Obliczanie długości boków w trójkącie prostokątnym

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, można obliczyć długość jednego z boków trójkąta prostokątnego, mając dane długości dwóch pozostałych boków.

Przykład 1

W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych są równe $3$ i $4$ . Znajdźmy długość przeciwprostokątnej $c$ tego trójkąta.

R16Dh5iPSIgzX1

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 3 i 4 oraz przeciwprostokątnej c. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapisujemy równość wynikającą z twierdzenia Pitagorasa, z której wyznaczamy długość przeciwprostokątnej.

a^{2} + b^{2} = c^{2}

c^{2} = 4^{2} + 3^{2}

c^{2} = 16 + 9

c^{2} = 25

Równanie

c^{2} = 25

ma dwa rozwiązania $c = \sqrt{25}$ lub $c = - \sqrt{25}$ . Długość boku trójkąta wyraża się liczbą dodatnią, zatem uwzględniamy tylko rozwiązanie dodatnie

c = \sqrt{25}

c = 5

Przeciwprostokątna trójkąta ma długość $5$ .

Przykład 2

Jedna z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego ma długość $7 cm$ , a przeciwprostokątna ma długość $25 cm$ . Oblicz długość drugiej przyprostokątnej.

RNl6oVe9zglwu1

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 7 cm i x oraz przeciwprostokątnej długości 25 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczamy $x$ – długość drugiej przyprostokątnej, $x > 0$ . Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

x^{2} + 7^{2} = 25^{2}

x^{2} + 49 = 625

x^{2} = 625 - 49

x^{2} = 576

x = \sqrt{576}

x = 24

Druga z przyprostokątnych ma długość $24 cm$ .

Przykład 3

W trójkącie prostokątnym dwa boki mają długości $40 dm$ i $41 dm$ . Znajdź długość trzeciego boku tego trójkąta.

Oznaczmy $x$ – szukaną długość boku trójkąta $(x > 0)$ .

Długość boku znajdziemy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

Rozpatrzymy dwa przypadki:

$1$ przypadek	$2$ przypadek
Bok, którego długości szukamy, jest przyprostokątną trójkąta.	Bok, którego długości szukamy jest przeciwprostokątną trójkąta.
$x^{2} + 40^{2} = 41^{2}$	$x^{2} = 40^{2} + 41^{2}$
$x^{2} = 1681 - 1600$	$x^{2} = 1600 + 1681$
$x^{2} = 81$	$x^{2} = 3281$
$x = 9$	$x = \sqrt{3281}$

Długość trzeciego boku trójkąta jest równa $9 dm$ lub $\sqrt{3281} dm$ .

Ćwiczenie 1

W podanym twierdzeniu wskaż założenie i tezę. Czy twierdzenie jest prawdziwe?

Jeżeli liczba naturalna dodatnia jest wielokrotnością $6$ , to jest podzielna przez
$3$ .
Jeżeli pole kwadratu jest równe $64$ , to jego obwód jest równy $32$ .
Jeżeli punkt leży w układzie współrzędnych na osi $X$ , to jego druga współrzędna jest równa $0$ .
Jeżeli wielokąt jest trapezem, to jego przekątne zawsze przecinają się pod kątem prostym.

R1Zp76mQ1Od51

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Założenie: liczba naturalna dodatnia jest wielokrotnością $6$
Teza: jest podzielna przez $3$
Twierdzenie prawdziwe.
Założenie: pole kwadratu jest równe $64$
Teza: jego obwód jest równy $32$
Twierdzenie prawdziwe.
Założenie: punkt leży w układzie współrzędnych na osi $X$
Teza: jego druga współrzędna jest równa $0$
Twierdzenie prawdziwe.
Założenie: wielokąt jest trapezem
Teza: jego przekątne zawsze przecinają się pod kątem prostym
Twierdzenie fałszywe.

Ćwiczenie 2

Sformułuj podane twierdzenie, korzystając ze schematu „jeżeli … to”.

Pole kwadratu o boku długości $a$ jest równe $a^{2}$ .
W trójkącie równobocznym każdy kąt ma miarę $60 °$ .
Liczba naturalna podzielna przez cztery jest liczbą parzystą.

R8vdWp1igrcyh

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Jeżeli kwadrat ma bok długości $a$ , to jego pole jest równe $a^{2}$ .
Jeżeli trójkąt jest równoboczny, to każdy z jego kątów ma miarę $60 °$ .
Jeżeli liczba naturalna jest podzielna przez $4$ , to jest liczbą parzystą.

RXd6VNBIxiZmv

Ćwiczenie 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RxvoSLdJ1zc4G

Ćwiczenie 3

Poniżej przedstawiono zdania oraz ich zakończenia. Połącz w pary opisy z wartościami pola powierzchni kwadratu. Pole kwadratu zbudowanego na przyprostokątnej wynosi

7

, a na przeciwprostokątnej

12

. Pole kwadratu zbudowanego na drugiej przyprostokątnej jest równe Możliwe odpowiedzi: 1.

8

, 2.

5

, 3.

15

Pole kwadratu zbudowanego na przyprostokątnej wynosi

5

, a na przeciwprostokątnej

20

. Pole kwadratu zbudowanego na drugiej przyprostokątnej jest równe Możliwe odpowiedzi: 1.

8

, 2.

5

, 3.

15

Pola kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych wynoszą kolejno

6

2

. Pole kwadratu zbudowanego na drugiej przeciwprostokątnej jest równe Możliwe odpowiedzi: 1.

8

, 2.

5

, 3.

15

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RKHZnk0FD19ca

Ćwiczenie 4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RtMjyRV2MbY5L

Ćwiczenie 4

Uzupełnij poniższe zdania podanymi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawną wartość. Dany jest trójkąt

A B C

.
Pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej wynosi

625

, a pole kwadratu zbudowanego na krótszej przyprostokątnej wynosi

49

. Wynika stąd, że obwód tego trójkąta wynosi 1.

12

, 2.

180

, 3.

90

, 4.

84

, 5.

6

, 6.

56

, pole 1.

12

, 2.

180

, 3.

90

, 4.

84

, 5.

6

, 6.

56

.Pola kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych wynoszą kolejno

9

oraz

16

. Wynika stąd, że obwód tego trójkąta wynosi 1.

12

, 2.

180

, 3.

90

, 4.

84

, 5.

6

, 6.

56

, pole 1.

12

, 2.

180

, 3.

90

, 4.

84

, 5.

6

, 6.

56

.Pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej wynosi

1681

, a pole kwadratu zbudowanego na krótszej przyprostokątnej wynosi

81

. Wynika stąd, że obwód tego trójkąta wynosi 1.

12

, 2.

180

, 3.

90

, 4.

84

, 5.

6

, 6.

56

, pole 1.

12

, 2.

180

, 3.

90

, 4.

84

, 5.

6

, 6.

56

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Wszystkie znajdujące się na rysunku trójkąty są prostokątne. Trójkąty niebieskie są przystające.

Wykaż prawdziwość twierdzenia Pitagorasa, korzystając z instrukcji:

R1G7iDCRVeuA01

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R9btexqqRvrHA

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny i trapez połączone jedną z podstaw. Trapez składa się z trzech trójkątów prostokątnych. Dwa z nich są przystające do wyjściowego trójkąta prostokątnego. Trzeci z nich jest trójkątem prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości równe długości przeciwprostokątnej wyjściowego trójkąta. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

z trójkątów na rysunku zbuduj trapez
oblicz pole trapezu jako sumę pól trójkątów
oblicz pole trapezu, korzystając z odpowiedniego wzoru
porównaj otrzymane wyrażenia
sprowadź do najprostszej postaci zapisaną równość
wyciągnij wniosek

Rjilip4rbisl8

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Suma pól trójkątów

P = \frac{a b}{2} + \frac{a b}{2} + \frac{c^{2}}{2} = \frac{2 a b + c^{2}}{2}

Pole trapezu

P = \frac{(a + b)}{2} \cdot (a + b) = \frac{a^{2} + b^{2} + 2 a b}{2}

Obliczone pola są równe

\frac{a^{2} + b^{2} + 2 a b}{2} = \frac{2 a b + c^{2}}{2}

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$ – teza twierdzenia Pitagorasa.

Ćwiczenie 6

Rysunek przedstawia deltoid (latawiec), czyli czworokąt, którego przekątne są prostopadłe. Na bokach latawca zbudowano kwadraty.

Zmieniaj położenie punktu $N$ , również tak, aby uzyskać trójkąt prostokątny. W każdym przypadku porównuj sumy pól kwadratów leżących naprzeciw siebie. Co zauważasz?

R2NW39I8iR61b1

RiKHZrzrJxmyf

Ćwiczenie 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1UTnTm0sOomh

Ćwiczenie 7

Połącz w pary trójkąty z odpowiadającym mu równaniem Pitagorasa. Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych

x

oraz

4

i przeciwprostokątnej

10

. Możliwe odpowiedzi: 1.

m^{2} + 7^{2} = k^{2}

, 2.

x^{2} + 4^{2} = 10^{2}

, 3.

m^{2} + p^{2} = z^{2}

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych

m

oraz

7

i przeciwprostokątnej

k

. Możliwe odpowiedzi: 1.

m^{2} + 7^{2} = k^{2}

, 2.

x^{2} + 4^{2} = 10^{2}

, 3.

m^{2} + p^{2} = z^{2}

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych

m

oraz

p

i przeciwprostokątnej

z

. Możliwe odpowiedzi: 1.

m^{2} + 7^{2} = k^{2}

, 2.

x^{2} + 4^{2} = 10^{2}

, 3.

m^{2} + p^{2} = z^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1HWJAR44nqdx

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ro6tHuKpJg9Vh

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RZY7uctryKSgo

Ćwiczenie 9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RniMvTOtRhTLr

Ćwiczenie 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1IyXvKVBV6eA

Ćwiczenie 10

Połącz w pary długości brakujących boków z opisem trójkąta prostokątnego. Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości

\sqrt{7}

oraz

\sqrt{3}

ma przeciwprostokątną długości Możliwe odpowiedzi: 1.

3

, 2.

\sqrt{15}

, 3.

2

, 4.

6

, 5.

4 \sqrt{2}

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnej długości

7

oraz przeciwprostokątnej

8

ma drugą przyprostokątną długości Możliwe odpowiedzi: 1.

3

, 2.

\sqrt{15}

, 3.

2

, 4.

6

, 5.

4 \sqrt{2}

Trójką prostokątny o przyprostokątnej długości

1

oraz przeciwprostokątnej

\sqrt{5}

ma drugą przyprostokątną długości Możliwe odpowiedzi: 1.

3

, 2.

\sqrt{15}

, 3.

2

, 4.

6

, 5.

4 \sqrt{2}

Trójkąt prostokątny o dwóch przyprostokątnych długości

4

ma przeciwprostokątną długości Możliwe odpowiedzi: 1.

3

, 2.

\sqrt{15}

, 3.

2

, 4.

6

, 5.

4 \sqrt{2}

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości

\sqrt{11}

oraz

5

ma przeciwprostokątną długości Możliwe odpowiedzi: 1.

3

, 2.

\sqrt{15}

, 3.

2

, 4.

6

, 5.

4 \sqrt{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R16LlP3q4dzjf

Ćwiczenie 11

Oblicz obwód trójkąta prostokątnego, w którym 1. przyprostokątne mają długości

1 cm

3 cm

Możliwe odpowiedzi: 1. , 2.

a^{2} + 16^{2} = 20^{2}

a = 12

L = 16 + 12 + 20 = 48 (m)

, 3.

L = 1 + 3 + \sqrt{10} = (4 + \sqrt{10}) (cm)

2. przyprostokątne są równe

m

3 m

, gdzie

m > 0

, a przeciwprostokątna ma długość

2 \sqrt{10}

Możliwe odpowiedzi: 1. , 2.

a^{2} + 16^{2} = 20^{2}

a = 12

L = 16 + 12 + 20 = 48 (m)

, 3.

L = 1 + 3 + \sqrt{10} = (4 + \sqrt{10}) (cm)

3. jedna z przyprostokątnych ma długość

16 m

, a przeciwprostokątna ma długość

20 m

Możliwe odpowiedzi: 1. , 2.

a^{2} + 16^{2} = 20^{2}

a = 12

L = 16 + 12 + 20 = 48 (m)

, 3.

L = 1 + 3 + \sqrt{10} = (4 + \sqrt{10}) (cm)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RqdmYd19ifQAP

Ćwiczenie 12

Oblicz pole trójkąta prostokątnego, w którym: jedna z przyprostokątnych ma długość

6 cm

, a przeciwprostokątna ma długość

6, 5 cm

Możliwe odpowiedzi: 1.

b^{2} + 6^{2} = {(6, 5)}^{2}

b = 2, 5 cm

- długość drugiej przyprostokątnej

P = \frac{6 \cdot 2, 5}{2} = 7, 5 ({cm}^{2})

, 2.

x = 2 \sqrt{5}

2 \sqrt{5} cm

4 \sqrt{5} cm

- długości przyprostokątnych

P = \frac{2 \sqrt{5} \cdot 4 \sqrt{5}}{2} = 20 ({cm}^{2})

, 3.

a^{2} + {(1 \frac{2}{5})}^{2} = 5^{2}

a = 4 \frac{4}{5} m

--- długość drugiej przyprostokątnej

P = \frac{1}{2} \cdot 1 \frac{2}{5} \cdot 4 \frac{4}{5} = 3 \frac{9}{25} ({cm}^{2})

przeciwprostokątna ma długość

10 cm

, a jedna z przyprostokątnych jest dwukrotnie krótsza od drugiej Możliwe odpowiedzi: 1.

b^{2} + 6^{2} = {(6, 5)}^{2}

b = 2, 5 cm

- długość drugiej przyprostokątnej

P = \frac{6 \cdot 2, 5}{2} = 7, 5 ({cm}^{2})

, 2.

x = 2 \sqrt{5}

2 \sqrt{5} cm

4 \sqrt{5} cm

- długości przyprostokątnych

P = \frac{2 \sqrt{5} \cdot 4 \sqrt{5}}{2} = 20 ({cm}^{2})

, 3.

a^{2} + {(1 \frac{2}{5})}^{2} = 5^{2}

a = 4 \frac{4}{5} m

--- długość drugiej przyprostokątnej

P = \frac{1}{2} \cdot 1 \frac{2}{5} \cdot 4 \frac{4}{5} = 3 \frac{9}{25} ({cm}^{2})

jedna z przyprostokątnych ma długość

1 \frac{2}{5} m

, a przeciwprostokątna ma długość

5 m

Możliwe odpowiedzi: 1.

b^{2} + 6^{2} = {(6, 5)}^{2}

b = 2, 5 cm

- długość drugiej przyprostokątnej

P = \frac{6 \cdot 2, 5}{2} = 7, 5 ({cm}^{2})

, 2.

x = 2 \sqrt{5}

2 \sqrt{5} cm

4 \sqrt{5} cm

- długości przyprostokątnych

P = \frac{2 \sqrt{5} \cdot 4 \sqrt{5}}{2} = 20 ({cm}^{2})

, 3.

a^{2} + {(1 \frac{2}{5})}^{2} = 5^{2}

a = 4 \frac{4}{5} m

--- długość drugiej przyprostokątnej

P = \frac{1}{2} \cdot 1 \frac{2}{5} \cdot 4 \frac{4}{5} = 3 \frac{9}{25} ({cm}^{2})

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R19HDEn3pMPAF2

Ćwiczenie 13

$20$
$25$
$30$
$40$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R11RJiPhIA8273

Ćwiczenie 14

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ri5sTxKe4oty33

Ćwiczenie 15

$a = 4, b = 5$
$a = 8, b = 15$
$b = 24, c = 25$
$a = 9, c = 15$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

Losujemy dwie liczby naturalne $a$ , $b$ ze zbioru liczb naturalnych od $1$ do $25$ . Liczby
$a$ , $b$ są długościami przyprostokątnych trójkąta. Znajdź długość przeciwprostokątnej $c$ dla trzech przykładowych par wylosowanych liczb.

Liczby spełniają warunek $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , stąd $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Dla $a = 3$ oraz $b = 4$ przeciwprostokątna ma długość $5$ .

Dla $a = 6$ oraz $b = 8$ przeciwprostokątna ma długość $10$ .

Dla $a = 9$ oraz $b = 11$ przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{202}$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z apletem przedstawiającym trójkąt niespełniający założeń twierdzenia Pitagorasa.

R1BrAXIsPSqtN