Obliczanie długości boków w trójkącie prostokątnym
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, można obliczyć długość jednego z boków trójkąta prostokątnego, mając dane długości dwóch pozostałych boków.
Przykład 1
W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych są równe i . Znajdźmy długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.
R16Dh5iPSIgzX1
Zapisujemy równość wynikającą z twierdzenia Pitagorasa, z której wyznaczamy długość przeciwprostokątnej.
.
Równanie
ma dwa rozwiązania lub . Długość boku trójkąta wyraża się liczbą dodatnią, zatem uwzględniamy tylko rozwiązanie dodatnie
.
Przeciwprostokątna trójkąta ma długość .
Przykład 2
Jedna z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego ma długość , a przeciwprostokątna ma długość . Oblicz długość drugiej przyprostokątnej.
RNl6oVe9zglwu1
Oznaczamy – długość drugiej przyprostokątnej, . Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.
.
Druga z przyprostokątnych ma długość .
Przykład 3
W trójkącie prostokątnym dwa boki mają długości i . Znajdź długość trzeciego boku tego trójkąta.
Oznaczmy – szukaną długość boku trójkąta .
Długość boku znajdziemy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.
Rozpatrzymy dwa przypadki:
przypadek
przypadek
Bok, którego długości szukamy, jest przyprostokątną trójkąta.
Bok, którego długości szukamy jest przeciwprostokątną trójkąta.
Długość trzeciego boku trójkąta jest równa lub .
1
Ćwiczenie 1
W podanym twierdzeniu wskaż założenie i tezę. Czy twierdzenie jest prawdziwe?
Jeżeli liczba naturalna dodatnia jest wielokrotnością , to jest podzielna przez .
Jeżeli pole kwadratu jest równe , to jego obwód jest równy .
Jeżeli punkt leży w układzie współrzędnych na osi , to jego druga współrzędna jest równa .
Jeżeli wielokąt jest trapezem, to jego przekątne zawsze przecinają się pod kątem prostym.
R1Zp76mQ1Od51
Założenie: liczba naturalna dodatnia jest wielokrotnością Teza: jest podzielna przez Twierdzenie prawdziwe.
Założenie: pole kwadratu jest równe Teza: jego obwód jest równy Twierdzenie prawdziwe.
Założenie: punkt leży w układzie współrzędnych na osi Teza: jego druga współrzędna jest równa Twierdzenie prawdziwe.
Założenie: wielokąt jest trapezem Teza: jego przekątne zawsze przecinają się pod kątem prostym Twierdzenie fałszywe.
1
Ćwiczenie 2
Sformułuj podane twierdzenie, korzystając ze schematu „jeżeli … to”.
Pole kwadratu o boku długości jest równe .
W trójkącie równobocznym każdy kąt ma miarę .
Liczba naturalna podzielna przez cztery jest liczbą parzystą.
R8vdWp1igrcyh
Jeżeli kwadrat ma bok długości , to jego pole jest równe .
Jeżeli trójkąt jest równoboczny, to każdy z jego kątów ma miarę .
Jeżeli liczba naturalna jest podzielna przez , to jest liczbą parzystą.
RXd6VNBIxiZmv
Ćwiczenie 3
RxvoSLdJ1zc4G
Ćwiczenie 3
RKHZnk0FD19ca
Ćwiczenie 4
RtMjyRV2MbY5L
Ćwiczenie 4
21
Ćwiczenie 5
Wszystkie znajdujące się na rysunku trójkąty są prostokątne. Trójkąty niebieskie są przystające.
Wykaż prawdziwość twierdzenia Pitagorasa, korzystając z instrukcji:
R1G7iDCRVeuA01
R9btexqqRvrHA
z trójkątów na rysunku zbuduj trapez
oblicz pole trapezu jako sumę pól trójkątów
oblicz pole trapezu, korzystając z odpowiedniego wzoru
porównaj otrzymane wyrażenia
sprowadź do najprostszej postaci zapisaną równość
wyciągnij wniosek
Rjilip4rbisl8
Suma pól trójkątów
.
Pole trapezu
.
Obliczone pola są równe
– teza twierdzenia Pitagorasa.
21
Ćwiczenie 6
Rysunek przedstawia deltoid (latawiec), czyli czworokąt, którego przekątne są prostopadłe. Na bokach latawca zbudowano kwadraty.
Zmieniaj położenie punktu , również tak, aby uzyskać trójkąt prostokątny. W każdym przypadku porównuj sumy pól kwadratów leżących naprzeciw siebie. Co zauważasz?
R2NW39I8iR61b1
Sumy pól kwadratów zbudowanych na przeciwległych bokach są równe.
RiKHZrzrJxmyf
Ćwiczenie 7
R1UTnTm0sOomh
Ćwiczenie 7
R1HWJAR44nqdx
Ćwiczenie 8
Ro6tHuKpJg9Vh
Ćwiczenie 8
RZY7uctryKSgo
Ćwiczenie 9
1
RniMvTOtRhTLr
Ćwiczenie 10
R1IyXvKVBV6eA
Ćwiczenie 10
R16LlP3q4dzjf
Ćwiczenie 11
RqdmYd19ifQAP
Ćwiczenie 12
R19HDEn3pMPAF2
Ćwiczenie 13
R11RJiPhIA8273
Ćwiczenie 14
Ri5sTxKe4oty33
Ćwiczenie 15
3
Ćwiczenie 16
Losujemy dwie liczby naturalne , ze zbioru liczb naturalnych od do . Liczby , są długościami przyprostokątnych trójkąta. Znajdź długość przeciwprostokątnej dla trzech przykładowych par wylosowanych liczb.
Liczby spełniają warunek , stąd .
Dla oraz przeciwprostokątna ma długość .
Dla oraz przeciwprostokątna ma długość .
Dla oraz przeciwprostokątna ma długość .
1
Polecenie 1
Zapoznaj się z apletem przedstawiającym trójkąt niespełniający założeń twierdzenia Pitagorasa.