Obliczanie pól i obwodów czworokątów

W tym materiale zawarte są informacje na temat obliczania pól i obwodów czworokątów. Przypomnisz sobie podstawowe wzory związane z obliczaniem pól kwadratów, prostokątów, równoległoboków i rombów oraz sposoby wykorzystania tych wzorów w różnych zadaniach.

Ważne!

  • Aby obliczyć pole prostokąta, wystarczy pomnożyć długości jego dwóch sąsiednich boków.

    RCgHfTZ218rJP1
    Rysunek prostokąta o bokach a, b. Zapis: P = a razy b.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  • Aby obliczyć pole kwadratu, podnosimy do kwadratu długość jego boku.

    RtJhlS2jL9usN1
    Rysunek kwadratu o boku a. Zapis: P = a razy a lub P = a do kwadratu.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  • Pole równoległoboku obliczamy, mnożąc długość boku równoległoboku przez wysokość poprowadzoną do tego boku.

    RCFphvdPxwwbO1
    Rysunek równoległoboku o jednym boku równym a i wysokości opuszczonej na ten bok równej h. Zapis: P =a razy h.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  • Ponieważ romb jest równoległobokiem, jego pole obliczamy tak, jak pole równoległoboku.

    RSNDBPcK28t9X1
    Rysunek rombu o boku a i wysokości h. Zapis: P = a razy h.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  • Pole rombu możemy również obliczyć znając długości jego przekątnych.

    R199ZM55GEOJH1
    Rysunek rombu o przekątnych e i f. Zapis: P = e razy f.
    Źródło: opracowanie ORE, licencja: CC BY 3.0.

  • Aby obliczyć pole trapezu wystarczy nam znajomość długości jego podstaw i wysokości.

    RWNR7AUfCxZX01
    Rysunek trapezu o podstawach a i b oraz wysokości h. Zapis: P = a plus b, podzielone przez 2, razy h.
    Źródło: opracowanie ORE, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

R1QiYOE7COHSV
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
11
Ćwiczenie 1
RqvuJx3FJgL1o
Połącz w pary figurę z opisem sposobu obliczania jej pola.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rdv4Zu2BCAigO
Połącz w pary opis figury z opisem sposobu obliczania jej pola. Kwadrat o boku a Możliwe odpowiedzi: 1. Mnożymy długości dwóch sąsiednich boków., 2. Iloczyn sumy podstaw i wysokości dzielimy przez dwa., 3. Mnożymy długość boku przez długość wysokości prostopadłej do tego boku., 4. Podnosimy do kwadratu długość jego boku., 5. Iloczyn długości przekątnych dzielimy przez dwa. Prostokąt o bokach a i b Możliwe odpowiedzi: 1. Mnożymy długości dwóch sąsiednich boków., 2. Iloczyn sumy podstaw i wysokości dzielimy przez dwa., 3. Mnożymy długość boku przez długość wysokości prostopadłej do tego boku., 4. Podnosimy do kwadratu długość jego boku., 5. Iloczyn długości przekątnych dzielimy przez dwa. Trapez o podstawach a i b oraz o wysokości h Możliwe odpowiedzi: 1. Mnożymy długości dwóch sąsiednich boków., 2. Iloczyn sumy podstaw i wysokości dzielimy przez dwa., 3. Mnożymy długość boku przez długość wysokości prostopadłej do tego boku., 4. Podnosimy do kwadratu długość jego boku., 5. Iloczyn długości przekątnych dzielimy przez dwa. Romb o przekątnych e i f Możliwe odpowiedzi: 1. Mnożymy długości dwóch sąsiednich boków., 2. Iloczyn sumy podstaw i wysokości dzielimy przez dwa., 3. Mnożymy długość boku przez długość wysokości prostopadłej do tego boku., 4. Podnosimy do kwadratu długość jego boku., 5. Iloczyn długości przekątnych dzielimy przez dwa. Równoległobok o podstawie a i wysokości opuszczonej na tę podstawę równą h Możliwe odpowiedzi: 1. Mnożymy długości dwóch sąsiednich boków., 2. Iloczyn sumy podstaw i wysokości dzielimy przez dwa., 3. Mnożymy długość boku przez długość wysokości prostopadłej do tego boku., 4. Podnosimy do kwadratu długość jego boku., 5. Iloczyn długości przekątnych dzielimy przez dwa.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rh2OiPqORrRFw1
Ćwiczenie 2
Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi.
Jeżeli litery e i f oznaczają długości przekątnych czworokąta, to stosując wzór P, równa się, początek ułamka, e, razy, f, mianownik, dwa, koniec ułamka możemy obliczyć pole Możliwe odpowiedzi: 1. równoległoboku, 2. rombu, 3. prostokąta, 4. kwadratu
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rsk2GIhAEQr6O1
Ćwiczenie 3
Zaznacz poprawną odpowiedź.
Jeżeli a - podstawa czworokąta, a h - wysokość prostopadła do tej podstawy, to stosując wzór P, równa się, a, razy, h nie możemy obliczyć pola dowolnego Możliwe odpowiedzi: 1. równoległoboku, 2. rombu, 3. prostokąta, 4. trapezu
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
11
Ćwiczenie 4

Rysunek przedstawia trapez ABCD i obliczenie jego pola. Możesz zmieniać położenie wierzchołków tego trapezu, ale długość wysokości cały czas będzie taka sama.

R1FkPPxREgFnJ1
Animacja pokazuje trapez A B C D i obliczenie jego pola. Można zmieniać położenie wierzchołków tego trapezu, ale długość wysokości nie ulega zmianie. Zmieniają się tylko długości podstaw i ramion trapezu. Pole trapezu obliczane jest ze wzoru P = początek ułamka, licznik (a + b) razy h kreska ułamkowa, mianownik 2 koniec ułamka.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DKcarvWxw

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
ROL4all3YHtPe
Sprawdź, czy za pomocą tego wzoru można obliczyć pola innych czworokątów. Zmień ustawienia wierzchołków trapezu, odczytaj pole, a następnie uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Pole trapezu o podstawach sześć i dwa wynosi Tu uzupełnij.Pole równoległoboku o podstawie osiem wynosi Tu uzupełnij.Pole prostokąta o bokach dziewięć i cztery wynosi Tu uzupełnij.Pole kwadratu o boku cztery wynosi Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1NS4AcdCv3x0
Korzystając ze wzoru na pole trapezu dla wysokości równej cztery spróbuj obliczyć pola innych czworokątów. Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Pole trapezu o podstawach sześć i dwa wynosi Tu uzupełnij.Pole równoległoboku o podstawie osiem wynosi Tu uzupełnij.Pole prostokąta o bokach dziewięć i cztery wynosi Tu uzupełnij.Pole kwadratu o boku cztery wynosi Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
11
Ćwiczenie 5

Oblicz pola figur przedstawionych na rysunku.

R26eRfcdy3eNj1
Rysunek pięciu czworokątów. Pierwsza figura to trapez równoramienny o podstawach długości 5 cm i 7 cm oraz wysokości równej 4 cm. Druga figura to romb o przekątnych równych 7 m i 9 m. Trzecia figura to trapez równoramienny o podstawach długości 2 cm i 6 cm oraz wysokości równej 5 cm. Czwarta figura to równoległobok o wysokości równej 7 dm opuszczonej na boku długości 12 dm. Piąta figura to prostokąt o bokach długości 8 mm i 9 mm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1QohnDv5fTTJ
Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Pole pierwszej figury wynosi Tu uzupełnijcm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.Pole drugiej figury wynosi Tu uzupełnij m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.Pole trzeciej figury wynosi Tu uzupełnijcm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.Pole czwartej figury wynosi Tu uzupełnijdm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.Pole piątej figury wynosi Tu uzupełnijmm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 6
RFjXMwicdxrsU
Oblicz pole kwadratu o obwodzie równym trzydzieści sześć cm. Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Pole tego kwadratu wynosi Tu uzupełnijcm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 7
RsBcp6XMkxi8n
Oblicz pole kwadratu, którego przekątna ma długość dwanaście cm. Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Pole tego kwadratu wynosi Tu uzupełnijcm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
21
Ćwiczenie 8

Uruchom aplet i postępuj zgodnie z poleceniami.

RZ8Y3GB4COZW41
Animacja pokazuje prostokąt, którego wierzchołki leżą w punktach kratowych kratownicy. Należy zmieniając położenie wierzchołków utworzyć inny prostokąt o danym polu.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DKcarvWxw

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R6FYNJ1Hm29vw
Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wymiary prostokątów lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Prostokąt o polu dwadzieścia cztery cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego może mieć wymiary 1. jeden cm × cztery cm, 2. siedem cm × trzy cm, 3. pięć cm × cztery cm, 4. cztery cm × trzy cm, 5. sześć cm × cztery cm, 6. siedem cm × sześć cm.Prostokąt o polu czterdzieści dwa cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego może mieć wymiary 1. jeden cm × cztery cm, 2. siedem cm × trzy cm, 3. pięć cm × cztery cm, 4. cztery cm × trzy cm, 5. sześć cm × cztery cm, 6. siedem cm × sześć cm.Prostokąt o polu dwanaście cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego może mieć wymiary 1. jeden cm × cztery cm, 2. siedem cm × trzy cm, 3. pięć cm × cztery cm, 4. cztery cm × trzy cm, 5. sześć cm × cztery cm, 6. siedem cm × sześć cm.Prostokąt o polu cztery cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego może mieć wymiary 1. jeden cm × cztery cm, 2. siedem cm × trzy cm, 3. pięć cm × cztery cm, 4. cztery cm × trzy cm, 5. sześć cm × cztery cm, 6. siedem cm × sześć cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
21
Ćwiczenie 9

Uruchom aplet i postępuj zgodnie z poleceniami.

R1uDyOIgUPL4T1
Animacja pokazuje kwadrat, którego wierzchołki leżą w punktach kratowych kratownicy. Należy zmieniając położenie wierzchołków utworzyć kwadrat o danym polu.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DKcarvWxw

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1HYiBmCCOd6Z
Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie długości boków kwadratu lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Kwadrat o polu czterdzieści dziewięć cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego ma bok długości 1. jeden cm, 2. trzy cm, 3. siedem cm, 4. dwa cm, 5. cztery cm, 6. pięć cm.Kwadrat o polu szesnaście cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego ma bok długości 1. jeden cm, 2. trzy cm, 3. siedem cm, 4. dwa cm, 5. cztery cm, 6. pięć cm.Kwadrat o polu cztery cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego ma bok długości 1. jeden cm, 2. trzy cm, 3. siedem cm, 4. dwa cm, 5. cztery cm, 6. pięć cm.Kwadrat o polu dziewięć cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego ma bok długości 1. jeden cm, 2. trzy cm, 3. siedem cm, 4. dwa cm, 5. cztery cm, 6. pięć cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
21A
Ćwiczenie 10

Uruchom aplet i postępuj zgodnie z poleceniami.

R1H3Mm1mf8uY61
Animacja pokazuje prostokąt, którego wierzchołki leżą w punktach kratowych kratownicy. Należy zmieniając położenie wierzchołków utworzyć prostokąt o danym polu.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DKcarvWxw

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rck0W3IWNNOEJ
Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Prostokąt o polu szesnaście cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego ma wymiary dwa cm na Tu uzupełnijcm.Prostokąt o polu pięć cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego ma wymiary Tu uzupełnijcm na jeden cm.Prostokąt o polu trzydzieści pięć cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego ma wymiary siedem cm na Tu uzupełnijcm.Prostokąt o polu dwadzieścia cztery cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego ma wymiary Tu uzupełnijcm na cztery cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
21A
Ćwiczenie 11

Uruchom aplet i postępuj zgodnie z poleceniami.

RvGkMqJvjQjRB1
Animacja pokazuje kwadrat, którego wierzchołki leżą w punktach kratowych kratownicy. Należy podać pole danego kwadratu.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DKcarvWxw

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1XnHdyFDtl8E
Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Kwadrat o boku sześć cm ma pole powierzchni równe Tu uzupełnijcm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.Kwadrat o boku trzy cm ma pole powierzchni równe Tu uzupełnijcm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.Kwadrat o boku pięć cm ma pole powierzchni równe Tu uzupełnijcm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.Kwadrat o boku jeden cm ma pole powierzchni równe Tu uzupełnijcm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
21A
Ćwiczenie 12

Uruchom aplet i postępuj zgodnie z poleceniami.

R1MRFP7YOsdBJ1
Animacja pokazuje prostokąt, którego wierzchołki leżą w punktach kratowych kratownicy. Należy podać pole danego prostokąta.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DKcarvWxw

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RP6eLhaBJnCRt
Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Prostokąt o wymiarach cztery cm × sześć cm ma pole równe Tu uzupełnijcm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.Prostokąt o wymiarach jeden cm × trzy cm ma pole równe Tu uzupełnijcm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.Prostokąt o wymiarach cztery cm × trzy cm ma pole równe Tu uzupełnijcm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.Prostokąt o wymiarach dwa cm × sześć cm ma pole równe Tu uzupełnijcm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
2
Ćwiczenie 13

Narysuj: kwadrat, prostokąt, równoległobok, romb i trapez tak, aby każda z figur miała pole równe 36 cm2.
Sprawdź poprawność wykonania rysunków, budując takie same figury z dynamiczną kartą pracy.
Ustaw wierzchołki tak, by otrzymać kolejne figury o takich samych wymiarach, jak w zeszycie.

Rs6uHyKyJebUo1
Animacja pokazuje czworokąt A B C D, którego wierzchołki leżą w punktach kratowych kratownicy. Należy zmieniając położenie wierzchołków ułożyć prostokąt, kwadrat, równoległobok, romb i trapez, tak aby każda z figur miała pole równe 36 centymetrów kwadratowych.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DKcarvWxw

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RoJyRqmnjn3oc
Ćwiczenie 13
Uzupełnij wymiary figur tak, aby każda z nich miała pole powierzchni równe trzydzieści sześć cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Kwadrat musi mieć bok długości Tu uzupełnijcm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.Prostokąt musi mieć boki o wymiarach trzy cm na Tu uzupełnijcm.Równoległobok musi mieć podstawę o długości cztery cm i wysokość długości Tu uzupełnijcm.Romb musi mieć przekątne o długości dziewięć cm i Tu uzupełnijcm.Trapez musi mieć wysokość równą osiem cm oraz podstawy, których suma wynosi Tu uzupełnijcm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 14
RpznXWDXo0m8F
Jedna przekątna rombu ma długość dwanaście cm, a druga jest od niej o cztery cm krótsza. Oblicz pole tego rombu. Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Pole tego rombu wynosi Tu uzupełnijcm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 15
RrbVmlIaYpuoG
Obwód trapezu prostokątnego wynosi czterdzieści cztery cm. Jego podstawy mają długość dziesięć cm i szesnaście cm, a dłuższe z ramion ma dziesięć cm długości. Oblicz pole tego trapezu. Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Pole tego trapezu wynosi Tu uzupełnijcm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 16
RAFqQURe2aacb
Przekątne rombu mają długości dwanaście cm i szesnaście cm. Oblicz długość boku tego rombu, jeżeli jego wysokość wynosi dziewięć przecinek sześć cm. Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Długość boku tego rombu wynosi Tu uzupełnijcm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 17
R16s0Lg8PIGfI
Ścianę o wymiarach cztery przecinek pięć m i dwa przecinek pięć m trzeba wyłożyć glazurą. Wskaż zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Na wyłożenie tej ściany glazurą potrzeba pięćset kwadratowych płytek o boku jeden przecinek pięć dm., 2. Na wyłożenie tej ściany glazurą potrzeba czterysta kwadratowych płytek o boku dwadzieścia cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 18
R1eTTxWHapNyr
Rolnik podzielił pole o powierzchni dwa przecinek pięć ha na dwadzieścia pięć jednakowych działek. Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Jedna działka ma powierzchnię tysiąc m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego., 2. Każda działka ma powierzchnię sto arów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 19
Rz2U3KtQ1XSp2
Na grządkę w kształcie trapezu prostokątnego o podstawach cztery przecinek pięć m i dwa przecinek pięć m i wysokości cztery m trzeba wysypać torf. Jeden worek torfu starcza na sześć m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego powierzchni. Ile najmniej worków torfu trzeba kupić? Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Odpowiedź: Trzeba kupić minimum Tu uzupełnij worki torfu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.