RMxamFsooBbrH1
Baner e-materiału: "Odjechać samochodem czy… na kozie – wykorzystanie prawdopodobieństwa klasycznego w praktyce".

Odjechać samochodem czy… na kozie – wykorzystanie prawdopodobieństwa klasycznego w praktyce

Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Wstęp

Wiele problemów z otaczającej nas rzeczywistości rozwiązywanych jest przy wykorzystaniu narzędzi, jakimi posługuje się matematyka. Czasami otrzymujemy nieoczekiwane wyniki, które wydają się sprzeczne z intuicją, a nawet ze zdrowym rozsądkiem. Te pozornie niemożliwe sytuacje, z których wypływają całkowicie wykluczające się wnioski, nazywamy paradoksami.

Rozpatrując takie nietypowe problemy, nie należy kierować się zwyczajowymi założeniami, ale opierać na rzetelnej wiedzy.

Jednym z najbardziej znanych paradoksów jest spostrzeżenie sformułowane przez greckiego filozofa Platona:

„Poszukiwanie wiedzy nie pozwala na jej zdobycie. Jeśli bowiem już coś wiesz, to nie potrzebujesz się tego dowiadywać. Jeśli czegoś nie wiesz, to nie wiesz, czego szukać, więc niczego nie znajdziesz”.

Przykładem zadania matematycznego, którego rozwiązanie wydaje się niemożliwe, jest zagadka zaginionego w trójkącie kwadratu:

Trójkąt prostokątny zbudowany jest z 4 części. Części te rozłożono i ponownie zbudowano z nich trójkąt. Okazało się, że brakuje jednego kwadratu. Jak to jest możliwe?

Ruezu3a94Mqrc1
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
RlykBtf3mfiZW1
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
Nauczysz się

sformułujesz i uzasadnisz wnioski na podstawie wykonywanych doświadczeń;

opiszesz prowadzone rozumowania językiem matematyki;

wykorzystasz narzędzia prawdopodobieństwa do wyboru najlepszego rozwiązania w sytuacjach z życia codziennego.

1

Cele edukacyjne zgodne z etapem kształcenia

  1. wykorzystuje język matematyczny do tworzenia tekstów matematycznych;

  2. wie, jak używać języka matematycznego do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków;

  3. potrafi przedstawiać dane przy użyciu języka matematycznego.

m0f480f0ad5f64f0c_1502093859156_0

ODJECHAĆ SAMOCHODEM CZY NA... KOZIE –
WYKORZYSTANIE PRAWDOPODOBIEŃSTWA KLASYCZNEGO
W PRAKTYCE – audiobook

Rozdziały:

  1. Paradoks Monty’ego Halla

  2. Czasem lepiej zmienić podjętą wcześniej decyzję

  3. Podsumowanie

1
Notatka dla prowadzącego

Przed rozpoczęciem pracy z audiobookiem, możesz skorzystać z przygotowanego scenariusza lekcji, który pokazuje, jak włączyć materiały multimedialne w tok lekcji.

RT4WfNnYZ7RSW

Scenariusz lekcji
Plik PDF o rozmiarze 872.86 KB w języku polskim
Wskazówka

Podczas odsłuchiwania audiobooka zwróćcie uwagę na zawodność naszej intuicji i na to, że przyjęcie nieprzemyślanych założeń może doprowadzić do otrzymania błędnych wyników. Przeprowadzone rozumowanie, ukazane w audiobooku, pomoże wam zrozumieć, jak ważna jest znajomość podstawowych zasad rachunku prawdopodobieństwa.

Rrx64YNFq7pFp1
Na ekranie pokazany jest panel sterowania z aktywnymi klawiszami do odtwarzania zawartości audiobooka. W części górnej części znajdują się trzy klawisze. Pierwszy od lewej „Widok” umożliwia przełączenie między odtwarzaczem dźwiękowym audiobooka oznaczonym jako „Odtwarzacz” na liście wyboru a podglądem treści audiobooka oznaczonym jako „Tekst”. Odtwarzacz dźwiękowy oznaczony jako „Odtwarzacz” przedstawia żółty pasek, na którym podczas odtwarzania pojawia się tekst. Widok „Tekst” prezentuje pełny tekst pojawiający się w nagraniu. Widok „Dynamiczny” stanowi połączenie widoku „Odtwarzacz” i „Tekst". Klawisz środkowy „Książka” umożliwia nawigację po treści audiobooka. Klawisz trzeci od lewej „Więcej” – zawiera informacje o programie. Poniżej oddzielony linią znajduje się panel sterowania odtwarzacza nagrania. Poniżej panelu sterowania znajduje się żółty pasek, na którym w trakcie odtwarzania pokazywany jest tekst nagrania.
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
Zobacz także

Odjechać samochodem czy… na kozie – wykorzystanie prawdopodobieństwa klasycznegoPrawdopodobieństwo klasyczneprawdopodobieństwa klasycznegow praktyce

Rozdział 1 
Paradoks Monty’ego Halla

Rozmowa Joli i Michała.

— Witaj, Michale. Dzisiaj chciałabym opowiedzieć ci pewną historię, która być może rozbudzi w tobie zainteresowanie rachunkiem prawdopodobieństwa. Mowa będzie o paradoksie Monty’ego Halla. Nazwa paradoksu pochodzi od nazwiska gospodarza popularnego teleturnieju, emitowanego w latach 1963–1976 w amerykańskiej telewizji. Polska wersja tego programu nazywała się Idź na całość.

— Chętnie posłucham.

— Wyobraź sobie zatem, że bierzesz udział w grze, w której główną nagrodą jest samochód. Stoisz przed trzema zasłoniętymi bramkami – bramką numer 1, bramką numer 2 i bramką numer 3. Za jedną z nich jest samochód. Tylko ja wiem, za którą. Za pozostałymi stoją kozy. Jeśli chcesz wygrać, musisz wskazać bramkę zawierającą samochód.

— Szansa, że wygram, to jeden do trzech.

— Oczywiście. Wskaż więc jedną z bramek.

— Wybieram bramkę numer 1.

— Jesteś pewien?

— Tak, w zupełności.

— Odkrywam jedną z pozostałych bramek – bramkę numer dwa.

— Ale za nią nie ma samochodu. Jest koza.

— No, właśnie. I teraz pytam cię, czy nadal wybierasz bramkę numer 1, czy chcesz zmienić swoją decyzję?

— Trudny wybór, ale moja szansa na wygraną się zwiększyła. Jest teraz równa jeden do dwóch. Pozostaję przy swojej decyzji.

— Odkrywam więc bramkę, którą wybrałeś. Niestety, nie ma za nią samochodu. Jak myślisz, czy zmiana twojej decyzji – czyli gdybyś wskazał inną bramkę – wpłynęłaby na wzrost szansy wygrania przez ciebie samochodu?

— A wy, jak myślicie? Czy moje rozumowanie w czasie gry było poprawne? Czy powinienem był wybrać za drugim razem inną bramkę? A może to tylko pech sprawił, że przegrałem?

Rozdział 2 
Czasem lepiej zmienić podjętą wcześniej decyzję

Jola i Michał omawiają wyniki gry.

— Okazuje się, że w grze, o której rozmawialiśmy, opłaca się zmienić decyzję, czyli za drugim razem wybrać inną bramkę, gdyż w ten sposób szansa na wygraną zwiększa się dwukrotnie.

— To chyba niemożliwe!

— Podane przeze mnie rozwiązanie nie tylko dla ciebie jest zaskoczeniem. Większość osób stykających się z tym problemem uważa, że jest ono błędne i sprzeczne z intuicją. Z powodu tej sprzeczności rozważany problem uznawany jest właśnie za paradoks.

— Nadal nie rozumiem, dlaczego twierdzisz, że powinienem zmienić decyzję.

— Gdy dwie bramki pozostawały zakryte, twierdziłeś, że wygrać możesz z prawdopodobieństwem jedna druga – podobnie zresztą jak przegrać. Jednak prawdopodobieństwo wygranej dla wariantu, gdy gracz zmienia decyzję, jest równe dwie trzecie. Czy wiesz – dlaczego?

— Chyba dlatego, że gospodarz programu wie, w której bramce ukrywa się samochód.

— Masz rację. Na początku gry gracz wybiera jedną z trzech bramek. Z prawdopodobieństwem jedna trzecia wskazuje tę, za którą stoi samochód. A z prawdopodobieństwem dwie trzecie wybiera kozę.

— Jeśli jednak w pierwszym wyborze wskazałbym bramkę, za którą jest samochód, to zmiana decyzji w drugim etapie gry spowodowałaby przegraną.

— Owszem, ale w przypadku, gdy w pierwszym wskazaniu wybierzesz którąkolwiek z bramek, za którą znajduje się koza, prowadzący musi odkryć bramkę, za którą nie ma samochodu. Oznacza to, że nieotwarta i niewybrana w pierwszym etapie bramka kryje samochód i wtedy zmiana decyzji prowadzi do wygranej.

— No, tak. Pierwsza z opisanych przez ciebie sytuacji zdarza się teoretycznie tylko raz na trzy. Druga: dwa razy na trzy.

— Oczywiście. Strategia zmiany decyzji prowadzi do wygranej z prawdopodobieństwem dwie trzecie.

— Można stwierdzić, że najczęściej ludzie intuicyjnie uważają, że zmiana wyboru bramki nie wpłynie na prawdopodobieństwo wygranej, tymczasem zmiana strategii z wytrwać przy wyborze na ulec namowie i zmienić go, w istotny statystycznie sposób wpływa na szansę wygranej.

— Nie zapominajmy, że w jednostkowych przypadkach może być zgoła inaczej. Nie wpływa to jednak na teoretyczny model prawdopodobieństwa wygranej.

Rozdział 3 
Podsumowanie

Jola i Michał podsumowują swoje rozważania i wyciągają wnioski.

— Nasza rozmowa doprowadziła nas do wniosku, że jeśli gracz pozostanie przy pierwotnym wyborze, wygra tylko wtedy, gdy wygrana będzie znajdowała się w bramce, którą wskaże na początku. Prawdopodobieństwo wygranej wynosi jedna trzecia.

— W przypadku, gdy gracz dokona zmiany wyboru, przegra tylko wtedy, gdy wygrana będzie znajdowała się w bramce, która wskazał na początku. Prawdopodobieństwo wygranej wynosi więc dwie trzecie.

— I jest dwukrotnie większe…

— Chcąc jednak przeprowadzić formalny dowód, należy skorzystać z prawdopodobieństwa warunkowegoPrawdopodobieństwo warunkowe prawdopodobieństwa warunkowego.

Polecenie 1

XVII‑wieczny francuski pisarz, Antoine Gombaud (zwany kawalerem de Mere), sformułował problem zwany dzisiaj paradoksem kawalera de Mere:

Przy rzucie trzema kostkami do gry, sumę oczek równą 11 można uzyskać 6 sposobami:

11 = 6 + 4 + 1

11 = 6 + 3 + 2

11 = 5 + 5 + 1

11 = 5 + 4 + 2

11 = 5 + 3 + 3

11 = 4 + 4 + 3

Podobnie sumę oczek równą 12:

12 = 6 + 5 + 1

12 = 6 + 4 + 2

12 = 6 + 3 + 3

12 = 5 + 5 + 2

12 = 5 + 4 + 3

12 = 4 + 4 + 4

Wszystkich możliwości jest:

Re4s9c6xDVqZv1
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Zatem wydaje się, że szanse są równe, gdyż oba zdarzenia mają prawdopodobieństwa równe

R2y7tnGPllAMt1
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

A jednak okazuje się, że szansa wypadnięcia sumy oczek równej 11 jest większa od szansy wypadnięcia sumy oczek równej 12. Dlaczego?

Polecenie 2

Dobierzcie się w pary i przygotujcie 3 kartoniki. Na jednym narysujcie samochód, na dwóch kozy. Zagrajcie 10 razy w grę przedstawioną w audiobooku.

RzJ6C561faOKk1
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
R14DjyVeDdGgk1
Załącznik stanowi plik w formacie PDF potrzebny do wykonania ćwiczenia. Dokument zawiera jedną stronę, na której znajduje się polecenie oraz czarno‑białe obrazki. Na górze załącznika znajduje się polecenie o następującej treści: „Dobierzcie się w pary i wybierzcie 3 kartoniki: 2 z obrazami kozy oraz jeden z obrazem samochodu. Zagrajcie 10 razy w grę przedstawioną w audiobooku. Zamieniajcie się rolami. Raz bądźcie graczem, a innym razem prowadzącym teleturniej. Zanotujcie wyniki”. Pod poleceniem znajduje się linia przerywana sugerująca miejsce rozcięcia kartki papieru. Poniżej znajdują się trzy rzędy czarno‑białych obrazków. Każdy rząd składa się z czterech obrazków. W pierwszym i drugim rzędzie znajdują się identyczne obrazki z kozą. Trzeci rząd identycznych obrazków przedstawia zarys samochodu widzianego od przodu.
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Zmieniajcie się rolami (gracza i prowadzącego teleturniej). Notujcie wyniki. Zbierzcie wyniki otrzymane przez wszystkie pary i przeanalizujcie je wspólnie. Czy potwierdza się twierdzenie mówiące o tym, że warto zmieniać początkowo wybraną bramkę? Uzasadnijcie swoją wypowiedź.

Polecenie 3

Przeanalizujcie w grupach następujący problem:

Bierzecie udział w grze, w której można wygrać wycieczkę dookoła świata. Przed wami 100 pudełek. W jednym z nich ukryty jest kupon na tę wycieczkę. Wybieracie jedno pudełko (na przykład numer 10), a prowadzący grę otwiera pozostałych 98 pudełek, pozostawiając nieotwartymi pudełko wybrane przez was i jeszcze jedno (na przykład numer 20). W żadnym z otwartych pudełek nie ma kuponu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nagroda znajduje się w wybranym przez was pudełku? A w pudełku numer 20? Jeśli zmienicie swój wybór, wskazując pudełko numer 20, jakie będzie teraz prawdopodobieństwo wygranej? Jak myślicie – dlaczego prowadzący odsłonił 98 bramek, a nie jedną (jak w grze omawianej w audiobooku)?

m0f480f0ad5f64f0c_1502093867461_0

Podsumowanie

Najczęściej w grach losowych intuicyjnie zakładamy, że wszystkie możliwości są jednakowo prawdopodobne. Jednak nie zawsze tak jest. Przystępując do gry, warto więc dokładnie zapoznać się z jej regulaminem.

Analiza gier losowych podejmowana przez XVII‑wiecznych matematyków doprowadziła do rozwoju rachunku prawdopodobieństwa. Teoria prawdopodobieństwa początkowo wykorzystywała metody kombinatoryczne do badania tylko zjawisk dyskretnych.

Rachunek prawdopodobieństwa, z którym stykamy się w szkole, zajmuje się badaniem zmiennych losowych – w przypadku pojedynczych zdarzeń – oraz procesów stochastycznych – w przypadku zdarzeń powtarzających się w czasie.

Do obliczania prawdopodobieństw wykorzystujemy najczęściej klasyczną definicję.

W sytuacjach, gdy zdarzenia następują kolejno jedno po drugim, a zdarzenia przeszłe determinują wyniki zdarzeń przyszłych, stosujemy prawdopodobieństwa warunkowePrawdopodobieństwo warunkowe prawdopodobieństwa warunkowe.

RzZxOKmLaCYN81
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
Praca domowa
Polecenie 4.1

Zadanie 1.

Znajdź w Internecie przykłady paradoksów rachunku prawdopodobieństwa. Przygotuj na temat jednego z nich informację, którą zaprezentujesz w klasie. Postaraj się, aby forma prezentacji była atrakcyjna.

Zadanie 2.

Poproście o rozwiązanie Zadania o trzech rycerzach 10 uczniów z waszej szkoły. Możecie pracować w grupach 2–3 osobowych. Zaprezentujcie wyniki w klasie. Porównajcie z wynikami uzyskanymi przez innych uczniów. Wykonajcie diagram wszystkich tak uzyskanych wyników. Co zauważacie? Jaki jest poprawny wynik zadania? Czy zadanie to można nazwać paradoksem?

Zadanie o trzech rycerzach

Trzech rycerzy A, B, C starało się o rękę księżniczki Brygidy. Król postanowił, że wyda Brygidę za jednego z nich, ale nie powiedział za którego.

Rycerz A ma wśród zaufanej służby króla znajomego, który jest doskonale poinformowany o decyzji władcy i zna imię wybranego rycerza. Chce go zapytać, ale krępuje się pytać o siebie. Pyta więc o imię jednego z pozostałych rycerzy (B lub C), który nie dostanie księżniczki za żonę.

Przed zadaniem pytania ocenia, że każdy z nich ma szansę zostać zięciem króla równą 1/3. Myśli, że jeśli służący powie, że na przykład B nie otrzyma ręki księżniczki, to jego szanse rosną do 1/2. Gdzie popełnia błąd?

R6Gx50Rr97xzm1
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
RzmaLcUKvD6zc1
Załącznik stanowi plik w formacie PDF potrzebny do wykonania ćwiczenia. Ilustracja stanowi podgląd załącznika do pracy domowej. Na górze strony znajduje się napis „praca domowa”, a poniżej wstęp do polecenia o treści: „Przeczytaj zadanie o trzech rycerzach i zaznacz poprawną odpowiedź”. Pod spodem znajduje się treść zadania o trzech rycerzach o następującym brzmieniu: „Zadanie o trzech rycerzach. Trzech rycerzy A, B, C starało się o rękę księżniczki Brygidy. Król postanowił, że wyda Brygidę za jednego z nich, ale nie powiedział za którego. Rycerz A ma wśród zaufanej służby króla znajomego, który jest doskonale poinformowany o decyzji władcy i zna imię wybranego rycerza. Chce go zapytać, ale krępuje się pytać o siebie. Pyta więc o imię jednego z pozostałych rycerzy (B lub C), który nie dostanie księżniczki za żonę. Przed zadaniem pytania ocenia, że każdy z nich ma szansę zostać zięciem króla równą 1/3. Myśli, że jeśli służący powie, że na przykład B nie otrzyma ręki księżniczki, to jego szanse rosną do 1/2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że rycerz A otrzyma rękę księżniczki? Zaznacz poprawną odpowiedź”. Pod treścią zadania znajdują się trzy pola do wyboru odpowiedzi. Pola wyboru odpowiedzi mają kształt kwadratów. Każdemu kwadratowi, czyli polu wyboru, jest przypisany okrąg, w którym znajdują liczby wyrażające prawdopodobieństwo. Okrąg po lewej zawiera odpowiedź 1/2, środkowy 2/3, a po prawej 1/3.
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
R10BnJU6nRX1m1
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
R1ThPcs7rMAy01
Załącznik stanowi plik w formacie PDF potrzebny do wykonania zadań dodatkowych. Na górze załączonego pliku znajduje się nagłówek „praca domowa – zadanie dodatkowe”, a poniżej tekst o treści „Zadania dla chętnych:”. Następnie znajduje się tytuł zadania „Paradoks Condorceta”, a poniżej polecenie o następującej treści „Mamy 3 kandydatów do wyborów. W tabeli przedstawiono preferencje wyborcy 1, wyborcy 2 i wyborcy 3. Najbardziej popierany jest kandydat 1, a najmniej kandydat 3”. Poniżej znajduje się tabela zawierająca wymienione informacje o kandydatach i wyborcach. Pod tabelą znajduje się zakończenie polecenia o treści „Przeanalizuj tabelkę i odpowiedz: Jakie jest prawdopodobieństwo, że wygra kandydat A, B i C?”. W dolnej części ilustracji znajduje się polecenie zadania drugiego dla chętnych. Zadanie nosi tytuł „Paradoks dnia urodzin”. Treść zadania drugiego brzmi „Jak liczna powinna być grupa osób, aby prawdopodobieństwo tego, że co najmniej dwie osoby urodziły się tego samego dnia, było większe niż 1/2?”
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
m0f480f0ad5f64f0c_1503905579466_0

Zadania

Wskazówka

W przypadku braku możliwości rozwiązania zadania z klawiatury lub trudności z odczytem przez czytnik ekranu skorzystaj
z innej wersji zadania.

classicmobile
Ćwiczenie 1
RtlCi2cmQJgT51
Na ekranie wyświetla się w ramce Zadanie 1. zatytułowane „Dwukrotny rzut monetą – klasyczna definicja prawdopodobieństwa w praktyce”. Pod tytułem znajduje się zdanie „Rzucamy dwa razy monetą”. Poniżej podane są cztery zdania dotyczące prawdopodobieństwa. Pod każdym z nich znajduje się rozwijane pole wyboru odpowiedzi. W prawym dolnym rogu zadania umieszczony jest klawisz „Sprawdź” służący sprawdzeniu poprawności wykonania zadania.
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
static
Inna wersja zadania
RIRK0uwBl8eWW1
Ćwiczenie 2
Na ekranie wyświetla się w ramce Inna wersja zadania zatytułowanego „Dwukrotny rzut monetą – klasyczna definicja prawdopodobieństwa w praktyce”. Poniżej znajduje się polecenie o treści: „Rzucamy dwa razy monetą”. Pod poleceniem znajdują się cztery pytania. Należy na nie odpowiedzieć, używając rozwijanej listy, znajdującej się pod każdym ze zdań. W prawym dolnym rogu znajdują się klawisze „Zapisz odpowiedź” i „Sprawdź” umożliwiające sprawdzenie poprawności rozwiązania odpowiedzi.
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 3
R84cqLJrJ2NNH1
Na ekranie wyświetla się w ramce Zadanie 2. zatytułowane „Rzut kostkami”. Poniżej znajduje się polecenie o treści: „Rzucamy dwiema kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania”, a następnie pięć zdań dotyczących prawdopodobieństwa wylosowania określonej liczby oczek. Pod każdym zdaniem znajduje się rozwijane pole wyboru odpowiedzi. W prawym dolnym rogu zadania umieszczony jest klawisz „Sprawdź” służący sprawdzeniu poprawności wykonania zadania.
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
static
Inna wersja zadania
Rf8ZBZbjICMaS1
Ćwiczenie 4
Na ekranie wyświetla się w ramce Inna wersja zadania zatytułowanego „Rzut kostkami”. Poniżej znajduje się polecenie o treści: „Rzucamy dwiema kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania”. Pod poleceniem znajduje się pięć pytań. Należy na nie odpowiedzieć, używając rozwijanej listy, znajdującej się pod każdym ze zdań. W prawym dolnym rogu znajdują się klawisze „Zapisz odpowiedź” i „Sprawdź” umożliwiające sprawdzenie poprawności rozwiązania odpowiedzi.
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 5
R13SC0Txf2IHq1
Na ekranie wyświetla się w ramce Zadanie 3. zatytułowane „Co jest bardziej prawdopodobne?”. Poniżej znajduje się polecenie, które brzmi: „Oceń prawdziwość podanych informacji”. Poniżej w pięciu zdaniach umieszczono informacje dotyczące określenia prawdopodobieństw, które należy określić Opcje wyboru „Prawda” i „Fałsz” znajdują się po prawej stronie każdego zdania. W prawym dolnym rogu zadania umieszczony jest klawisz „Sprawdź” służący sprawdzeniu poprawności wykonania zadania.
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
static
Inna wersja zadania
R18aggqV03oP81
Ćwiczenie 6
Na ekranie wyświetla się w ramce Inna wersja zadania zatytułowanego „Co jest bardziej prawdopodobne?”. Poniżej znajduje się polecenie o treści: „Oceń prawdziwość podanych informacji.”. Pod poleceniem znajduje się pięć zdań. Należy określić czy są prawdziwe, czy są fałszywe, używając rozwijanej listy, znajdującej się pod każdym ze zdań. W prawym dolnym rogu znajdują się klawisze „Zapisz odpowiedź” i „Sprawdź” umożliwiające sprawdzenie poprawności rozwiązania odpowiedzi.
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
m0f480f0ad5f64f0c_1502358147126_0

Słowniczek

Prawdopodobieństwo klasyczne
Prawdopodobieństwo klasyczne

Niech Ω będzie niepustym, skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jadnakowo prawdopodobnych.

Prawdopodobieństwem zdarzenia AΩ nazywamy liczbę

P(A)=A¯¯Ω¯¯

gdzie:

A¯¯ - liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdrzeniu A

Ω¯¯ - liczba wszystkich zdarzeń elementarnych.

Prawdopodobieństwo warunkowe
Prawdopodobieństwo warunkowe

Niech AΩ, BΩP(B)>0.

Prawdopodobieństwem P(A/B) zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B, nazywamy liczbę P(A/B)=P(AB)P(B)

m0f480f0ad5f64f0c_1522759004116_0

Powrót do e‑podręcznika

E‑podręcznik „Odkryj, zrozum, zastosuj...”

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/247160/v/latest/t/student-canon

4.1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Własności prawdopodobieństwa. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń losowych:

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/247160/v/latest/t/student-canon/m/iz3aPJUGz3

RsAjQ5hA0OaLv1
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.