Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych. Dowodzenie tożsamości trygonometrycznych - zadania

Pokaż ćwiczenia:

Ta lekcja poświęcona jest zadaniom związanym z obliczaniem wartości funkcji trygonometrycznych. Jeżeli chcesz sobie przypomnieć podstawowe wiadomości na temat trygonometrii, zajrzyj do lekcji Wprowadzenie do trygonometriiD1E6YnyU5Wprowadzenie do trygonometrii. Możesz sobie również przypomnieć, jak obliczamy wartości wyrażeń trygonometrycznych; w tym celu zajrzyj do lekcji Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych. Dowodzenie tożsamości trygonometrycznych - przykładyDg0eB4KyVObliczanie wartości funkcji trygonometrycznych. Dowodzenie tożsamości trygonometrycznych - przykłady.

Ćwiczenie 1

R15icD66XPjk4

$a < 2$
$b > 1$
$a = b$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że dla dowolnego kąta ostrego $α$ zachodzą równości $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ oraz $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ .

Ćwiczenie 2

RzY0ni2Sk7e8N

$co s^{2} α = \frac{7}{8}$
$7 si n^{2} α = 9 co s^{2} α$
$\sin^{4} α + co s^{4} α = 1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że dla dowolnego kąta ostrego $α$ zachodzi równość $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

Ćwiczenie 3

RWQbGv1ggWhiK

$\frac{cosα}{sinα} = 0,2$
$sinα = \frac{5}{6}$ i $cosα = \frac{1}{6}$
$sinα = \frac{5 \sqrt{26}}{26}$ i $cosα = \frac{\sqrt{26}}{26}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że dla dowolnego kąta ostrego $α$ zachodzą równości $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ oraz $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ .

Ćwiczenie 4

RRxqvoYWyMMo6

$si n^{2} α = \frac{2}{3}$
$sinα = \frac{8}{9}$
$tgα = 2 \sqrt{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że dla dowolnego kąta ostrego $α$ zachodzą równości $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ oraz $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ .

Ćwiczenie 5

ROmLH3Sdjk7Ah

$\frac{cosα + sinα}{sinα - cosα} = 3$
$\frac{6 cosα + sinα}{2 cosα + sinα} = 4$
$\frac{11 sinα + 3 cosα}{cosα + 2 sinα} = 5$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że dla dowolnego kąta ostrego $α$ zachodzi równość $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ .

Ćwiczenie 6

RntDkqvffiWT3

$\frac{{(sinα + cosα)}^{2} - 1}{2} = sinαcosα$
$\frac{1 - (si n^{4} α + co s^{4} α)}{2} = {(sinαcosα)}^{2}$
$si n^{4} α - co s^{4} α = si n^{2} α - co s^{2} α$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykorzystaj wzory skróconego mnożenia, pamiętając, że dla dowolnego kąta ostrego $α$ zachodzi równość $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

Ćwiczenie 7

RdtgOZeeKgTAm

$co s^{2} α ({tg}^{2} α + si n^{2} α) + co s^{4} α = 1$
${(tgα + \frac{1}{tg α})}^{2} - (t g^{2} α + \frac{1}{t g^{2} α}) = 2$
${(2 sinα + cosα)}^{2} + {(2 cosα - sinα)}^{2} = 3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykorzystaj wzory skróconego mnożenia. Pamiętaj, że dla dowolnego kąta ostrego $α$ zachodzą równości $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ oraz $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ .

Ćwiczenie 8

RrmjQecpTBqtp

$tgα > sinα$
$3 sinα + 4 cosα < 5$
$cosα + sinα > 1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że skoro $α$ jest kątem ostrym, to zarówno lewe, jak i prawe strony nierówności są liczbami dodatnimi, zatem można obie strony nierówności podnieść do kwadratu.

Ćwiczenie 9

R9Nfaxs84Ul8k

$sinα + cosα = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$
${(sinα - cosα)}^{2} = \frac{1}{10}$
$si n^{4} α + co s^{4} α = \frac{17}{25}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że
${(\sin α - \cos α)}^{2} = \sin^{2} α - 2 \sin α \cos α + \cos^{2} α$ .
Zauważ, że
$\sin^{4} α + \cos^{4} α = \sin^{2} α \cdot (1 - \cos^{2} α) + \cos^{2} α \cdot (1 - \sin^{2} α) = \sin^{2} α - {(\sin α \cos α)}^{2} + \cos^{2} α - {(\sin α \cos α)}^{2}$ .
Zauważ, że
${(\sin α + \cos α)}^{2} = \sin^{2} α + 2 \sin α \cos α + \cos^{2} α = 1 + 2 \sin α \cos α$ .

Ćwiczenie 10

R1GuWrGISHuea

wyrażenie $\sqrt{si n^{4} α + 4 co s^{2} α}$ jest równe $si n^{2} α - 2$
wyrażenie $\sqrt{co s^{4} α + 4 si n^{2} α}$ jest równe $2 - co s^{2} α$
wyrażenie $\sqrt{si n^{4} α + 4 co s^{2} α} + \sqrt{co s^{4} α + 4 si n^{2} α}$ jest równe $3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że
$\sqrt{\cos^{4} α + 4 \sin^{2} α} = \sqrt{\cos^{4} α + 4 \cdot (1 - \cos^{2} α)} = \sqrt{\cos^{4} α - 4 \cos^{2} α + 4}$ .
Zauważ, że
$\sqrt{\sin^{4} α + 4 \cos^{2} α} = \sqrt{\sin^{4} α + 4 \cdot (1 - \sin^{2} α)} = \sqrt{\sin^{4} α - 4 \sin^{2} α + 4}$ .
Zauważ, że
$\sqrt{\sin^{4} α + 4 \cos^{2} α} + \sqrt{\cos^{4} α + 4 \sin^{2} α} = \sqrt{\sin^{4} α - 4 \sin^{2} α + 4} + \sqrt{\cos^{4} α - 4 \cos^{2} α + 4}$ .

R17w9XnkSsnuo1

Ćwiczenie 11

$\frac{1}{3}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{4}{9}$
$\frac{5}{9}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

ReYwK4zww5JTd

$1$
$2$
$co s^{2} α$
$2 si n^{2} α$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że dla dowolnego kąta ostrego $α$ zachodzi równość $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

Ćwiczenie 13

RzwoSH16s6RFa

$\frac{cosα}{sinα} = \frac{5}{6}$
$\frac{cosα}{sinα} = \frac{36}{25}$
$\frac{cosα}{sinα} = 2$
$\frac{cosα}{sinα} = 5$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że dla dowolnego kąta ostrego $α$ zachodzi równość $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ .

Ćwiczenie 14

R1LrlrQmuP3wB

$\frac{1}{3}$
$\frac{29}{61}$
$\frac{1}{2}$
$1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że dla dowolnego kąta ostrego $α$ zachodzą równości $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ oraz $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ .

Ćwiczenie 15

RVU7neHVDpayG

$sinα = \frac{3}{10}$
$sinα = \frac{\sqrt{3}}{10}$
$sinα = \frac{\sqrt{51}}{10}$
$sinα = 0,51$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że dla dowolnego kąta ostrego $α$ zachodzi równość $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

Ćwiczenie 16

RaqOChClmae4M

$1$
$3$
$4$
$10$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykorzystaj wzory skróconego mnożenia. Pamiętaj, że dla dowolnego kąta ostrego $α$ zachodzi równość $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

Ćwiczenie 17

R1Ig510erZOlo

$\frac{4}{5}$
$\frac{4}{\sqrt{65}}$
$\frac{16}{\sqrt{65}}$
$\frac{36}{65}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że dla dowolnego kąta ostrego $α$ zachodzą równości $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ oraz $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ .

Ćwiczenie 18

R1RSn5qvs7yHF

$1$
$2 si n^{2} α - 1$
$2$
$2 si n^{2} α + 1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że

\sin^{8} α - \cos^{8} α = (\sin^{4} α + \cos^{4} α) \cdot (\sin^{4} α - \cos^{4} α)

Ćwiczenie 19

R1RLiVE3bhgLV

$\frac{21}{200}$
$\frac{11}{200}$
$\frac{21}{100}$
$\frac{11}{100}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że podnosząc daną równość stronami do kwadratu otrzymujemy

{(\sin α + \cos α)}^{2} = \frac{121}{100}

zatem

\sin^{2} α + 2 \sin α \cos α + \cos^{2} α = \frac{121}{100}

Ćwiczenie 20

RtFC3VjdZ6voF

jest mniejsza od $1$
jest równa $1$
jest równa $2$
jest większa od $2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że

\sin^{4} α + \cos^{4} α = \sin^{2} α \cdot (1 - \cos^{2} α) + \cos^{2} α \cdot (1 - \sin^{2} α)

Ćwiczenie 21

R1GClP2XKVjQd

Kąt

α

jest ostry i

\cos^{2} α - \sin^{2} α = \frac{7}{9}

. Oblicz, a następnie uzupełnij poniższe równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

\cos^{2} α

=

\frac{3}{9}

, 2.

\frac{2}{3}

, 3.

\frac{2 \sqrt{3}}{4}

, 4.

\frac{2 \sqrt{2}}{3}

\frac{1}{3}

, 6.

\frac{5}{9}

, 7.

\frac{8}{9}

, 8.

\frac{1}{9}

\cos α

=

\frac{3}{9}

, 2.

\frac{2}{3}

, 3.

\frac{2 \sqrt{3}}{4}

, 4.

\frac{2 \sqrt{2}}{3}

\frac{1}{3}

, 6.

\frac{5}{9}

, 7.

\frac{8}{9}

, 8.

\frac{1}{9}

\sin^{2} α

=

\frac{3}{9}

, 2.

\frac{2}{3}

, 3.

\frac{2 \sqrt{3}}{4}

, 4.

\frac{2 \sqrt{2}}{3}

\frac{1}{3}

, 6.

\frac{5}{9}

, 7.

\frac{8}{9}

, 8.

\frac{1}{9}

\sin α

=

\frac{3}{9}

, 2.

\frac{2}{3}

, 3.

\frac{2 \sqrt{3}}{4}

, 4.

\frac{2 \sqrt{2}}{3}

\frac{1}{3}

, 6.

\frac{5}{9}

, 7.

\frac{8}{9}

, 8.

\frac{1}{9}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykorzystując tożsamość

\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1

otrzymujemy

\cos^{2} α - (1 - \cos^{2} α) = \frac{7}{9}

2 \cos^{2} α = 1 + \frac{7}{9}

\cos^{2} α = \frac{8}{9}

\sin^{2} α = \frac{1}{9}

Ponieważ $\sin α > 0$ i $\cos α > 0$ , to

\cos α = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}

\sin α = \frac{1}{3}

Ćwiczenie 22

R1UmUi7gd2c1J

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z tożsamości
$\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ otrzymujemy
$\cos^{2} α = 1 - \sin^{2} α$ .
Zatem $5 - 3 \cos^{2} α = 5 - 3 (1 - \sin^{2} α) = 5 - 3 (1 - {(\frac{2}{11})}^{2}) = 5 - 3 \cdot \frac{117}{121} = \frac{254}{121}$ .
Z tożsamości
$\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$
otrzymujemy $\cos^{2} α = 1 - \sin^{2} α$ .
Zatem
$\cos^{2} α = 1 - {(\frac{2}{11})}^{2} = \frac{117}{121}$ .
Ponieważ
$\cos α > 0$ , to $\cos α = \sqrt{\frac{117}{121}} = \frac{3 \sqrt{13}}{11}$ .
Korzystając z podpunktu b), otrzymujemy $tg α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{\frac{2}{11}}{\frac{3 \sqrt{13}}{11}} = \frac{2}{3 \sqrt{13}}$ .
Zatem
$\sqrt{13 {tg}^{2} α + \frac{7}{3}} = \sqrt{13 {(\frac{2}{3 \sqrt{13}})}^{2} + \frac{7}{3}} = \sqrt{13 \cdot \frac{4}{9 \cdot 13} + \frac{7}{3}} =$ $= \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{7}{3}} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}$ .

Ćwiczenie 23

R16qiid9swvAw

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z tożsamości $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ otrzymujemy $\sin^{2} α = 1 - \cos^{2} α$ . Zatem $5 - 12 \sin^{2} α = 5 - 12 (1 - \cos^{2} α) = 5 - 12 (1 - {(\frac{\sqrt{11}}{6})}^{2}) = 5 - 12 \cdot \frac{25}{36} =$ $= - \frac{10}{3}$ .
Z tożsamości $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ otrzymujemy $\sin^{2} α = 1 - \cos^{2} α$ . Zatem $\sin^{2} α = 1 - {(\frac{\sqrt{11}}{6})}^{2} = \frac{25}{36}$ . Ponieważ $\sin α > 0$ , to $\sin α = \sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6}$ .
Korzystając z podpunktu b), otrzymujemy $\sin α = \frac{5}{6}$ . Zatem $4 \sin^{2} α - \sin^{3} α - \sin α \cos^{2} α = 4 \cdot {(\frac{5}{6})}^{2} - {(\frac{5}{6})}^{3} - (\frac{5}{6}) \cdot (\frac{11}{36}) = \frac{35}{18}$ .

Ćwiczenie 24

RYMM86xacJisH

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kąt $α$ jest ostry i $tg α = \frac{5}{2}$ . Obliczymy $\sin α$ i $\cos α$ .
Jeśli $tg α = \frac{5}{2}$ , to $\frac{\sin α}{\cos α} = \frac{5}{2}$ , skąd $\sin α = \frac{5 \cos α}{2}$ .
Ponadto $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ , czyli
${(\frac{5 \cos α}{2})}^{2} + \cos^{2} α = 1$ .
Zatem
$\frac{29 \cos^{2} α}{4} = 1$ , skąd $\cos^{2} α = \frac{4}{29}$ .
Ponieważ
$\sin α > 0$ i $\cos α > 0$ , to
$\cos α = \sqrt{\frac{4}{29}} = \frac{2 \sqrt{29}}{29}$ , $\sin α = \frac{5}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{29}}{29} = \frac{5 \sqrt{29}}{29}$ .
Zauważmy, że $\cos α = \frac{2 \sqrt{29}}{29}$ .
Zauważmy, że $\frac{4 \sin α + \cos α}{7 \cos α - 2 \sin α} = \frac{4 \cdot \frac{5 \sqrt{29}}{29} + \frac{2 \sqrt{29}}{29}}{7 \cdot \frac{2 \sqrt{29}}{29} - 2 \cdot \frac{5 \sqrt{29}}{29}} = \frac{11}{2}$ .

R1PSzcrPY1mVA1

Ćwiczenie 25

$sinα = \frac{2}{7}$ i $cosα = \frac{5}{7}$
$sinα = \frac{2}{7}$ i $tgα = \frac{2 \sqrt{5}}{15}$
$cosα = \frac{3}{5}$ i $tgα = \frac{3}{4}$
$sinαcosα = \frac{2}{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 26

RkjU0fDIwDlW9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekształcamy lewą stronę równości $tg α + \frac{1}{tg α} = \frac{10}{3}$ . Otrzymujemy
$tg α + \frac{1}{tg α} = \frac{\sin α}{\cos α} + \frac{\cos α}{\sin α} = \frac{\sin^{2} α + \cos^{2} α}{\cos α \sin α} = \frac{1}{\cos α \sin α}$ . Zatem $\frac{1}{\cos α \sin α} = \frac{10}{3}$ , czyli $\cos α \sin α = \frac{3}{10}$ .
Zauważmy, że
${(\sin α + \cos α)}^{2} = \sin^{2} α + 2 \sin α \cos α + \cos^{2} α = 2 \sin α \cos α + 1$ , stąd
${(\sin α + \cos α)}^{2} = 2 \cdot \frac{3}{10} + 1 = \frac{8}{5}$ . Ponieważ $\sin α + \cos α > 0$ , ostatecznie otrzymujemy
$\sin α + \cos α = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{10}}{5}$ .
Przekształcamy wyrażenie
${(tg α + \frac{1}{tg α})}^{2} = {tg}^{2} α + 2 \cdot \frac{1}{tg α} tg α + \frac{1}{{tg}^{2} α} = {tg}^{2} α + \frac{1}{{tg}^{2} α} + 2$ . Zatem ${tg}^{2} α + \frac{1}{{tg}^{2} α} = {(tg α + \frac{1}{tg α})}^{2} - 2 = {(\frac{10}{3})}^{2} - 2 = \frac{82}{9}$ .

Ćwiczenie 27

RfiEhZM5zpbLQ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podnosząc równość stronami do kwadratu, otrzymujemy ${(\sin α - \cos α)}^{2} = \frac{49}{169}$ .
Stąd
$\sin^{2} α - 2 \cos α \sin α + \cos^{2} α = \frac{49}{169}$ , więc $1 - 2 \cos α \sin α = \frac{49}{169}$ .
Ostatecznie otrzymujemy
$\cos α \sin α = \frac{60}{169}$ .
Zauważmy, że ${(\sin α + \cos α)}^{2} = 1 + 2 \sin α \cos α = 1 + 2 \cdot \frac{60}{169} = \frac{169 + 120}{169} = \frac{289}{169}$ $\sin α + \cos α = \frac{17}{13}$ .

Ćwiczenie 28

ROoBzbXg2gPGq

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podnosząc równość $\sin α + \cos α = 1, 4$ stronami do kwadratu, otrzymujemy ${(\sin α + \cos α)}^{2} = \frac{49}{25}$ .
Przekształcamy, otrzymując
$\sin^{2} α + 2 \cos α \sin α + \cos^{2} α = \frac{49}{25}$ , więc $1 + 2 \cos α \sin α = \frac{49}{25}$ .
Ostatecznie otrzymujemy
$\cos α \sin α = \frac{12}{25}$ .
Przekształcamy wyrażenie $\sin^{4} α + \cos^{4} α$ , otrzymujemy
$\sin^{4} α + \cos^{4} α = \sin^{4} α + \cos^{4} α + 2 \sin^{2} α \cos^{2} α - 2 \sin^{2} α \cos^{2} α =$ $= {(\sin^{2} α + \cos^{2} α)}^{2} - 2 {(\sin α \cos α)}^{2} = 1 - 2 {(\sin α \cos α)}^{2}$ .
Ponieważ $\sin α \cos α = \frac{12}{25}$ , to
$\sin α^{4} + \cos^{4} α = 1 - 2 {(\sin α \cos α)}^{2} = 1 - 2 \cdot \frac{144}{625} = \frac{337}{625}$ .

Ćwiczenie 29

Uzasadnij, że jeżeli $α$ jest kątem ostrym, to

$2 \sin^{2} α + \cos^{2} α = (1 + {tg}^{2} α) (1 + \sin^{2} α) \cos^{2} α$
$\sin^{4} α + \cos^{4} α = 1 - \frac{2 \sin^{2} α}{1 + {tg}^{2} α}$
$\cos^{8} α - \sin^{8} α = (\cos^{4} α + \sin^{4} α) (\cos^{2} α - \sin^{2} α)$

R1IQCdfKkydxW

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$2 \sin^{2} α + \cos^{2} α = (1 + {tg}^{2} α) (1 + \sin^{2} α) \cos^{2} α$
Wykażemy, że dla każdego kąta ostrego $α$ zachodzi równość
$2 \sin^{2} α + \cos^{2} α = (1 + {tg}^{2} α) (1 + \sin^{2} α) \cos^{2} α$ .
Przekształcamy prawą stronę równości
$(1 + {tg}^{2} α) (1 + \sin^{2} α) \cos^{2} α = (1 + \frac{\sin^{2} α}{\cos^{2} α}) (1 + \sin^{2} α) \cos^{2} α =$
$= \frac{1}{\cos^{2} α} (1 + \sin^{2} α) \cos^{2} α =$
$= 1 + \sin^{2} α =$
$= \sin^{2} α + \cos^{2} α + \sin^{2} α =$
$= 2 \sin^{2} α + \cos^{2} α$ .
$\sin^{4} α + \cos^{4} α = 1 - \frac{2 \sin^{2} α}{1 + {tg}^{2} α}$
Wykażemy, że dla każdego kąta ostrego $α$ zachodzi równość
$\sin^{4} α + \cos^{4} α = 1 - \frac{2 \sin^{2} α}{1 + {tg}^{2} α}$ .
Przekształcamy prawą stronę równości
$1 - \frac{2 \sin^{2} α}{1 + {tg}^{2} α} = 1 - \frac{2 \sin^{2} α}{1 + \frac{\sin^{2} α}{\cos^{2} α}} = 1 - \frac{2 \sin^{2} α}{\frac{\cos^{2} α + \sin^{2} α}{\cos^{2} α}} =$ $= 1 - \frac{2 \sin^{2} α}{\frac{1}{\cos^{2} α}} = 1 - 2 \sin^{2} α \cos^{2} α$ .
Następnie przekształcamy lewą stronę równości
$\sin^{4} α + \cos^{4} α = \sin^{4} α + \cos^{4} α + 2 \sin^{2} α \cos^{2} α - 2 \sin^{2} α \cos^{2} α =$
$= {(\sin^{2} α + \cos^{2} α)}^{2} - 2 \sin^{2} α \cos^{2} α = 1 - 2 \sin^{2} α \cos^{2} α$ .
Zatem dla każdego kąta ostrego $α$ zachodzi równość
$\sin^{4} α + \cos^{4} α = 1 - \frac{2 \sin^{2} α}{1 + {tg}^{2} α}$ .
$\cos^{8} α - \sin^{8} α = (\cos^{4} α + \sin^{4} α) (\cos^{2} α - \sin^{2} α)$
Wykażemy, że dla każdego kąta ostrego $α$ zachodzi równość
$\cos^{8} α - \sin^{8} α = (\cos^{4} α + \sin^{4} α) (\cos^{2} α - \sin^{2} α)$ .
Przekształcamy lewą stronę równości, stosując odpowiedni wzór skróconego mnożenia
$\cos^{8} α - \sin^{8} α = (\cos^{4} α + \sin^{4} α) (\cos^{4} α - \sin^{4} α) =$
$= (\cos^{4} α + \sin^{4} α) (\cos^{2} α - \sin^{2} α) (\cos^{2} α + \sin^{2} α) =$
$= (\cos^{4} α + \sin^{4} α) (\cos^{2} α - \sin^{2} α)$ .

Ćwiczenie 30

Uzasadnij, że jeżeli $α$ jest kątem ostrym, to $\sqrt{\sin^{4} α - 2 \cos^{2} α + 3} + \sqrt{\cos^{4} α - 2 \sin^{2} α + 3} = 3$ .

RKHhAKMRz99YM

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekształcamy lewą stronę równości

\sqrt{\sin^{4} α - 2 \cos^{2} α + 3} + \sqrt{\cos^{4} α - 2 \sin^{2} α + 3} =

= \sqrt{\sin^{4} α + 2 \sin^{2} α + 1} + \sqrt{\cos^{4} α + 2 \cos^{2} α + 1} =

= \sqrt{{(\sin^{2} α + 1)}^{2}} + \sqrt{{(\cos^{2} α + 1)}^{2}} =

= \sin^{2} α + 1 + \cos^{2} α + 1 = 3