,44$
$- 6$
$4,4$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 6

Które z podanych jednomianów są podobne?

RfdAIGjS5DR4N

$12 x y^{2} z^{2}, 2 xyyzz$
$12 xyz$ , $- 12 xxyyzz$ , $x y^{2} z$
$- 3 x ∙ 0,7 yz ∙ yz, 2 xyz ∙ (- 6 yz)$
$- x ∙ (- y^{2} z) ∙ z, \frac{3}{7} z^{2} x y^{2}$

static

Ćwiczenie 6

Które z podanych jednomianów są podobne?

R10jsNUstCnZm

$12 x y^{2} z^{2}, 2 xyyzz$
$12 xyz$ , $- 12 xxyyzz$ , $x y^{2} z$
$- 3 x ∙ 0,7 yz ∙ yz, 2 xyz ∙ (- 6 yz)$
$- x ∙ (- y^{2} z) ∙ z, \frac{3}{7} z^{2} x y^{2}$

classicmobile

Ćwiczenie 7

Które z podanych jednomianów są podobne?

RqBLZ58LNNJ2K

$5 ∙ a ∙ a ∙ b ∙ b ∙ c ∙ c, - 5 ∙ a ∙ a ∙ b ∙ b ∙ c ∙ c$
$50 abc$ , $5 ∙ 2 a ∙ 2 b ∙ 2$
$2 \frac{5}{7} a^{2} b^{2} c^{2}$ , $0,5 aabbcc$
$7 ∙ a ∙ b ∙ c ∙ a ∙ b ∙ c$ , $\frac{1}{3} a c^{2} b^{2} a$
$7 a^{2} b c^{2}$

static

Ćwiczenie 7

Które z podanych jednomianów są podobne?

R1XXKh6HIrxDA

$5 ∙ a ∙ a ∙ b ∙ b ∙ c ∙ c, - 5 ∙ a ∙ a ∙ b ∙ b ∙ c ∙ c$
$50 abc$ , $5 ∙ 2 a ∙ 2 b ∙ 2$
$2 \frac{5}{7} a^{2} b^{2} c^{2}$ , $0,5 aabbcc$
$7 ∙ a ∙ b ∙ c ∙ a ∙ b ∙ c$ , $\frac{1}{3} a c^{2} b^{2} a$
$7 a^{2} b c^{2}$

Ćwiczenie 8

R1bX1wWYW9FcI1

Połącz w pary jednomiany podobne.

$2 m m k$
$3 m k$
$- m k m k$
$- 3 m^{2}$
$- 7 m k k$
$- \frac{1}{3} m$
$- 0, 6 k^{2}$
$- 9 k$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Podaj przykład jednomianu podobnego do jednomianu

$2 \frac{3}{7} x^{2} ∙ (- 21 x) ∙ 0,21 x y^{3}$
$- \frac{2}{3} ababa ∙ cacaca$
$\frac{5}{11} kh t^{4} ∙ \frac{4}{11} k^{4} ht ∙ \frac{2}{11} k h^{4} t ∙ (- 11)$

Na przykład:

${5 x}^{4} y^{3}$
$a^{6} b^{2} c^{3}$
$k^{6} h^{6} t^{6}$

classicmobile

Ćwiczenie 10

Suma algebraiczna $1 + \frac{5}{6} x^{2} + (- 2 x) + \frac{1}{3} x^{2} + 15 x - 8$ po zredukowaniu wyrazów podobnych ma postać

R9PYrnn8KCUay

$2 \frac{1}{6} x^{2} + 13 x - 8$
$1 \frac{1}{6} x^{2} + 13 x - 7$
$\frac{1}{6} x^{2} - 13 x - 7$
$1 \frac{1}{6} x^{2} + 17 x - 7$

static

Ćwiczenie 10

Suma algebraiczna $1 + \frac{5}{6} x^{2} + (- 2 x) + \frac{1}{3} x^{2} + 15 x - 8$ po zredukowaniu wyrazów podobnych ma postać

R1FO12BJzaNqo

$2 \frac{1}{6} x^{2} + 13 x - 8$
$1 \frac{1}{6} x^{2} + 13 x - 7$
$\frac{1}{6} x^{2} - 13 x - 7$
$1 \frac{1}{6} x^{2} + 17 x - 7$

Ćwiczenie 11

R1DABMFTI64p61

Połącz w pary sumę algebraiczną i odpowiadający jej jednomian.

$- 2 x$
$x$
$3 x^{2}$
$- 3 x^{2}$
$- x$
$2 x$
$- 2 x^{2}$
$2 x^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

Niech $A = - 12 x^{2} y^{2}, B = \frac{3}{7} x y^{2}, C = 41 y^{2} x^{2}, D = 1,2 y^{2} x, E = - x^{2} y, F = 3 y x^{2} .$ Zapisz w najprostszej postaci wyrażenie

$A + C$
$B + D$
$E + F$

$29 x^{2} y^{2}$
$1 \frac{22}{35} x y^{2}$
$2 x^{2} y$

Ćwiczenie 13

Wykonaj redukcję wyrazów podobnych.

$2 x + 6 y + (- 10 x) - 15 y - x - y$
$12 a^{2} - 6 a + a^{2} - 7 a - a + (- 14 a^{2})$
$5 x^{2} y + 2 xy - 7 x y^{2} + (- 16 x^{2} y) - xy + y^{2} x$
$1,2 ab - b + a - \frac{1}{3} ba + \frac{7}{9} b - \frac{3}{7} a + (- ab)$
$4 \frac{1}{4} xar - arx + \frac{1}{2} ar - xr - 3 \frac{1}{4} rax + 1,5 ra + xr$
$4,2 km - 0,2 mm + 4 mk - 10 k + 12 km - 0,8 m^{2} + 21 k$
$3 w s^{2} z + 4 wsz - 2 {sz}^{2} + (- \frac{3}{4} s^{2} wz) + wsz - 7 z^{2} s$

$- 9 x - 10 y$
$- a^{2} - 14 a$
$- 11 x^{2} y + xy - 6 x y^{2}$
$- \frac{2}{15} ab - \frac{2}{9} b + \frac{4}{7} a$
$2 ar$
$20,2 km - m^{2} + 11 k$
$2 \frac{1}{4} s^{2} wz + 5 swz - 9 s z^{2}$

classicmobile

Ćwiczenie 14

Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RTVsOx5IR3lSn

Wyrażenie $xyz ∙ (x + y + z)$ jest jednomianem.
Jednomiany $x$ oraz $x^{2}$ są podobne.
Jednomian $12 ab c^{2}$ jest uporządkowany.
Redukcja wyrazów podobnych polega na mnożeniu jednomianów.

static

Ćwiczenie 14

Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RnQ1OpfEGLG3y

Wyrażenie $xyz ∙ (x + y + z)$ jest jednomianem.
Jednomiany $x$ oraz $x^{2}$ są podobne.
Jednomian $12 ab c^{2}$ jest uporządkowany.
Redukcja wyrazów podobnych polega na mnożeniu jednomianów.

classicmobile

Ćwiczenie 15

Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1HiTB4xEMki1

static

Ćwiczenie 16

RNei05ZmsTb2T1

Przeciągnij i upuść tak, aby otrzymany jednomian był podobny do jednomianu $2 x \cdot \frac{3}{5} y^{2} \cdot (- 20 x y z^{7})$ .

$- x^{2} z^{7}$ , $x y^{2} z^{6}$ , $y z^{5}$

$5 x^{2} \cdot$ .............................................. $\cdot y^{2} \cdot 12 z^{2}$
$x y z \cdot$ ..............................................
$24 \cdot$ .............................................. $\cdot y^{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iVSJbfCOba_d5e1075

Ćwiczenie 17

R1a7rBdPSpTUl1

Połącz w pary podobne do siebie jednomiany.

$- 7 yx$
$15 \frac{1}{2} yxz$
$x ∙ (- 2)$
$- 32 zx$
$\frac{7}{10} zy$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

R1XKZZVpOmaxf1

Połącz sumę algebraiczną i odpowiadający jej jednomian.

$7 a - 6 a + a$
$- a - a - a$
$- 10 a + 10 a + a$
$- 5 a - a + 9 a$
$2 a - 5 a + 2 a$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 19

Dany jest trójkąt $ABC$ , w którym podstawa $AB$ ma długość $x$ . Wysokość $CD$ poprowadzona do boku $AB$ ma długość $5$ razy mniejszą niż podstawa tego trójkąta. Zapisz pole tej figury w postaci uporządkowanego jednomianu, a następnie oblicz jego wartość dla $x = 20 cm .$

$P = \frac{1}{10} x^{2}$
$P = 40 {cm}^{2}$

Ćwiczenie 20

Dany jest prostokąt, którego długość jest równa $x$ , a szerokość jest trzecią częścią długości. Zapisz pole i obwód prostokąta w postaci uporządkowanych jednomianów. Oblicz pole i obwód prostokąta dla $x = 9$ .

$P = \frac{1}{3} x^{2}$
$L = 2 \frac{2}{3} x$
$P = 27$
$L = 24$

Ćwiczenie 21

Dany jest czworokąt, w którym najkrótszy bok ma długość $a$ . Każdy następny bok jest o $2$ dłuższy od boku poprzedniego. Zapisz wyrażenie, które będzie opisywało obwód tego czworokąta.

$L = a + a + 2 + a + 4 + a + 6 = 4 a + 12$

Ćwiczenie 22

W równoległoboku krótsza wysokość ma długość $x$ , a krótszy bok ma długość $y$ . Wysokość poprowadzona do krótszego boku ma długość $3$ razy większą niż krótsza wysokość równoległoboku.

Zapisz pole, obwód oraz długość dłuższego boku tego równoległoboku w postaci uporządkowanych jednomianów.
Oblicz pole i obwód równoległoboku dla $x = 8 cm, y = 1 dm$ .

$P = 3 xy,$ $L = 8 y,$ $3 y$
$P = 240 {cm}^{2}, L = 80 cm$

Ćwiczenie 23

Zapisz za pomocą wyrażenia algebraicznego obwód trójkąta. Oblicz wartość liczbową tego wyrażenia dla $x = 4$ i $y = \frac{1}{2}$ .

R1Xgqu01nEpMo1

"Rysunek trójkąta o bokach długości: 2x -1 — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$3 x + 7 y - 1,$ wtedy $14 \frac{1}{2}$

Ćwiczenie 24

Zapisz w najprostszej postaci obwód narysowanej figury.

RyKqzLVdIirUz1

Rysunek czterech figur. Boki pierwszej figury mają długość: b, b, b, c, 3b, c, b, b. Boki drugiej figury mają długość: 1, 1, a -2, 1, 1, b -2, a, b. Boki trzeciej figury mają długość: 1, 2x, 3y +1, 2x, 3y +1, 1, 1, 1, 3y +1, 2x, 3y +1, 2x. Boki czwartej figury mają długość: x +1, x +y, x +1, 2x +2y, x +y, x +1, x +1, x +y, 2x +2y. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$8 b + 2 c$
$2 a + 2 b$
$8 x + 12 y + 8$
$11 x + 7 y + 4$

Ćwiczenie 25

W teatrze znajduje się $x$ rzędów, a w każdym rzędzie jest $z$ miejsc siedzących. Piątą część liczby wszystkich rzędów stanowią rzędy dla gości zagranicznych.

Ile miejsc siedzących jest przeznaczonych dla gości zagranicznych?
Podczas przedstawienia teatralnego w każdym rzędzie było wolnych $20 %$ miejsc siedzących. Ilu zagranicznych gości było obecnych na tym seansie?

$\frac{1}{5} xz$
$\frac{4}{25} xz$

Ćwiczenie 26

Lena zbiera piłki. Ma już w swej kolekcji $n$ czerwonych piłek oraz trzy razy więcej zielonych piłek. Niebieskich piłek ma o $2$ mniej niż połowa zielonych piłek. Żółtych piłek ma o $5$ więcej niż czerwonych. Na urodziny Lena dostała od koleżanek jeszcze $2$ czerwone piłki i jedną zieloną piłkę.

Zapisz za pomocą wyrażenia algebraicznego liczbę wszystkich piłek dziewczynki.
Oblicz, ile wszystkich piłek ma Lena, jeżeli wiadomo, że ma $24$ zielone piłki.

$6 \frac{1}{2} n + 6$
$58$

Ćwiczenie 27

Zapisz za pomocą wyrażeń algebraicznych liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian

graniastosłupa $n$ -kątnego,
ostrosłupa $n$ -kątnego,
wielościanu, który powstanie w wyniku sklejenia podstawami dwóch jednakowych
ostrosłupów $n$ -kątnych.

Wskazówka
Zależność między liczbą wierzchołków, ścian i krawędzi wielościanu:

W + S = K + 2,

Gdzie:
$W$ — liczba wierzchołków,
$S$ — liczba ścian,
$K$ — liczba krawędzi.

$W - 2 n, K - 3 n, S - n + 2$
$W - n + 1, K - 2 n, S - n + 1$
$W - n + 2, K - 3 n, S - 2 n$

Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych