Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

W tym materiale zawarte są informacje na temat obliczania pól i obwodów czworokątów. Przypomnisz sobie podstawowe wzory związane z obliczaniem pól kwadratów, prostokątów, równoległoboków i rombów oraz sposoby wykorzystania tych wzorów w różnych zadaniach.

Ważne!
  • Aby obliczyć pole prostokąta, wystarczy pomnożyć długości jego dwóch sąsiednich boków.

    RCgHfTZ218rJP1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  • Aby obliczyć pole kwadratu, podnosimy do kwadratu długość jego boku.

    RtJhlS2jL9usN1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  • Pole równoległoboku obliczamy, mnożąc długość boku równoległoboku przez wysokość poprowadzoną do tego boku.

    RCFphvdPxwwbO1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  • Ponieważ romb jest równoległobokiem, jego pole obliczamy tak, jak pole równoległoboku.

    RSNDBPcK28t9X1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  • Pole rombu możemy również obliczyć znając długości jego przekątnych.

    R1ZR0mZSLEgnv1
    Źródło: opracowanie ORE, licencja: CC BY 3.0.
  • Aby obliczyć pole trapezu wystarczy nam znajomość długości jego podstaw i wysokości.

    RWNR7AUfCxZX01
    Źródło: opracowanie ORE, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

R1QiYOE7COHSV
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
11
Ćwiczenie 1
RqvuJx3FJgL1o
Połącz w pary figurę z opisem sposobu obliczania jej pola.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rdv4Zu2BCAigO
Połącz w pary opis figury z opisem sposobu obliczania jej pola. Kwadrat o boku a Możliwe odpowiedzi: 1. Mnożymy długości dwóch sąsiednich boków., 2. Iloczyn sumy podstaw i wysokości dzielimy przez dwa., 3. Mnożymy długość boku przez długość wysokości prostopadłej do tego boku., 4. Podnosimy do kwadratu długość jego boku., 5. Iloczyn długości przekątnych dzielimy przez dwa. Prostokąt o bokach ab Możliwe odpowiedzi: 1. Mnożymy długości dwóch sąsiednich boków., 2. Iloczyn sumy podstaw i wysokości dzielimy przez dwa., 3. Mnożymy długość boku przez długość wysokości prostopadłej do tego boku., 4. Podnosimy do kwadratu długość jego boku., 5. Iloczyn długości przekątnych dzielimy przez dwa. Trapez o podstawach ab oraz o wysokości h Możliwe odpowiedzi: 1. Mnożymy długości dwóch sąsiednich boków., 2. Iloczyn sumy podstaw i wysokości dzielimy przez dwa., 3. Mnożymy długość boku przez długość wysokości prostopadłej do tego boku., 4. Podnosimy do kwadratu długość jego boku., 5. Iloczyn długości przekątnych dzielimy przez dwa. Romb o przekątnych ef Możliwe odpowiedzi: 1. Mnożymy długości dwóch sąsiednich boków., 2. Iloczyn sumy podstaw i wysokości dzielimy przez dwa., 3. Mnożymy długość boku przez długość wysokości prostopadłej do tego boku., 4. Podnosimy do kwadratu długość jego boku., 5. Iloczyn długości przekątnych dzielimy przez dwa. Równoległobok o podstawie a i wysokości opuszczonej na tę podstawę równą h Możliwe odpowiedzi: 1. Mnożymy długości dwóch sąsiednich boków., 2. Iloczyn sumy podstaw i wysokości dzielimy przez dwa., 3. Mnożymy długość boku przez długość wysokości prostopadłej do tego boku., 4. Podnosimy do kwadratu długość jego boku., 5. Iloczyn długości przekątnych dzielimy przez dwa.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rh2OiPqORrRFw1
Ćwiczenie 2
Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi.
Jeżeli litery ef oznaczają długości przekątnych czworokąta, to stosując wzór P=e·f2 możemy obliczyć pole Możliwe odpowiedzi: 1. równoległoboku, 2. rombu, 3. prostokąta, 4. kwadratu
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rsk2GIhAEQr6O1
Ćwiczenie 3
Zaznacz poprawną odpowiedź.
Jeżeli a - podstawa czworokąta, a h - wysokość prostopadła do tej podstawy, to stosując wzór P=a·h nie możemy obliczyć pola dowolnego Możliwe odpowiedzi: 1. równoległoboku, 2. rombu, 3. prostokąta, 4. trapezu
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
11
Ćwiczenie 4

Rysunek przedstawia trapez ABCD i obliczenie jego pola. Możesz zmieniać położenie wierzchołków tego trapezu, ale długość wysokości cały czas będzie taka sama.

R1FkPPxREgFnJ1
Animacja pokazuje trapez A B C D i obliczenie jego pola. Można zmieniać położenie wierzchołków tego trapezu, ale długość wysokości nie ulega zmianie. Zmieniają się tylko długości podstaw i ramion trapezu. Pole trapezu obliczane jest ze wzoru P = początek ułamka, licznik (a + b) razy h kreska ułamkowa, mianownik 2 koniec ułamka.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
ROL4all3YHtPe
Sprawdź, czy za pomocą tego wzoru można obliczyć pola innych czworokątów. Zmień ustawienia wierzchołków trapezu, odczytaj pole, a następnie uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Pole trapezu o podstawach 62 wynosi Tu uzupełnij.Pole równoległoboku o podstawie 8 wynosi Tu uzupełnij.Pole prostokąta o bokach 94 wynosi Tu uzupełnij.Pole kwadratu o boku 4 wynosi Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1NS4AcdCv3x0
Korzystając ze wzoru na pole trapezu dla wysokości równej 4 spróbuj obliczyć pola innych czworokątów. Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Pole trapezu o podstawach 62 wynosi Tu uzupełnij.Pole równoległoboku o podstawie 8 wynosi Tu uzupełnij.Pole prostokąta o bokach 94 wynosi Tu uzupełnij.Pole kwadratu o boku 4 wynosi Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
11
Ćwiczenie 5

Oblicz pola figur przedstawionych na rysunku.

R26eRfcdy3eNj1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1QohnDv5fTTJ
Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Pole pierwszej figury wynosi Tu uzupełnij cm2.Pole drugiej figury wynosi Tu uzupełnij  m2.Pole trzeciej figury wynosi Tu uzupełnij cm2.Pole czwartej figury wynosi Tu uzupełnij dm2.Pole piątej figury wynosi Tu uzupełnij mm2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 6
RFjXMwicdxrsU
Oblicz pole kwadratu o obwodzie równym 36 cm. Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Pole tego kwadratu wynosi Tu uzupełnij cm2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 7
RsBcp6XMkxi8n
Oblicz pole kwadratu, którego przekątna ma długość 12 cm. Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Pole tego kwadratu wynosi Tu uzupełnij cm2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
21
Ćwiczenie 8

Uruchom aplet i postępuj zgodnie z poleceniami.

RZ8Y3GB4COZW41
Animacja pokazuje prostokąt, którego wierzchołki leżą w punktach kratowych kratownicy. Należy zmieniając położenie wierzchołków utworzyć inny prostokąt o danym polu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R6FYNJ1Hm29vw
Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wymiary prostokątów lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Prostokąt o polu 24 cm2 może mieć wymiary 1. 1 cm × 4 cm, 2. 7 cm × 3 cm, 3. 5 cm × 4 cm, 4. 4 cm × 3 cm, 5. 6 cm × 4 cm, 6. 7 cm × 6 cm.Prostokąt o polu 42 cm2 może mieć wymiary 1. 1 cm × 4 cm, 2. 7 cm × 3 cm, 3. 5 cm × 4 cm, 4. 4 cm × 3 cm, 5. 6 cm × 4 cm, 6. 7 cm × 6 cm.Prostokąt o polu 12 cm2 może mieć wymiary 1. 1 cm × 4 cm, 2. 7 cm × 3 cm, 3. 5 cm × 4 cm, 4. 4 cm × 3 cm, 5. 6 cm × 4 cm, 6. 7 cm × 6 cm.Prostokąt o polu 4 cm2 może mieć wymiary 1. 1 cm × 4 cm, 2. 7 cm × 3 cm, 3. 5 cm × 4 cm, 4. 4 cm × 3 cm, 5. 6 cm × 4 cm, 6. 7 cm × 6 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
21
Ćwiczenie 9

Uruchom aplet i postępuj zgodnie z poleceniami.

R1uDyOIgUPL4T1
Animacja pokazuje kwadrat, którego wierzchołki leżą w punktach kratowych kratownicy. Należy zmieniając położenie wierzchołków utworzyć kwadrat o danym polu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1HYiBmCCOd6Z
Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie długości boków kwadratu lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Kwadrat o polu 49 cm2 ma bok długości 1. 1 cm, 2. 3 cm, 3. 7 cm, 4. 2 cm, 5. 4 cm, 6. 5 cm.Kwadrat o polu 16 cm2 ma bok długości 1. 1 cm, 2. 3 cm, 3. 7 cm, 4. 2 cm, 5. 4 cm, 6. 5 cm.Kwadrat o polu 4 cm2 ma bok długości 1. 1 cm, 2. 3 cm, 3. 7 cm, 4. 2 cm, 5. 4 cm, 6. 5 cm.Kwadrat o polu 9 cm2 ma bok długości 1. 1 cm, 2. 3 cm, 3. 7 cm, 4. 2 cm, 5. 4 cm, 6. 5 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
21A
Ćwiczenie 10

Uruchom aplet i postępuj zgodnie z poleceniami.

R1H3Mm1mf8uY61
Animacja pokazuje prostokąt, którego wierzchołki leżą w punktach kratowych kratownicy. Należy zmieniając położenie wierzchołków utworzyć prostokąt o danym polu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rck0W3IWNNOEJ
Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Prostokąt o polu 16 cm2 ma wymiary 2 cm na Tu uzupełnij cm.Prostokąt o polu 5 cm2 ma wymiary Tu uzupełnij cm na 1 cm.Prostokąt o polu 35 cm2 ma wymiary 7 cm na Tu uzupełnij cm.Prostokąt o polu 24 cm2 ma wymiary Tu uzupełnij cm na 4 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
21A
Ćwiczenie 11

Uruchom aplet i postępuj zgodnie z poleceniami.

RvGkMqJvjQjRB1
Animacja pokazuje kwadrat, którego wierzchołki leżą w punktach kratowych kratownicy. Należy podać pole danego kwadratu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1XnHdyFDtl8E
Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Kwadrat o boku 6 cm ma pole powierzchni równe Tu uzupełnij cm2.Kwadrat o boku 3 cm ma pole powierzchni równe Tu uzupełnij cm2.Kwadrat o boku 5 cm ma pole powierzchni równe Tu uzupełnij cm2.Kwadrat o boku 1 cm ma pole powierzchni równe Tu uzupełnij cm2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
21A
Ćwiczenie 12

Uruchom aplet i postępuj zgodnie z poleceniami.

R1MRFP7YOsdBJ1
Animacja pokazuje prostokąt, którego wierzchołki leżą w punktach kratowych kratownicy. Należy podać pole danego prostokąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RP6eLhaBJnCRt
Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Prostokąt o wymiarach 4 cm × 6 cm ma pole równe Tu uzupełnij cm2.Prostokąt o wymiarach 1 cm × 3 cm ma pole równe Tu uzupełnij cm2.Prostokąt o wymiarach 4 cm × 3 cm ma pole równe Tu uzupełnij cm2.Prostokąt o wymiarach 2 cm × 6 cm ma pole równe Tu uzupełnij cm2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
2
Ćwiczenie 13

Narysuj: kwadrat, prostokąt, równoległobok, romb i trapez tak, aby każda z figur miała pole równe 36 cm2.
Sprawdź poprawność wykonania rysunków, budując takie same figury z dynamiczną kartą pracy.
Ustaw wierzchołki tak, by otrzymać kolejne figury o takich samych wymiarach, jak w zeszycie.

Rs6uHyKyJebUo1
Animacja pokazuje czworokąt A B C D, którego wierzchołki leżą w punktach kratowych kratownicy. Należy zmieniając położenie wierzchołków ułożyć prostokąt, kwadrat, równoległobok, romb i trapez, tak aby każda z figur miała pole równe 36 centymetrów kwadratowych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RoJyRqmnjn3oc
Ćwiczenie 13
Uzupełnij wymiary figur tak, aby każda z nich miała pole powierzchni równe 36 cm2. Kwadrat musi mieć bok długości Tu uzupełnij cm2.Prostokąt musi mieć boki o wymiarach 3 cm na Tu uzupełnij cm.Równoległobok musi mieć podstawę o długości 4 cm i wysokość długości Tu uzupełnij cm.Romb musi mieć przekątne o długości 9 cm i Tu uzupełnij cm.Trapez musi mieć wysokość równą 8 cm oraz podstawy, których suma wynosi Tu uzupełnij cm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 14
RpznXWDXo0m8F
Jedna przekątna rombu ma długość 12 cm, a druga jest od niej o 4 cm krótsza. Oblicz pole tego rombu. Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Pole tego rombu wynosi Tu uzupełnij cm2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 15
RrbVmlIaYpuoG
Obwód trapezu prostokątnego wynosi 44 cm. Jego podstawy mają długość 10 cm16 cm, a dłuższe z ramion ma 10 cm długości. Oblicz pole tego trapezu. Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Pole tego trapezu wynosi Tu uzupełnij cm2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 16
RAFqQURe2aacb
Przekątne rombu mają długości 12 cm16 cm. Oblicz długość boku tego rombu, jeżeli jego wysokość wynosi 9,6 cm. Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Długość boku tego rombu wynosi Tu uzupełnij cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 17
R16s0Lg8PIGfI
Ścianę o wymiarach 4,5 m2,5 m trzeba wyłożyć glazurą. Wskaż zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Na wyłożenie tej ściany glazurą potrzeba 500 kwadratowych płytek o boku 1,5 dm., 2. Na wyłożenie tej ściany glazurą potrzeba 400 kwadratowych płytek o boku 20 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 18
R1eTTxWHapNyr
Rolnik podzielił pole o powierzchni 2,5 ha na 25 jednakowych działek. Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Jedna działka ma powierzchnię 1000 m2., 2. Każda działka ma powierzchnię 100 arów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 19
Rz2U3KtQ1XSp2
Na grządkę w kształcie trapezu prostokątnego o podstawach 4,5 m2,5 m i wysokości 4 m trzeba wysypać torf. Jeden worek torfu starcza na 6 m2 powierzchni. Ile najmniej worków torfu trzeba kupić? Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Odpowiedź: Trzeba kupić minimum Tu uzupełnij worki torfu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.