Objętość prostopadłościanu

Ten materiał poświęcony jest objętości prostopadłościanu i sześcianu. Dowiesz się, w jaki sposób obliczać te objętości, rozwiążesz zadania dotyczące tego zagadnienia.

Prostopadłościan jest bryłą najczęściej spotykaną w naszym otoczeniu. Człowiek dobrze się czuje w pomieszczeniach o tym kształcie. Lubimy też używać pudełek i innych przedmiotów w kształcie prostopadłościanów. Typowe kostki do gry, pudełka na mleko i inne produkty, budynki wielorodzinne, kontenery i wagony – to przykłady prostopadłościennych obiektów.

W jakich sytuacjach mówimy o objętości prostopadłościanu? Na przykład obliczając:

• ilość wody w basenie czy akwarium

• ilość powietrza w sali lekcyjnej

• ilość drewna użytego do zrobienia blatu ławki

• ilość śniegu, który spadł na $1 {\mathrm{m}}^2$ powierzchni

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższą animacją, która pokazuje powstawanie pewnego prostopadłościanu. Policz z ilu sześciennych klocków jest on zbudowany.

R1E4rKKbcCTGs1

Animacja 3D pokazuje krążące jednakowe sześciany, które łączą się w prostopadłościan złożony z dwudziestu czterech sześcianów.

Animacja 3D pokazuje krążące jednakowe sześciany, które łączą się w prostopadłościan złożony z dwudziestu czterech sześcianów.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1E4rKKbcCTGs

Animacja 3D pokazuje krążące jednakowe sześciany, które łączą się w prostopadłościan złożony z dwudziestu czterech sześcianów.

Odpowiedź:

Ten prostopadłościan składa się z $24$ klocków.

RvBSTxz4qw86N

Oblicz objętość podanych prostopadłościanów. Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Prostopadłościan składający się z $24$ sześcianów jednostkowych ma objętość równą Tu uzupełnij.Prostopadłościan składający się ze $108$ sześcianów jednostkowych ma objętość równą Tu uzupełnij.Prostopadłościan składający się z $1$ sześcianu jednostkowego ma objętość równą Tu uzupełnij.

Oblicz objętość podanych prostopadłościanów. Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Prostopadłościan składający się z $24$ sześcianów jednostkowych ma objętość równą Tu uzupełnij.Prostopadłościan składający się ze $108$ sześcianów jednostkowych ma objętość równą Tu uzupełnij.Prostopadłościan składający się z $1$ sześcianu jednostkowego ma objętość równą Tu uzupełnij.

Polecenie 2

Zapoznaj się z poniższą animacją, która pokazuje powstawanie pewnych sześcianu. Z ilu sześciennych klocków jest zbudowany każdy z nich?

R12x8BtqJdXCI1

Animacja 3D pokazuje krążące jednakowe sześciany, które łączą się w duże sześciany - jeden złożony z ośmiu sześcianów oraz drugi złożony z dwudziestu siedmiu sześcianów.

Animacja 3D pokazuje krążące jednakowe sześciany, które łączą się w duże sześciany - jeden złożony z ośmiu sześcianów oraz drugi złożony z dwudziestu siedmiu sześcianów.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R12x8BtqJdXCI

Animacja 3D pokazuje krążące jednakowe sześciany, które łączą się w duże sześciany - jeden złożony z ośmiu sześcianów oraz drugi złożony z dwudziestu siedmiu sześcianów.

Odpowiedź:

Pierwszy sześcian składa się z $8$ klocków, a drugi sześcian składa się z $27$ klocków.

R1bJuvRZqFlbd

Oblicz z ilu sześcianów jednostkowych składa się sześcian o podanej objętości. Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Sześcian o objętości $8$ składa się z Tu uzupełnij sześcianów jednostkowych.Sześcian o objętości $27$ składa się z Tu uzupełnij sześcianów jednostkowych.Sześcian o objętości $216$ składa się z Tu uzupełnij sześcianów jednostkowych.

Oblicz z ilu sześcianów jednostkowych składa się sześcian o podanej objętości. Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Sześcian o objętości $8$ składa się z Tu uzupełnij sześcianów jednostkowych.Sześcian o objętości $27$ składa się z Tu uzupełnij sześcianów jednostkowych.Sześcian o objętości $216$ składa się z Tu uzupełnij sześcianów jednostkowych.

Ważne!

Aby obliczyć objętość prostopadłościanu, mnożymy jego wymiary: długość, szerokość i wysokość.

Objętość bryły najczęściej oznaczamy literą $V$.

R1FcEVlyXZlaK1

Rysunek prostopadłościanu o krawędziach długości a, b, c. Zapis: V = a razy b razy c.

Szczególny prostopadłościan - sześcian

Sześcian jest prostopadłościanem, więc jego objętość obliczamy tak samo, jak objętość prostopadłościanu. Krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka sześcianu mają takie same długości, więc wzór na objętość wygląda prościej.

Ważne!

Aby obliczyć objętość sześcianu, obliczamy sześcian długości jego krawędzi.

R1Aseu7QKotoV1

Rysunek sześcianu o krawędziach równych a. Zapis: V = a razy a razy a razy a, lub V = a do potęgi trzeciej.

Obliczanie objętości prostopadłościanów

2

Ćwiczenie 6

Zapoznaj się z poniższymi rysunkami dwóch prostopadłościanów.

R1TYRAkOJbwvu

Rysunek dwóch prostopadłościanów, pierwszy o wymiarach $15 \mathrm{cm}$, $10 \mathrm{cm}$ i $20 \mathrm{cm}$, a drugi o wymiarach $13 \mathrm{cm}$, $13 \mathrm{cm}$ i $18 \mathrm{cm}$.

R1IkcAVrrjmAT

Uzupełnij poniższe zdania, przeciągając w luki odpowiednie słowa lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Objętość prostopadłościanu $\mathrm{I}$ 1. nie jest, 2. jest, 3. nie jest, 4. nie jest, 5. jest, 6. jest, 7. nie jest, 8. jest mniejsza od objętości prostopadłościanu $\mathrm{II}$.Różnica objętości danych prostopadlościanów 1. nie jest, 2. jest, 3. nie jest, 4. nie jest, 5. jest, 6. jest, 7. nie jest, 8. jest równa $42{cm}^3$.Różnica objętości danych prostopadlościanów 1. nie jest, 2. jest, 3. nie jest, 4. nie jest, 5. jest, 6. jest, 7. nie jest, 8. jest większa o $1{dm}^3$.Suma objętości danych prostopadlościanów 1. nie jest, 2. jest, 3. nie jest, 4. nie jest, 5. jest, 6. jest, 7. nie jest, 8. jest większa od $5{dm}^3$.

Uzupełnij poniższe zdania, przeciągając w luki odpowiednie słowa lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Objętość prostopadłościanu $\mathrm{I}$ 1. nie jest, 2. jest, 3. nie jest, 4. nie jest, 5. jest, 6. jest, 7. nie jest, 8. jest mniejsza od objętości prostopadłościanu $\mathrm{II}$.Różnica objętości danych prostopadlościanów 1. nie jest, 2. jest, 3. nie jest, 4. nie jest, 5. jest, 6. jest, 7. nie jest, 8. jest równa $42{cm}^3$.Różnica objętości danych prostopadlościanów 1. nie jest, 2. jest, 3. nie jest, 4. nie jest, 5. jest, 6. jest, 7. nie jest, 8. jest większa o $1{dm}^3$.Suma objętości danych prostopadlościanów 1. nie jest, 2. jest, 3. nie jest, 4. nie jest, 5. jest, 6. jest, 7. nie jest, 8. jest większa od $5{dm}^3$.

2

Ćwiczenie 8

Oblicz objętości prostopadłościanów wykonanych z siatek widocznych na rysunkach.

Dwie ściany tego prostopadłościanu są kwadratami o boku dwa razy dłuższym niż bok o podanej długości.

R19S1wraxNBAT1

Rysunek siatki prostopadłościanu złożonej z czterech kwadratów i dwóch prostokątów. Dana jest długość boku prostokąta równa 4 cm.

RDwubM0zR4XKR

Wpisz w lukę odpowiednią liczbę. $V=$ Tu uzupełnij${\mathrm{cm}}^3$

Wpisz w lukę odpowiednią liczbę. $V=$ Tu uzupełnij${\mathrm{cm}}^3$

Pozostałe wymiary tego prostopadłościanu są odpowiednio $2$ razy i $3$ razy dłuższe niż bok o podanej długości.

RJurQINLFplg61

Rysunek siatki prostopadłościanu złożonej z trzech par prostokątów. Dana jest długość boku jednego z prostokątów równa 6 cm.

R1IPJMqie6sDS

Wpisz w lukę odpowiednią liczbę. $V=$ Tu uzupełnij${\mathrm{cm}}^3$

Wpisz w lukę odpowiednią liczbę. $V=$ Tu uzupełnij${\mathrm{cm}}^3$

2

Ćwiczenie 9

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem, na którym znajdują się prostokąty o różnych wymiarach. Długość boku jednej kratki wynosi $3$.

RynUAcGF0pvFe

Na rysunku znajduje się 5 par prostokątów. Prostokąty mają następujące wymiary: pierwszy 3 na 4 kratki, drugi 3 na 3 kratki, trzeci 1 na 3 kratki, czwarty 1 na 4 kratki i piąty 2 na 3 kratki.

R3g0wDQ1Q4kuf

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby i numery prostokątów lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Siatkę prostopadłościanu można zbudować z prostokątów o numerach 1. $\mathrm{II}, \mathrm{III}, \mathrm{V}$, 2. $\mathrm{I}, \mathrm{II}, \mathrm{III}$, 3. $324$, 4. $243$, 5. $162$, 6. $\mathrm{I}, \mathrm{II}, \mathrm{IV}$, 7. $\mathrm{I}, \mathrm{III}, \mathrm{IV}$.Objętość tego prostopadłościanu wynosi 1. $\mathrm{II}, \mathrm{III}, \mathrm{V}$, 2. $\mathrm{I}, \mathrm{II}, \mathrm{III}$, 3. $324$, 4. $243$, 5. $162$, 6. $\mathrm{I}, \mathrm{II}, \mathrm{IV}$, 7. $\mathrm{I}, \mathrm{III}, \mathrm{IV}$.

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby i numery prostokątów lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Siatkę prostopadłościanu można zbudować z prostokątów o numerach 1. $\mathrm{II}, \mathrm{III}, \mathrm{V}$, 2. $\mathrm{I}, \mathrm{II}, \mathrm{III}$, 3. $324$, 4. $243$, 5. $162$, 6. $\mathrm{I}, \mathrm{II}, \mathrm{IV}$, 7. $\mathrm{I}, \mathrm{III}, \mathrm{IV}$.Objętość tego prostopadłościanu wynosi 1. $\mathrm{II}, \mathrm{III}, \mathrm{V}$, 2. $\mathrm{I}, \mathrm{II}, \mathrm{III}$, 3. $324$, 4. $243$, 5. $162$, 6. $\mathrm{I}, \mathrm{II}, \mathrm{IV}$, 7. $\mathrm{I}, \mathrm{III}, \mathrm{IV}$.

Pokaż podpowiedź

Aby mogła powstać siatka prostopadłościanu, wszystkie prostokąty z których się składa muszą mieć odpowiednie boki takiej samej długości.