Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Ten materiał poświęcony jest objętości prostopadłościanu i sześcianu. Dowiesz się, w jaki sposób obliczać te objętości, rozwiążesz zadania dotyczące tego zagadnienia.

Prostopadłościan jest bryłą najczęściej spotykaną w naszym otoczeniu. Człowiek dobrze się czuje w pomieszczeniach o tym kształcie. Lubimy też używać pudełek i innych przedmiotów w kształcie prostopadłościanów. Typowe kostki do gry, pudełka na mleko i inne produkty, budynki wielorodzinne, kontenery i wagony – to przykłady prostopadłościennych obiektów.

Objętość bryły
Definicja: Objętość bryły

Liczbę sześcianów jednostkowych, którymi możemy wypełnić daną bryłę nazywamy objętością tej bryły.

W jakich sytuacjach mówimy o objętości prostopadłościanu? Na przykład obliczając:

  • ilość wody w basenie czy akwarium

  • ilość powietrza w sali lekcyjnej

  • ilość drewna użytego do zrobienia blatu ławki

  • ilość śniegu, który spadł na 1 m2 powierzchni

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższą animacją, która pokazuje powstawanie pewnego prostopadłościanu. Policz z ilu sześciennych klocków jest on zbudowany.

R1E4rKKbcCTGs1
Animacja 3D pokazuje krążące jednakowe sześciany, które łączą się w prostopadłościan złożony z dwudziestu czterech sześcianów.

Odpowiedź:

Ten prostopadłościan składa się z 24 klocków.

RvBSTxz4qw86N
Oblicz objętość podanych prostopadłościanów. Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Prostopadłościan składający się z 24 sześcianów jednostkowych ma objętość równą Tu uzupełnij.Prostopadłościan składający się ze 108 sześcianów jednostkowych ma objętość równą Tu uzupełnij.Prostopadłościan składający się z 1 sześcianu jednostkowego ma objętość równą Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Polecenie 2

Zapoznaj się z poniższą animacją, która pokazuje powstawanie pewnych sześcianu. Z ilu sześciennych klocków jest zbudowany każdy z nich?

R12x8BtqJdXCI1
Animacja 3D pokazuje krążące jednakowe sześciany, które łączą się w duże sześciany - jeden złożony z ośmiu sześcianów oraz drugi złożony z dwudziestu siedmiu sześcianów.

Odpowiedź:

Pierwszy sześcian składa się z 8 klocków, a drugi sześcian składa się z 27 klocków.

R1bJuvRZqFlbd
Oblicz z ilu sześcianów jednostkowych składa się sześcian o podanej objętości. Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Sześcian o objętości 8 składa się z Tu uzupełnij sześcianów jednostkowych.Sześcian o objętości 27 składa się z Tu uzupełnij sześcianów jednostkowych.Sześcian o objętości 216 składa się z Tu uzupełnij sześcianów jednostkowych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

Aby obliczyć objętość prostopadłościanu, mnożymy jego wymiary: długość, szerokość i wysokość.

Objętość bryły najczęściej oznaczamy literą V.

R1FcEVlyXZlaK1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 1
R1ZdhVBEAYmMz
Każdy prostopadłościan zbudowany jest z sześcianów o krawędzi 1 dm. Oblicz objętości tych prostopadłościanów i wyraź je w dm3. Wpisz odpowiedzi w puste miejsca.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Re3Y6CTTX0Kye
Każdy z podanych prostopadłościanów zbudowany jest z sześcianów o krawędzi 1 dm. Oblicz objętości tych prostopadłościanów. Uzupełnij zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Prostopadłościan o wysokości czterech sześcianów, szerokości dwóch sześcianów i głębokości trzech sześcianów ma objętość Tu uzupełnij dm3.Prostopadłościan o wysokości pięciu sześcianów, szerokości dwóch sześcianów i głębokości dwóch sześcianów ma objętość Tu uzupełnij dm3.Prostopadłościan o wysokości trzech sześcianów, szerokości dwóch sześcianów i głębokości pięciu sześcianów ma objętość Tu uzupełnij dm3.Prostopadłościan o wysokości czterech sześcianów, szerokości czterech sześcianów i głębokości dwóch sześcianów ma objętość Tu uzupełnij dm3.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 2
RbddOQVXUJ4Pz
Uzupełnij tabelę z wymiarami prostopadłościanów. Przeciągnij i upuść odpowiednie długości.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RMUNKf6obmxmm
Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie długości lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Prostopadłościan o objętości 40 cm3 ma wymiary 2 cm, 4 cm, 1. 7 cm, 2. 5 cm, 3. 3 cm, 4. 6 cm, 5. 8 cm, 6. 4 cm.Prostopadłościan o objętości 30 cm3 ma wymiary 2 cm, 5 cm, 1. 7 cm, 2. 5 cm, 3. 3 cm, 4. 6 cm, 5. 8 cm, 6. 4 cm.Prostopadłościan o objętości 60 cm3 ma wymiary 5 cm, 2 cm, 1. 7 cm, 2. 5 cm, 3. 3 cm, 4. 6 cm, 5. 8 cm, 6. 4 cm.Prostopadłościan o objętości 40 cm56 ma wymiary 4 cm, 2 cm, 1. 7 cm, 2. 5 cm, 3. 3 cm, 4. 6 cm, 5. 8 cm, 6. 4 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Szczególny prostopadłościan - sześcian

Sześcian jest prostopadłościanem, więc jego objętość obliczamy tak samo, jak objętość prostopadłościanu. Krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka sześcianu mają takie same długości, więc wzór na objętość wygląda prościej.

Ważne!

Aby obliczyć objętość sześcianu, obliczamy sześcian długości jego krawędzi.

R1Aseu7QKotoV1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 3
RkyhPprYgOHtr
Uzupełnij tabelę wymiarami sześcianów. Przeciągnij i upuść odpowiednie długości.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1K1Mf0t6YyQv
Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wielkości lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Sześcian o krawędzi długości 6 cm ma objętość równą 1. 216 cm3, 2. 0,02 cm, 3. 256 cm3, 4. 5 cm, 5. 0,2 cm, 6. 0,9 cm, 7. 0,3 cm.Sześcian o objętości 125 cm3 ma krawędź równą 1. 216 cm3, 2. 0,02 cm, 3. 256 cm3, 4. 5 cm, 5. 0,2 cm, 6. 0,9 cm, 7. 0,3 cm.Sześcian o objętości 0,008 cm2 ma krawędź równą 1. 216 cm3, 2. 0,02 cm, 3. 256 cm3, 4. 5 cm, 5. 0,2 cm, 6. 0,9 cm, 7. 0,3 cm.Sześcian o objętości 0,027 cm3 ma krawędź równą 1. 216 cm3, 2. 0,02 cm, 3. 256 cm3, 4. 5 cm, 5. 0,2 cm, 6. 0,9 cm, 7. 0,3 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 4
R1EbkavdbkRcR
Każdy sześcian zbudowany jest z małych sześcianów o krawędzi 2 cm. Oblicz objętości tych sześcianów i wyraź je w cm3. Wpisz odpowiedzi w puste miejsca.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rldf5G49Va7Qg
Każdy z podanych sześcianów zbudowany jest z małych sześcianów o krawędzi 2 cm. Oblicz objętości tych sześcianów. Uzupełnij zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Sześcian o wysokości trzech małych sześcianów ma objętość Tu uzupełnij cm3.Sześcian o szerokości czterech małych sześcianów ma objętość Tu uzupełnij cm3.Sześcian o głębokości dwóch małych sześcianów ma objętość Tu uzupełnij cm3.Sześcian o wysokości trzech małych sześcianów ma objętość Tu uzupełnij cm3.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RPQC91xaTJWRB2
Ćwiczenie 5
Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Ułamki zapisz używając przecinka. Objętość sześcianu o krawędzi długości 7 m wynosi Tu uzupełnij m3.Krawędź sześcianu o objętości 18 m3 ma długość Tu uzupełnij m.Objętość sześcianu o krawędzi długości 0,4 dm wynosi Tu uzupełnij dm3.Długość krawędzi sześcianu o objętości 27125 cm3 wynosi Tu uzupełnij cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczanie objętości prostopadłościanów

2
Ćwiczenie 6

Zapoznaj się z poniższymi rysunkami dwóch prostopadłościanów.

R1TYRAkOJbwvu
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1IkcAVrrjmAT
Uzupełnij poniższe zdania, przeciągając w luki odpowiednie słowa lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Objętość prostopadłościanu I 1. nie jest, 2. jest, 3. nie jest, 4. nie jest, 5. jest, 6. jest, 7. nie jest, 8. jest mniejsza od objętości prostopadłościanu II.Różnica objętości danych prostopadlościanów 1. nie jest, 2. jest, 3. nie jest, 4. nie jest, 5. jest, 6. jest, 7. nie jest, 8. jest równa 42cm3.Różnica objętości danych prostopadlościanów 1. nie jest, 2. jest, 3. nie jest, 4. nie jest, 5. jest, 6. jest, 7. nie jest, 8. jest większa o 1dm3.Suma objętości danych prostopadlościanów 1. nie jest, 2. jest, 3. nie jest, 4. nie jest, 5. jest, 6. jest, 7. nie jest, 8. jest większa od 5dm3.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 7
RGGVVllZyB8jy
Oblicz objętości prostopadłościanów o wymiarach podanych na rysunku. Wpisz prawidłowe odpowiedzi w puste pola na rysunku.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RsELSGdD5eCHV
Oblicz objętości prostopadłościanów o podanych wymiarach. Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Prostopadłościan o wymiarach 5 cm × 9 cm × 7 cm ma objętość równą Tu uzupełnij cm3.Prostopadłościan o wymiarach 8 m × 12 m × 2 m ma objętość równą Tu uzupełnij m3.Prostopadłościan o wymiarach 1,5 dm × 4 dm × 1,5 dm ma objętość równą Tu uzupełnij dm3.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 8

Oblicz objętości prostopadłościanów wykonanych z siatek widocznych na rysunkach.

Dwie ściany tego prostopadłościanu są kwadratami o boku dwa razy dłuższym niż bok o podanej długości.

R19S1wraxNBAT1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RDwubM0zR4XKR
Wpisz w lukę odpowiednią liczbę. V= Tu uzupełnij cm3
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pozostałe wymiary tego prostopadłościanu są odpowiednio 2 razy i 3 razy dłuższe niż bok o podanej długości.

RJurQINLFplg61
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1IPJMqie6sDS
Wpisz w lukę odpowiednią liczbę. V= Tu uzupełnij cm3
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 9

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem, na którym znajdują się prostokąty o różnych wymiarach. Długość boku jednej kratki wynosi 3.

RynUAcGF0pvFe
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R3g0wDQ1Q4kuf
Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby i numery prostokątów lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Siatkę prostopadłościanu można zbudować z prostokątów o numerach 1. II, III, V, 2. I, II, III, 3. 324, 4. 243, 5. 162, 6. I, II, IV, 7. I, III, IV.Objętość tego prostopadłościanu wynosi 1. II, III, V, 2. I, II, III, 3. 324, 4. 243, 5. 162, 6. I, II, IV, 7. I, III, IV.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 10
RUJiEeh6qBhNx2
Oblicz objętość sześcianu w podanych sytuacjach. Uzupełnij poniższe równości, wpisując w luki odpowiednie liczby. Suma wszystkich krawędzi tego sześcianu wynosi 60 cm. V= Tu uzupełnij cm3Suma wszystkich krawędzi tego sześcianu wynosi 72 cm. V= Tu uzupełnij cm3Suma wszystkich krawędzi tego sześcianu wynosi 108 cm. V= Tu uzupełnij cm3
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 11
R1aRFhqdGL3ST2
Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi sześcianu w podanych sytuacjach. Możesz skorzystać z kalkulatora. Wpisz w luki odpowiednie liczby. Jeśli objętość tego sześcianu wynosi 0,064 cm3, to suma długości jego wszystkich krawędzi jest równa Tu uzupełnij cm.Jeśli objętość tego sześcianu wynosi 0,125 cm3, to suma długości jego wszystkich krawędzi jest równa Tu uzupełnij cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R14JzjNs1Fgl83
Ćwiczenie 12
Ile wynosi pole powierzchni sześcianu o objętości 64 dm3? Zaznacz poprawną odpowiedź. Do obliczeń możesz wykorzystać kalkulator. Możliwe odpowiedzi: 1. 96 dm2, 2. 24 dm2, 3. 192 dm2, 4. 216 dm2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R14yqyHjGmJQG3
Ćwiczenie 13
Zaznacz poprawne dokończenie zdania. Do obliczeń możesz wykorzystać kalkulator. Objętość sześcianu o polu powierzchni 150 m2 wynosi Możliwe odpowiedzi: 1. 25 m3, 2. 75 m3, 3. 125 m3, 4. 200 m3
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 14
R1cGKSOWqRo3l3
Pojemnik o wymiarach 60 cm (szerokość) × 80 cm (długość) × 50 cm (wysokość) napełniono wodą. Iloma litrami wody napełniono ten pojemnik? Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Odpowiedź: Pojemnik napełniono Tu uzupełnij litrami wody.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R18ZLMr95Trgq3
Ćwiczenie 15
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Prostopadłościan o wymiarach 12 × 12 × 6 ma 8 razy większą objętość niż prostopadłościan o wymiarach 6 × 6 × 3., 2. W sześcianie o krawędzi długości 9 zmieści się 27 sześcianów o krawędzi długości 3 ., 3. Prostopadłościan o wymiarach 10 × 11 × 12 ma 4 razy większą objętość niż prostopadłościan o wymiarach 10 × 11 × 4., 4. W sześcianie o krawędzi długości 6 zmieści się 9 sześcianów o krawędzi długości 3 .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.