Wzór na objętość ostrosłupa

Przykład 1

Rysunek przedstawia siatkę ostrosłupa.

RNSJQNj6HB54Q1

Rysunek siatki ostrosłupa o postawie kwadratu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Korzystając z tej siatki, wykonaj modele trzech jednakowych ostrosłupów. Zbuduj z nich sześcian.
Ile razy objętość tego sześcianu jest większa od objętości każdego z ostrosłupów?

Ważne!

Objętość ostrosłupa jest równa trzeciej części iloczynu pola podstawy przez wysokość.

V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H

$V$ - objętość
$P_{p}$ - pole podstawy
$H$ - wysokość

R1PFANbiNqmY71

Rysunek ostrosłupa podstawie czworokąta i wysokości h. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczanie objętości ostrosłupa

Przykład 2

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość $6 cm$ , a miara jednego z kątów ostrych jest równa $30 °$ . Wysokość ostrosłupa jest czterokrotnością krótszej przyprostokątnej. Oblicz objętość ostrosłupa.
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny, w którym miara jednego z kątów ostrych jest równa $30 °$ . O takim trójkącie wiemy, że przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta $30 °$ jest dwukrotnie krótsza od przeciwprostokątnej, a druga przyprostokątna jest $\sqrt{3}$ razy od niej większa.

R1XahIhQD0VUW1

Rysunek dwóch trójkątów prostokątnych o kątach 30 stopni, 60 stopni, 90 stopni. Pierwszy trójkąt ma przyprostokątne długości a, a pierwiastek z trzech i przeciwprostokątną równą 2a. Bok a leży naprzeciwko kąta 30 stopni. Drugi trójkąt ma przyprostokątne długości 3 cm i trzy pierwiastki z trzech oraz przeciwprostokątną długości 6 cm. Bok 3 cm leży naprzeciwko kąta 30 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zatem przyprostokątne trójkąta, będącego podstawą ostrosłupa, są równe $3 cm$ i $3 \sqrt{3} cm$ . Obliczamy pole podstawy ostrosłupa.

P_{p} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \sqrt{3}

P_{p} = 4,5 \sqrt{3} {cm}^{2}

Wysokość ostrosłupa jest równa czterokrotności krótszej przyprostokątnej, ma zatem długość

4 \cdot 3 cm = 12 cm .

Obliczamy objętość ostrosłupa.

V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H

V = \frac{1}{3} \cdot 4,5 \sqrt{3} \cdot 12

V = 18 \sqrt{3} {cm}^{2}

Odpowiedź:
Objętość ostrosłupa jest równa $18 \sqrt{3} {cm}^{2}$ .

Znając objętość ostrosłupa i pole jego podstawy, można obliczyć jego wysokość.

Przykład 3

Wazon ma kształt ostrosłupa, którego podstawą jest prostokąt o polu $150 {c m}^{2}$ . W wazonie mieści się litr wody. Jaką wysokość ma ten wazon?
Zapisujemy pojemność wazonu w ${cm}^{3}$ .

1 l = 1 d m^{3} = 1000 {cm}^{3}

Korzystamy ze wzoru na objętość ostrosłupa i obliczamy jego wysokość.

V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H

1000 = \frac{1}{3} \cdot 150 \cdot H

H = \frac{3000}{150}

H = 20 cm

Odpowiedź:
Wysokość wazonu ma $20 cm$ .

itXQQsZaUk_d5e253

Objętość czworościanu foremnego

Obliczymy objętość czworościanu foremnego o krawędzi długości a.

R1Hb7L31aSmLT1

Rysunek czworościanu foremnego o krawędzi długości a. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny. Zatem pole podstawy jest równe

P_{p} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} .

Obliczmy teraz wysokość ostrosłupa jako przyprostokątną trójkąta prostokątnego, w którym przeciwprostokątna jest krawędzią czworościanu, a druga przyprostokątna to $\frac{2}{3}$ wysokości podstawy (czyli wysokości trójkąta równobocznego).

Re4dWRkHqBGr11

Rysunek czworościanu foremnego o krawędzi długości a oraz wysokości h. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

H^{2} + {(\frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a)}^{2} = a^{2}

H^{2} + \frac{1}{3} a^{2} = a^{2}

H^{2} = \frac{2}{3} a^{2}

H = \sqrt{\frac{2}{3}} a

H = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} a = \frac{\sqrt{6}}{3} a

Obliczamy objętość czworościanu.

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} a

V = \frac{\sqrt{18}}{36} a^{3}

V = \frac{3 \sqrt{2}}{36} a^{3}

V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}

Ważne!

Objętość czworościanu foremnego o krawędzi długości a jest równa

V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}

Przyjmijmy, że długość krawędzi sześcianu jest równa b, zaś a to długość krawędzi czworościanu.
Oprócz czworościanu foremnego w sześcianie można umieścić cztery inne jednakowe czworościany. Objętość każdego z nich jest równa

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} b^{3} = \frac{1}{6} b^{3} .

Zatem objętość czworościanu foremnego jest równa

V = b^{3} - 4 \cdot \frac{1}{6} b^{3} = b^{3} - \frac{4}{6} b^{3} = \frac{2}{6} b^{3} = \frac{1}{3} b^{3}

Ponieważ $a$ jest przekątną kwadratu o boku $b$ , zatem $a = b \sqrt{2}$ .
Stąd

b = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}

V = \frac{1}{3} b^{3} = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{3}

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^{3}}{8} \cdot 2 \sqrt{2}

V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}

Przykład 4

Czy $15 d m^{2}$ kartonu wystarczy, aby wykonać pudełko w kształcie czworościanu foremnego o objętości $\frac{9}{4} \sqrt{2} d m^{3}$ ?
Aby odpowiedzieć na pytanie zawarte w zadaniu, musimy znaleźć pole powierzchni czworościanu.
Znając objętość czworościanu, obliczymy najpierw długość a jego krawędzi .

V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}

\frac{9}{4} \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}

a^{3} = \frac{9}{4} \sqrt{2} : \frac{\sqrt{2}}{12}

a^{3} = \frac{9 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{12}{\sqrt{2}}

a^{3} = 27

a = \sqrt[3]{27}

a = 3 dm

Obliczamy pole powierzchni czworościanu.

P = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}

P = \sqrt{3} \cdot 3^{2}

P = 9 \sqrt{3}

P = 9 \sqrt{3} = 15,5884 . . . .

P = 15,5884 d m^{2}

Odpowiedź:
Ponieważ $15,5884 \dots > 15$ , zatem $15 d m^{2}$ kartonu nie wystarczy na wykonanie pudełka.

Zadania

itXQQsZaUk_d5e406

Ćwiczenie 1

Oblicz objętość ostrosłupa, którego pole podstawy jest równe $P$ , a wysokość jest równa $H$ .

V = \dots .

Liczby $P$ , $H$ naturalne ze zbioru $1 - 50$

Obliczenia wykonujemy na podstawie wzoru: objętość

V = \frac{1}{3} P \cdot H

Ćwiczenie 2

Wysokość ostrosłupa prawidłowego jest równa $12$ , a krawędź jego podstawy ma długość $2$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa, wiedząc, że jego podstawą jest

trójkąt
czworokąt
sześciokąt

W każdym przypadku obliczamy najpierw pole podstawy ostrosłupa, a następnie mnożymy je przez jedną trzecią wysokości ostrosłupa.

Pole podstawy $P$ jest równe $P = \frac{4 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ . Objętość jest równa $V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot \sqrt{3} = 4 \sqrt{3}$ .
Pole postawy jest równe $4$ , zatem objętość wynosi $V = \frac{4 \cdot 12}{3} = 16$ .
Pole postawy jest równe $P = 6 \cdot \frac{4 \sqrt{3}}{4} = 6 \sqrt{3}$ , a zatem objętość wynosi

V = \frac{6 \sqrt{3} \cdot 12}{3} = 24 \sqrt{3}

Ćwiczenie 3

Pole podstawy ostrosłupa jest równe $P_{p}$ , a jego objętość $V$ . Oblicz wysokość ostrosłupa.
Liczby $P_{p}$ i $V$ naturalne z przedziału $1 - 100$ .

Obliczenia dokonujemy według wzoru: $H = \frac{3 V}{P_{p}}$

Ćwiczenie 4

Oblicz objętość ostrosłupa, którego wysokość jest równa $18 cm$ , a podstawą jest

prostokąt o bokach długości $4 cm$ i $10 cm$
trójkąt prostokątny równoramienny, w którym suma długości przyprostokątnych jest równa $2 \sqrt{5} cm$
romb o przekątnych długości $7 cm$ i $8 cm$
równoległobok, w którym jeden z boków ma długość $6 cm$ , a wysokość poprowadzona do tego boku jest równa $4 cm$

$V = \frac{1}{3} ∙ 4 \cdot 10 \cdot 18 = 240 (c m^{3})$
Przyprostokątne są tej samej długości równej $\sqrt{5} cm$ . Pole podstawy wynosi więc $\frac{1}{2} {(\sqrt{5})}^{2} c m^{2}$ .
Objętość
$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} ∙ {(\sqrt{5})}^{2} \cdot 18 = 15 c m^{3}$
Pole podstawy jest równe $P = \frac{7 \cdot 8}{2} = 28$ cmIndeks górny 2. Zatem objętość wynosi
$V = \frac{1}{3} \cdot 28 \cdot 18 = 168 c m^{3}$
$V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 4 ∙ 18 = 144 c m^{3}$

Ćwiczenie 5

Objętość ostrosłupa prawidłowego przedstawionego na rysunku jest równa

RmYrVJ4oXAnLb1

Grafika statyczna — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ReAttdi4qUu6y

$0,75 \sqrt{3}$
$2,25 \sqrt{3}$
$3$
$27 \sqrt{3}$

Ćwiczenie 6

Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o bokach długości $6 mm$ i $8 mm$ . Objętość ostrosłupa wynosi $80 m m^{3}$ . Oblicz długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa.

Ze wzoru na objętość ostrosłupa wyznaczymy jego wysokość.

H = \frac{3 V}{P} = \frac{3 \cdot 80}{6 \cdot 8} = 5 (mm)

Połowa każdej z przekątnych $p$ prostokąta ma długość, którą wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa

{(\frac{p}{2})}^{2} = 3^{2} + 4^{2},

skąd

\frac{p}{2} = 5 (mm)

Krawędź boczną ostrosłupa wyznaczymy z odpowiedniego trójkąta prostokątnego

d^{2} = 5^{2} + 5^{2}

Jej długość jest równa $5 \sqrt{2} mm$ .

Ćwiczenie 7

Objętość ostrosłupa jest dwukrotnie większa od objętości graniastosłupa o takiej samej podstawie. Wynika z tego, że stosunek wysokości graniastosłupa do wysokości ostrosłupa jest równy

RPnWNnb5MQHTo

$1 : 3$
$1 : 6$
$2 : 3$
$2 : 1$

Ćwiczenie 8

Oblicz objętość czworościanu foremnego, wiedząc, że

krawędź ma długość $2$
wysokość jego ściany bocznej jest równa $3$
pole jego ściany bocznej jest równe $\frac{\sqrt{3}}{4}$
pole jego powierzchni jest równe $81 \sqrt{3}$

Skorzystamy ze wzoru na objętość czworościanu foremnego: $V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}$ .
Stąd
$V = \frac{\sqrt{2}}{12} 2^{3} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$
Wysokość $h$ ściany bocznej wyraża się wzorem $h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ , wobec tego $3 = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .
Stąd obliczamy $a = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6 \sqrt{3}}{3} = 2 \sqrt{3}$ . Podstawiamy wyznaczone a do wzoru na objętość
czworościanu
$V = \frac{\sqrt{2} a^{3}}{12} = \frac{\sqrt{2} {(2 \sqrt{3})}^{3}}{12} = 2 \sqrt{6}$
Ściana boczna jest trójkątem równobocznym. Ze wzoru na pole trójkąta równobocznego, obliczamy długość krawędzi czworościanu.
$\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ $a = 1$ Obliczamy objętość czworościanu.
$V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3} = \frac{\sqrt{2}}{12}$
Pole powierzchni jednej ściany jest równe $\frac{1}{4} 81 \sqrt{3}$ .
Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego $P = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ , wyznaczymy długość a krawędzi.
$\frac{1}{4} \cdot 81 \sqrt{3} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ $a = 9$ Objętość czworościanu to
$V = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot 9^{3} = \frac{729}{12} \sqrt{2}$

Ćwiczenie 9

Wysokość ostrosłupa jest równa $H$ . Podstawą ostrosłupa jest trapez równoramienny o podstawach długości $3 H$ oraz $H$ . Obwód podstawy jest równy $2 H (2 + \sqrt{2})$ . Wykaż, że objętość tego ostrosłupa jest mniejsza od $H^{3}$ .

Pole podstawy ostrosłupa jest równe sumie pól dwóch kwadratów o boku H każdy, czyli $H^{2}$ .
Objętość ostrosłupa jest więc równa

V = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot H^{2} \cdot H = \frac{2}{3} \cdot H^{3} < H^{3}

Ćwiczenie 10

Dwa jednakowe ostrosłupy prawidłowe czworokątne o krawędzi podstawy długości $5 cm$ połączono podstawami. Odległość między wierzchołkami ostrosłupów wynosi $40 cm$ . Oblicz objętość otrzymanej bryły.

Otrzymana bryła to ośmiościan foremny. Jego objętość jest równa sumie objętości danych ostrosłupów. Pole podstawy takiego ostrosłupa jest równe $25 c m^{2}$ , a jego wysokość $20 cm$ . Objętość jednego ostrosłupa jest równa:

V = \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot 20 = \frac{500}{3} (c m^{3}),

a zatem objętość ośmiościanu jest równa $\frac{1000}{3} c m^{3}$ .

itXQQsZaUk_d5e746

Ćwiczenie 11

Oblicz wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o objętości $125 {cm}^{3}$ i krawędzi podstawy długości $5$ .

Korzystając ze wzoru na objętość ostrosłupa, otrzymamy $125 = \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot H$ .
Stąd $H = 15$ .

Ćwiczenie 12

Oblicz pole podstawy ostrosłupa ośmiokątnego o wysokości $10 cm$ , którego objętość jest równa $169 {cm}^{3}$ .

Korzystając ze wzoru na objęto ostrosłupa otrzymamy związek

169 = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot 10

Stąd pole podstawy

P_{p} = 50, 7 c m^{2}

Ćwiczenie 13

Jaką długość ma krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości $36 cm$ i objętości ${3 \sqrt{3} m}^{3}$ ?

Skorzystamy ze wzoru na objętość ostrosłupa.

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 3 \sqrt{3} \cdot 1000000

Stąd wyznaczymy długość krawędzi podstawy $a = 1000$ cm.

Ćwiczenie 14

Graniastosłup i ostrosłup mają takie same podstawy. Objętość graniastosłupa jest dwa razy większa od objętości ostrosłupa. Wysokość graniastosłupa jest równa $8 cm$ . Jaką wysokość ma ostrosłup?

RgudnnOiDxrAk

$3 cm$
$12 cm$
$18 cm$
$14 cm$

Niech $P$ oznacza pole podstawy każdej z brył. Wówczas $8 \cdot S = \frac{2}{3} \cdot S \cdot H$ , stąd $H - 12 cm$

Ćwiczenie 15

Suma długości wszystkich krawędzi czworościanu foremnego wynosi $18 cm$ . Oblicz objętość tego czworościanu.

Czworościan ma sześć krawędzi, więc długość jednej z nich równa jest $3 cm$ .
Korzystając ze wzoru na objętość czworościanu foremnego

V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}

V = \frac{\sqrt{2} \cdot 27}{12} = \frac{9 \sqrt{2}}{4}

Ćwiczenie 16

Suma długości krawędzi bocznej ostrosłupa oraz krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wynosi $8 cm$ . Długości tych krawędzi są w stosunku $3 : 1$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Niech $a$ będzie długością krawędzi podstawy, zaś $b$ długością krawędzi bocznej.
Z warunków zadania $a + 8 = 5$ , zaś $\frac{b}{a} = \frac{3}{1}$ , więc $a = 2 cm, b = 6 cm$ .
Wysokość ostrosłupa wyznaczymy z twierdzenia Pitagorasa

H^{2} = 3^{2} - 2^{2} = 5

$H = \sqrt{5}$ . Objętość ostrosłupa wynosi:

V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \frac{4 \sqrt{3}}{4} \cdot 4 \sqrt{2} = 8 \sqrt{6}

Ćwiczenie 17

Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ma wysokość $1 cm$ oraz objętość ${8 \sqrt{3} c m}^{3}$ . Oblicz długości krawędzi tego ostrosłupa.

Przekształcając wzór na objętość ostrosłupa, wyznaczamy pole jego podstawy:

P_{p} = \frac{3 V}{h} = \frac{3 \cdot 8 \sqrt{3}}{1} = 24 \sqrt{3}

Pole sześciokąta foremnego wyraża się wzorem: $P_{p} = \frac{6 a^{2} \sqrt{3}}{4}$ .
Zatem porównując oba wyrażenia, otrzymujemy równanie: $24 \sqrt{3} = \frac{6 a^{2} \sqrt{3}}{4}$ , skąd $a = 4$ .
Z trójkąta prostokątnego o bokach długości $4 cm, 1 cm$ , wyznaczamy długość krawędzi bocznej

d^{2} = 1^{2} + 4^{2}

skąd $d = \sqrt{5}$ .

Ćwiczenie 18

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest $4$ razy mniejsze od jego powierzchni bocznej. Krawędź podstawy ma długość $6 cm$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Z warunków zadania $P_{b} = 4 \cdot P_{p}$ . Otrzymujmy równanie: $4 \cdot \frac{6 \cdot h}{2} = 4 \cdot 36$ , skąd wysokość ściany bocznej jest równa $h = 12 cm$ . Z trójkąta prostokątnego o bokach długości $12 cm, 3 cm$ i $H$ wyznaczymy wysokość $H$ ostrosłupa:

H^{2} = 1 2^{2} - 3^{2}

Stąd

H = 3 \sqrt{15} cm

Zatem

V = \frac{36 \cdot 3 \sqrt{15}}{3} = 36 \sqrt{15} (c m^{3}) .

Ćwiczenie 19

Prostopadłościan ma wymiary $6$ i $6$ i $8$ . Krawędzie ostrosłupa prawidłowego trójkątnego mają długości równe długościom przekątnych ścian prostopadłościanu. Oblicz objętość ostrosłupa. Ile różnych rozwiązań ma to zadanie?

Przekątne ścian tego prostopadłościanu mają długości

d_{1} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10, d_{2} = \sqrt{6^{2} + 6^{2}} = \sqrt{72} = 6 \sqrt{2}

Ostrosłup ma $6$ krawędzi, ale trzy z nich są krawędziami podstawy i są równe, a trzy są krawędziami bocznymi i też są sobie równe. Są dwie możliwości: albo krawędzie postawy mają długość $10$ , a krawędzie boczne $6 \sqrt{2}$ , albo na odwrót. W pierwszym przypadku wysokość prostopadłościanu jest równa

H_{1} = \sqrt{{(6 \sqrt{2})}^{2} - {(\frac{2}{3} \cdot \frac{10 \sqrt{3}}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{116}{3}} = \frac{2 \sqrt{29}}{\sqrt{3}}

Zaś w drugim

H_{2} = \sqrt{{(10)}^{2} - {(\frac{2}{3} \cdot \frac{6 \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2})}^{2}} = \sqrt{76} = 2 \sqrt{19}

Objętość ostrosłupa w tych przypadkach wynosi:

V_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{100 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2 \sqrt{29}}{\sqrt{3}} = \frac{50 \sqrt{29}}{3}

V_{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(6 \sqrt{2})}^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 2 \sqrt{19} = \frac{1}{3} \cdot \frac{72 \sqrt{3}}{2} \cdot 2 \sqrt{19} = 12 \sqrt{57}

Ćwiczenie 20

Oblicz objętość ośmiościanu foremnego, którego każda krawędź ma długość $5 cm$ .

Objętość ta jest równa sumie objętości dwóch jednakowych ostrosłupów prawidłowych czworokątnych. W każdym z nich zarówno krawędzie podstawy, jak i krawędzie boczne mają długość $5 cm$ . Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa $h = \frac{5 \sqrt{3}}{2} cm$ . Obliczamy wysokość $H$ ostrosłupa.

H^{2} = (\frac{5 \sqrt{3}}{2})^{2} - (\frac{5}{2})^{2}

H = \frac{5 \sqrt{2}}{2}

Zatem objętość ostrosłupa wynosi

V = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2} = \frac{125 \sqrt{2}}{3}

Ćwiczenie 21

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość $8 cm$ , a krawędź boczna jest nachylona do krawędzi podstawy pod kątem $30 °$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zauważmy, że trójkąt $ABC$ jest równoboczny, zatem $SB$ jest jego wysokością równą $4 cm$ . Zatem $4 = \frac{| AC | \cdot \sqrt{3}}{2}$ , skąd $| AC | = \frac{8}{\sqrt{3}} cm$ . Wysokość ostrosłupa jest równa $\frac{4}{\sqrt{3}}$ .
Objętość ostrosłupa jest równa $V = \frac{32}{3 \sqrt{3}} c m^{3}$ .

Ćwiczenie 22

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej ma długość $20 cm$ i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30 °$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Wysokość ostrosłupa to połowa długości wysokości jego ściany bocznej, czyli jest równa $10 cm$ .
Odcinek $SB$ jest wysokością trójkąta $ABC$ i wynosi $\frac{20 \sqrt{3}}{2} = 10 \sqrt{3}$ , a $SB$ jest trzecią częścią wysokości trójkąta podstawy ostrosłupa. Stąd długość $a$ krawędzi podstawy jest równa $a = \frac{1}{3} \cdot 10 \sqrt{3} cm$ .
Pole podstawy jest równe $P_{p} = \frac{{(\frac{1}{3} \cdot 10 \sqrt{3})}^{2} \sqrt{3}}{4} = 25 \sqrt{3} (c m^{2}) .$
Objętość ostrosłupa wynosi $V = \frac{1}{3} \cdot 25 \sqrt{3} \cdot 10 = \frac{250 \sqrt{3}}{3} (c m^{3}) .$

Ćwiczenie 23

Dwa pojemniki, jeden w kształcie prostopadłościanu o wymiarach: $4 m$ i $4 m$ i $5 m$ , drugi w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości $9 m$ i krawędzi podstawy $6 m$ należy napełnić gazem.
W którym pojemniku będzie więcej gazu?
Sprawdź, czy do napełnienia obu pojemników wystarczy $200 m^{3}$ gazu.
Odpowiedzi uzasadnij.

Objętość graniastosłupa wynosi $V_{g} = 4 \cdot 4 \cdot 5 = 80 (m^{3}) .$
Objętość ostrosłupa jest równa $V_{o} = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 9 = 108 (m^{3}) .$
Oba naczynia mają razem pojemność $188 m^{3}$ , więc do ich napełnienia wystarczy $200 m^{3}$ gazu.

Ćwiczenie 24

Uzupełnij tabelkę.

Tabela. Dane
Ostrosłup prawidłowy $n$ -kątny	$n = 3$	$n = 4$	$n = 6$
Pole powierzchni bocznej ostrosłupa		$20$	$48 \sqrt{6}$
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa			$48 \sqrt{6} + 24 \sqrt{3}$
Pole podstawy ostrosłupa	$4 \sqrt{3}$	$25$
Objętość ostrosłupa	$12$

Pole powierzchni ostrosłupa

Słowniczek

Objętość ostrosłupa

Wzór na objętość ostrosłupa

Obliczanie objętości ostrosłupa

Objętość czworościanu foremnego