sformułujesz i uzasadnisz wnioski na podstawie wykonywanych doświadczeń;

opiszesz prowadzone rozumowania językiem matematyki;

wykorzystasz narzędzia prawdopodobieństwa do wyboru najlepszego rozwiązania w sytuacjach z życia codziennego.

Podczas odsłuchiwania audiobooka zwróćcie uwagę na zawodność naszej intuicji i na to, że przyjęcie nieprzemyślanych założeń może doprowadzić do otrzymania błędnych wyników. Przeprowadzone rozumowanie, ukazane w audiobooku, pomoże wam zrozumieć, jak ważna jest znajomość podstawowych zasad rachunku prawdopodobieństwa.

Odjechać samochodem czy… na kozie – wykorzystanie prawdopodobieństwa klasycznegoPrawdopodobieństwo klasyczneprawdopodobieństwa klasycznegow praktyce

Rozdział 1 
Paradoks Monty’ego Halla

Rozmowa Joli i Michała.

— Witaj, Michale. Dzisiaj chciałabym opowiedzieć ci pewną historię, która być może rozbudzi w tobie zainteresowanie rachunkiem prawdopodobieństwa. Mowa będzie o paradoksie Monty’ego Halla. Nazwa paradoksu pochodzi od nazwiska gospodarza popularnego teleturnieju, emitowanego w latach 1963–1976 w amerykańskiej telewizji. Polska wersja tego programu nazywała się Idź na całość.

— Chętnie posłucham.

— Wyobraź sobie zatem, że bierzesz udział w grze, w której główną nagrodą jest samochód. Stoisz przed trzema zasłoniętymi bramkami – bramką numer 1, bramką numer 2 i bramką numer 3. Za jedną z nich jest samochód. Tylko ja wiem, za którą. Za pozostałymi stoją kozy. Jeśli chcesz wygrać, musisz wskazać bramkę zawierającą samochód.

— Szansa, że wygram, to jeden do trzech.

— Oczywiście. Wskaż więc jedną z bramek.

— Wybieram bramkę numer 1.

— Jesteś pewien?

— Tak, w zupełności.

— Odkrywam jedną z pozostałych bramek – bramkę numer dwa.

— Ale za nią nie ma samochodu. Jest koza.

— No, właśnie. I teraz pytam cię, czy nadal wybierasz bramkę numer 1, czy chcesz zmienić swoją decyzję?

— Trudny wybór, ale moja szansa na wygraną się zwiększyła. Jest teraz równa jeden do dwóch. Pozostaję przy swojej decyzji.

— Odkrywam więc bramkę, którą wybrałeś. Niestety, nie ma za nią samochodu. Jak myślisz, czy zmiana twojej decyzji – czyli gdybyś wskazał inną bramkę – wpłynęłaby na wzrost szansy wygrania przez ciebie samochodu?

— A wy, jak myślicie? Czy moje rozumowanie w czasie gry było poprawne? Czy powinienem był wybrać za drugim razem inną bramkę? A może to tylko pech sprawił, że przegrałem?

Rozdział 2 
Czasem lepiej zmienić podjętą wcześniej decyzję

Jola i Michał omawiają wyniki gry.

— Okazuje się, że w grze, o której rozmawialiśmy, opłaca się zmienić decyzję, czyli za drugim razem wybrać inną bramkę, gdyż w ten sposób szansa na wygraną zwiększa się dwukrotnie.

— To chyba niemożliwe!

— Podane przeze mnie rozwiązanie nie tylko dla ciebie jest zaskoczeniem. Większość osób stykających się z tym problemem uważa, że jest ono błędne i sprzeczne z intuicją. Z powodu tej sprzeczności rozważany problem uznawany jest właśnie za paradoks.

— Nadal nie rozumiem, dlaczego twierdzisz, że powinienem zmienić decyzję.

— Gdy dwie bramki pozostawały zakryte, twierdziłeś, że wygrać możesz z prawdopodobieństwem jedna druga – podobnie zresztą jak przegrać. Jednak prawdopodobieństwo wygranej dla wariantu, gdy gracz zmienia decyzję, jest równe dwie trzecie. Czy wiesz – dlaczego?

— Chyba dlatego, że gospodarz programu wie, w której bramce ukrywa się samochód.

— Masz rację. Na początku gry gracz wybiera jedną z trzech bramek. Z prawdopodobieństwem jedna trzecia wskazuje tę, za którą stoi samochód. A z prawdopodobieństwem dwie trzecie wybiera kozę.

— Jeśli jednak w pierwszym wyborze wskazałbym bramkę, za którą jest samochód, to zmiana decyzji w drugim etapie gry spowodowałaby przegraną.

— Owszem, ale w przypadku, gdy w pierwszym wskazaniu wybierzesz którąkolwiek z bramek, za którą znajduje się koza, prowadzący musi odkryć bramkę, za którą nie ma samochodu. Oznacza to, że nieotwarta i niewybrana w pierwszym etapie bramka kryje samochód i wtedy zmiana decyzji prowadzi do wygranej.

— No, tak. Pierwsza z opisanych przez ciebie sytuacji zdarza się teoretycznie tylko raz na trzy. Druga: dwa razy na trzy.

— Oczywiście. Strategia zmiany decyzji prowadzi do wygranej z prawdopodobieństwem dwie trzecie.

— Można stwierdzić, że najczęściej ludzie intuicyjnie uważają, że zmiana wyboru bramki nie wpłynie na prawdopodobieństwo wygranej, tymczasem zmiana strategii z wytrwać przy wyborze na ulec namowie i zmienić go, w istotny statystycznie sposób wpływa na szansę wygranej.

— Nie zapominajmy, że w jednostkowych przypadkach może być zgoła inaczej. Nie wpływa to jednak na teoretyczny model prawdopodobieństwa wygranej.

Rozdział 3 
Podsumowanie

Jola i Michał podsumowują swoje rozważania i wyciągają wnioski.

— Nasza rozmowa doprowadziła nas do wniosku, że jeśli gracz pozostanie przy pierwotnym wyborze, wygra tylko wtedy, gdy wygrana będzie znajdowała się w bramce, którą wskaże na początku. Prawdopodobieństwo wygranej wynosi jedna trzecia.

— W przypadku, gdy gracz dokona zmiany wyboru, przegra tylko wtedy, gdy wygrana będzie znajdowała się w bramce, która wskazał na początku. Prawdopodobieństwo wygranej wynosi więc dwie trzecie.

— I jest dwukrotnie większe…

— Chcąc jednak przeprowadzić formalny dowód, należy skorzystać z prawdopodobieństwa warunkowegoPrawdopodobieństwo warunkowe prawdopodobieństwa warunkowego.

W przypadku braku możliwości rozwiązania zadania z klawiatury lub trudności z odczytem przez czytnik ekranu skorzystaj
z innej wersji zadania.