Okrąg wpisany w trójkąt

Analizując przykłady zawarte w tym materiale:

poznasz definicję okręgu wpisanego w wielokąt,
skonstruujesz okrąg wpisany w trójkąt,
znajdziesz środek okręgu wpisanego w trójkąt,
wykorzystasz własności trójkąta opisanego na okręgu w zadaniach geometrycznych.

Rozwiązując ćwiczenia – sprawdzisz ukształtowane umiejętności.

Okrąg wpisany w wielokąt

Zapoznaj się z filmem, w którym dowiesz się, gdzie leży punkt znajdujący się w tej samej odległości od każdego boku trójkąta.

R1G3gwOOCA40D1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Jak położone są boki wielokątów i okręgów na kolejnych rysunkach? Ile mają punktów wspólnych?

R1XngcsiiOue41

Rysunki czterech wielokątów i okręgów znajdujących się wewnątrz wielokątów. Na pierwszym rysunku pięciokąt i okrąg nie mają punktów wspólnych. Na drugim rysunku pięciokąt i okrąg mają 4 punkty wspólne. Na trzecim siedmiokąt i okrąg mają 4 punkty wspólne. Na czwartym rysunku sześciokąt i okrąg mają 6 punktów wspólnych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że jeżeli okrąg jest zawarty w wielokącie, to okrąg nie ma punktów wspólnych z bokami wielokąta lub niektóre z boków wielokąta mogą być styczne do okręgu.

Przykład 2

Co można powiedzieć o wzajemnym położeniu boków wielokątów i okręgów?
Jak nazywamy punkt wspólny prostej i okręgu?

R1EQJPKg6a6pV1

Rysunki kwadratu, sześciokąta foremnego i trójkąta równobocznego. W wielokąty wpisane są okręgi. Kwadrat ma 4 punkty wspólne z okręgiem. Sześciokąt ma 6 punktów wspólnych z okręgiem. Trójkąt ma 3 punkty wspólne z okręgiem. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Okrąg wpisany w wielokąt

Definicja: Okrąg wpisany w wielokąt

Jeśli każdy z boków wielokąta jest styczny do okręgu, to ten wielokąt nazywamy opisanym na okręgu. Okrąg nazywamy wtedy wpisanym w wielokąt.

Odległość środka okręgu

Własność: Odległość środka okręgu

Odległość środka okręgu wpisanego w wielokąt od każdego z boków tego wielokąta jest równa promieniowi tego okręgu.

Przykład 3

Skonstruujemy okrąg wpisany w dany kąt $A S B$ .

Opis konstrukcji:

Konstruujemy dwusieczną kąta $A S B$ .
Na dwusiecznej zaznaczamy dowolny punkt, który oznaczamy $W$ .
Przez punkt $W$ prowadzimy prostopadłe do ramion kąta.
Punkt przecięcia jednej z tych prostych z ramieniem $S B$ oznaczamy $W_{1}$ , a punkt przecięcia drugiej prostopadłej z ramieniem $S A$ oznaczamy $W_{2}$ .
Odcinek $W W_{1}$ jest promieniem szukanego okręgu.
Z punktu $W$ kreślimy okrąg o promieniu $W W_{1}$ . Otrzymany okrąg jest styczny w punktach $W_{1}$ i $W_{2}$ do obu ramion kąta, jest więc szukanym okręgiem.

Poniższy film pokazuje kolejne kroki konstrukcji.

R1aTt3plFNtSf1

Zapoznaj się z poniższym apletem.

Zapoznaj się z opisem poniższego apletu.

R8w3bjDHRAAda11

Konstrukcja okręgu wpisanego w trójkąt

R16lev0FHUvfv1

Środek okręgu jest w punkcie przecięcia dwóch dwusiecznych kątów. Można skonstruować trzecią dwusieczną, która przetnie się z pozostałymi w tym samym punkcie.

Przykład 4

Konstruujemy okrąg wpisany w dany trójkąt $A B C$ .

Opis konstrukcji

Konstruujemy dwusieczne kątów $A B C$ i $C A B$ trójkąta.
Oznaczamy $O$ – punkt przecięcia dwusiecznych.
Przez punkt $O$ prowadzimy prostopadłą do boku $A B$ trójkąta.
Oznaczamy $D$ – punkt przecięcia prostopadłej z bokiem $A B$ .
Z punktu $O$ kreślimy okrąg o promieniu $D O$ .
Narysowany okrąg jest styczny do każdego z ramion trójkąta, jest więc szukanym okręgiem.
RPa6LH7k2bmXg1
Animacja przedstawia w sześciu krokach konstrukcję okręgu wpisanego w trójkąt. Dany jest trójkąt A B C. Skonstruujemy okrąg wpisany w trójkąt, czyli styczny do boków tego trójkąta. Konstruujemy dwusieczne kątów A B C i C A B. Niech O będzie punktem przecięcia dwusiecznych. Przez punkt O prowadzimy prostą prostopadłą do boku AB trójkąta. Niech D będzie punktem przecięcia tej prostej z bokiem AB. Z punktu O kreślimy okrąg o promieniu DO. Narysowany okrąg jest styczny do każdego z ramion trójkąta, jest więc szukanym okręgiem.
Animacja przedstawia w sześciu krokach konstrukcję okręgu wpisanego w trójkąt. Dany jest trójkąt A B C. Skonstruujemy okrąg wpisany w trójkąt, czyli styczny do boków tego trójkąta. Konstruujemy dwusieczne kątów A B C i C A B. Niech O będzie punktem przecięcia dwusiecznych. Przez punkt O prowadzimy prostą prostopadłą do boku AB trójkąta. Niech D będzie punktem przecięcia tej prostej z bokiem AB. Z punktu O kreślimy okrąg o promieniu DO. Narysowany okrąg jest styczny do każdego z ramion trójkąta, jest więc szukanym okręgiem.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PqcPxuJAB

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Środek okręgu wpisanego w trójkąt

Punkt przecięcia dwusiecznych kąta

Twierdzenie: Punkt przecięcia dwusiecznych kąta

Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie.

R66K0HjIZXokz1

Rysunek trójkąta ostrokątnego. Poprowadzone dwusieczne przecinają się w jednym punkcie. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

W każdy trójkąt można wpisać okrąg.

Środek tego okręgu leży na przecięciu dwusiecznych kątów tego trójkąta.

RMvonQjetvjrO1

Rysunek trójkąta ostrokątnego i okręgu wpisanego w ten trójkąt. Środek tego okręgu leży w przecięciu dwusiecznych kątów tego trójkąta. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 1

Wpisz okrąg w kąt, tak aby był styczny do jednego z ramion w punkcie $R$ .

RpYWzqikBVYOL1

Rysunek kąta. Na jednym z ramion kąta zaznaczony punkt. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R7EZcPyCihaBj

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zacznij od skonstruowania prostopadłej do ramienia kąta, przechodzącej przez punkt $R$ .

Następnie na drugim ramieniu kąta zaznacz taki punkt, aby odległość tego punktu od wierzchołka kąta była równa odległości punktu $R$ od wierzchołka kąta. Skonstruuj prostopadłą od ramienia kąta, przechodząca przez wyznaczony punkt.

Punkt przecięcia narysowanych prostopadłych, będzie wyznaczał środek okręgu wpisanego w ten kąt.

RkCrOuI1o9cyp

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Narysuj dowolny kąt o mierze $40 °$ i wpisz w niego okrąg.

Rr6K50FfSMTes

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz konstrukcję okręgu wpisanego w dowolny kąt o mierze $40 °$ .

R6Yer9gBpNxZw

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

RykVnGikKvBIH1

Rysunek kąta o mierze 40 stopni i okręgu wpisanego w ten kąt. Rozwiązanie zadania. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opis konstrukcji

Wyznaczamy dowolny kąt o mierze $40 °$ .
Konstruujemy dwusieczną kąta o mierze $40 °$ .
Na dwusiecznej zaznaczamy dowolny punkt, który oznaczamy $W$ .
Przez punkt $W$ prowadzimy prostopadłe do ramion kąta.
Punkt przecięcia jednej z tych prostych z ramieniem oznaczamy $W_{1}$ , a punkt przecięcia drugiej prostopadłej z ramieniem oznaczamy $W_{2}$ .
Odcinek $W W_{1}$ jest promieniem szukanego okręgu.
Z punktu $W$ kreślimy okrąg o promieniu $W W_{1}$ . Otrzymany okrąg jest styczny w punktach $W_{1}$ i $W_{2}$ do obu ramion kąta, jest więc szukanym okręgiem.

Ćwiczenie 3

Znajdź środek okręgu wpisanego w trójkąt ostrokątny, prostokątny i rozwartokątny.

R11TpK3xXt9ZH

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RxwkYAgnjyT8E

Ćwiczenie 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Skonstruuj kąt $α$ i wpisz w ten kąt okrąg, jeśli

$α = 60 °$ ,
$α = 45 °$ ,
$α = 30 °$ ,
$α = 105 °$ .

R169qXE10fsTT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz konstrukcję okręgu wpisanego w kąt $α$ , gdy

$α = 60 °$ ,
$α = 45 °$ ,
$α = 30 °$ ,
$α = 105 °$ .

R10YcliUEjC2A

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R121BsTrY2o2q

Okręgi wpisane w następujące kąty: 60, 45, 30 i 105 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opis konstrukcji będzie analogiczny dla każdego podpunktu, dlatego poniższa odpowiedź będzie dla $α = 60 °$ .

Wyznaczamy dowolny kąt o mierze $60 °$ .
Konstruujemy dwusieczną kąta o mierze $60 °$ .
Na dwusiecznej zaznaczamy dowolny punkt, który oznaczamy $W$ .
Przez punkt $W$ prowadzimy prostopadłe do ramion kąta.
Punkt przecięcia jednej z tych prostych z ramieniem oznaczamy $W_{1}$ , a punkt przecięcia drugiej prostopadłej z ramieniem oznaczamy $W_{2}$ .
Odcinek $W W_{1}$ jest promieniem szukanego okręgu.
Z punktu $W$ kreślimy okrąg o promieniu $W W_{1}$ . Otrzymany okrąg jest styczny w punktach $W_{1}$ i $W_{2}$ do obu ramion kąta, jest więc szukanym okręgiem.

R1QfkEU5oYjzV2

Ćwiczenie 5

wysokości tego trójkąta
dwusiecznych kątów tego trójkąta
symetralnych boków tego trójkąta

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R3kH8Y3QMg7rf2

Ćwiczenie 6

opisany na okręgu
wpisany w okrąg
równoboczny

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RswxFIDPRzSX72

Ćwiczenie 7

we wnętrzu tego trójkąta
na zewnątrz trójkąta
na jednym z boków trójkąta

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

Skonstruuj okrąg wpisany w trójkąt

prostokątny,
równoboczny,
równoramienny,
rozwartokątny.

R4pDAXTKVdhof

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz konstrukcję okręgu wpisanego w trójkąt

prostokątny,
równoboczny,
równoramienny,
rozwartokątny.

RAWp9AwlgrSNj

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Narysuj dany trójkąt, a następnie dwusieczne dwóch kątów tego trójkąta. Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży na przecięciu dwusiecznych kątów tego trójkąta.

Wykorzystaj konstrukcję okręgu wpisanego w trójkąt z przykładu $4$ .

R1N4hz2DRWs0c

Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny, równoboczny, równoramienny i rozwartokątny. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opis konstrukcji będzie analogiczny dla każdego podpunktu, dlatego poniższa odpowiedź będzie dla trójkąta prostokątnego $A B C$ .

Konstruujemy dwusieczne dowolnych dwóch kątów, np. $∠ A B C$ i $∠ B C A$ .
Oznaczamy punkt przecięcia dwusiecznych jako $O$ .
Prowadzimy prostą prostopadłą do dowolnego boku, np. do boku $A B$ przechodzącą przez punkt $O$ .
Oznaczamy punkt przecięcia prostopadłej z bokiem $A B$ jako $D$ .
Z punktu $O$ kreślimy okrąg o promieniu $D O$ .
Narysowany okrąg jest styczny do każdego z ramion trójkąta, jest więc szukanym okręgiem.

Ćwiczenie 9

Narysuj trójkąt, w którym miary kątów wynoszą: $30 °$ , $120 °$ , $30 °$ . Skonstruuj okrąg wpisany w ten trójkąt.

R1FhIQAfTO8ap

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Opisz konstrukcję okręgu wpisanego w trójkąt, w którym miary kątów wynoszą: $30 °$ , $120 °$ , $30 °$ .

R4sn7vODxd4eO

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Rxu9AUqr6EFhe

Okrąg wpisany w trójkąt rozwartokątny o kątach 30, 30 i 120 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Konstruujemy okrąg wpisany w dany trójkąt $A B C$ .

Opis konstrukcji

Konstruujemy trójkąt $A B C$ o mierze kątów przy wierzchołku $A$ i $B$ – $30 °$ oraz przy wierzchołku $C$ – $120 °$ .
Konstruujemy dwusieczne kątów $A B C$ i $A C B$ trójkąta.
Oznaczamy $O$ – punkt przecięcia dwusiecznych.
Dwusieczna kąta $A C B$ jest prostopadła do boku $A B$ trójkąta, ponieważ pokrywa się wysokością trójkąta opuszczoną na bok $A B$ .
Oznaczamy $D$ – spodek wysokości opuszczonej na bok $A B$ .
Z punktu $O$ kreślimy okrąg o promieniu $D O$ .
Narysowany okrąg jest styczny do każdego z ramion trójkąta, jest więc szukanym okręgiem.

Ćwiczenie 10

W trójkąt prostokątny wpisz okrąg i na trójkącie prostokątnym opisz okrąg.

Odpowiedz, gdzie w każdym przypadku leży środek tego okręgu?

Promień którego z okręgów jest większy?

R1SF5Jkw7FgLY

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

W trójkąt prostokątny wpisano okrąg i na trójkącie prostokątnym opisano okrąg. Odpowiedz, gdzie w każdym przypadku leży środek tego okręgu?
Promień którego z okręgów jest większy?

RoaJUBM2skaTq

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R6cPGxIgUwbzb2

Ćwiczenie 11

W trójkąt rozwartokątny można wpisać okrąg.
Środek okręgu wpisanego w trójkąt jest zarazem środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.
Wysokość w trójkącie równobocznym jest sumą długości promienia okręgu wpisanego oraz promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

W trójkąt równoboczny $A B C$ wpisano okrąg. Punkty styczności okręgu z bokami tego trójkąta oznaczono $D$ , $E$ , $F$ tak jak na rysunku.

RTZCw9yxWTetT1

Rysunek trójkąta A B C z wpisanym w niego okręgiem. Punkty przecięcia okręgu i trójkąta to D, E i F. Punkt D znajduje się na ramieniu AC trójkąta, punkt E znajduje się na ramieniu BC trójkąta, punkt F znajduje się na ramieniu AB trójkąta. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykaż, że

|A F| = |F B| = |B E| = |E C| = |C D| = |D A|

RdnEzAeNZJxsU

Niech $S$ oznacza środek okręgu wpisanego w trójkąt $A B C$ . Odcinek $A S$ leży na dwusiecznej kąta $D A F$ . Trójkąty $A S F$ i $A S D$ są prostokątne, mają wspólną przeciwprostokątną $A S$ , boki $D S$ i $F S$ są jednakowej długości, trójkąty te mają ponadto kąty odpowiednio równe. Zatem boki $A D$ i $A F$ też są równej długości. Ponieważ trójkąt jest równoboczny, to odcinki $A F$ i $F B$ są równej długości. Trójkąty utworzone przez dwusieczne i boki trójkąta są przystające, więc aby udowodnić pozostałe równości, postępujemy analogicznie.

Ćwiczenie 13

R1GMSh14BqXye

Rysunek przedstawia trójkąt ostrokątny A B C. Miara kąta C B A wynosi 50 stopni, miara kąta A B C wynosi 70 stopni, a miara kąta B C A wynosi 60 stopni. W trójkącie poprowadzono dwusieczne wszystkich kątów, które przecinają się w punkcie S. Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Okrąg jest styczny do boków trójkąta w trzech punktach: w punkcie F, który znajduje się na boku A C, w punkcie E, który znajduje się na boku B C oraz w punkcie D, który znajduje się na boku A B. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Pp9AEoHOff4

W trójkąt

A B C

o kątach

50 °

70 °

60 °

wpisano okrąg. Punkty

D

E

F

są punktami styczności tego okręgu z ramionami trójkąta. Oblicz miary kątów. Uzupełnij luki, wpisując odpowiednie liczby w kolejności malejącej . Miary kątów, jakie tworzą między sobą promienie tego okręgu poprowadzone ze środka okręgu do punktów

D

E

F

wynoszą: Tu uzupełnij

°

, Tu uzupełnij

°

, Tu uzupełnij

°

.Miary kątów w trójkącie

D E F

wynoszą: Tu uzupełnij

°

, Tu uzupełnij

°

, Tu uzupełnij

°

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

RLoEp3cZmMNbl2

$60 °$
$100 °$
$70 °$
$90 °$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Ey5Wtve252U

W trójkąt <span aria‑label="A B C">ABC wpisano okrąg o środku w punkcie <span aria‑label="O">O. Okrąg ten jest styczny do boków trójkąta w punktach odpowiednio <span aria‑label="D">D, <span aria‑label="E">E, <span aria‑label="F">F. Miara kąta <span aria‑label="D O E">DOE jest równa <span aria‑label="sto trzydzieści stopni">130°, a miara kąta <span aria‑label="D O F">DOF jest równa <span aria‑label="sto dwadzieścia stopni">120°. Ile wynosi miara kąta <span aria‑label="A C B">ACB? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. <span aria‑label="sześćdziesiąt stopni">60°, 2. <span aria‑label="sto stopni"> 100 ° , 3. <span aria‑label="siedemdziesiąt stopni"> 70 ° , 4. <span aria‑label="dziewięćdziesiąt stopni"> 90 ° — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że kąty $A C B$ oraz $E C F$ to tak na prawdę te same kąty.

RiWCCqVFJaJKL2

Ćwiczenie 15

$5 cm$
$10 cm$
$4 cm$
$15 cm$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1REBx5O9OJpG2

Ćwiczenie 16

co najmniej jeden kąt prosty
dokładnie jeden kąt prosty
wszystkie boki równe
jeden kąt rozwarty

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RYYo6aYYoTzd32

Ćwiczenie 17

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

RzXhm0ikTSaNQ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy $r$ – promień okręgu wpisanego w dany trójkąt. Przyprostokątne tego trójkąta mają długości $5 dm$ i $12 dm$ , a przeciwprostokątna ma długość $13 dm$ . Punkty styczności wyznaczają na przyprostokątnych odcinki długości odpowiednio $r$ , $5 - r$ i $r$ , $12 - r$ . Zatem na przeciwprostokątnej punkt styczności wyznacza odcinki długości $5 - r$ i $12 - r$ . Zatem

5 - r + 12 - r = 13

17 - 13 = 2 r

r = 2

Promień okręgu wpisanego ma długość $2 dm$ .

Ćwiczenie 19

RR1PcuAavIRY13

Trójkąt równoboczny

A B C

opisany jest na okręgu o promieniu

6 cm

i środku w punkcie

O

. Punkty

E

F

G

są punktami styczności okręgu i trójkąta. Punkt

E

leży na boku

A C

, punkt

G

na boku

A B

.
Uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. Miary kątów czworokąta

E A G O

to 1.

15 cm

, 2.

30 °

80 °

70 °

, 3.

50 °

40 °

60 °

210 °

, 4.

60 °

90 °

120 °

90 °

, 5.

40 °

50 °

90 °

, 6.

9 cm

, 7.

11 cm

, 8.

10 cm

, 9.

12 cm

, 10.

50 °

45 °

65 °

200 °

, 11.

40 °

110 °

140 °

70 °

, 12.

30 °

60 °

90 °

, 13.

30 °

60 °

30 °

240 °

, 14.

50 °

100 °

130 °

80 °

.Miary kątów trójkąta

B O F

to 1.

15 cm

, 2.

30 °

80 °

70 °

, 3.

50 °

40 °

60 °

210 °

, 4.

60 °

90 °

120 °

90 °

, 5.

40 °

50 °

90 °

, 6.

9 cm

, 7.

11 cm

, 8.

10 cm

, 9.

12 cm

, 10.

50 °

45 °

65 °

200 °

, 11.

40 °

110 °

140 °

70 °

, 12.

30 °

60 °

90 °

, 13.

30 °

60 °

30 °

240 °

, 14.

50 °

100 °

130 °

80 °

.Miary kątów czworokąta

A C B O

to 1.

15 cm

, 2.

30 °

80 °

70 °

, 3.

50 °

40 °

60 °

210 °

, 4.

60 °

90 °

120 °

90 °

, 5.

40 °

50 °

90 °

, 6.

9 cm

, 7.

11 cm

, 8.

10 cm

, 9.

12 cm

, 10.

50 °

45 °

65 °

200 °

, 11.

40 °

110 °

140 °

70 °

, 12.

30 °

60 °

90 °

, 13.

30 °

60 °

30 °

240 °

, 14.

50 °

100 °

130 °

80 °

Promień okręgu opisanego na trójkącie

A B C

ma długość 1.

15 cm

, 2.

30 °

80 °

70 °

, 3.

50 °

40 °

60 °

210 °

, 4.

60 °

90 °

120 °

90 °

, 5.

40 °

50 °

90 °

, 6.

9 cm

, 7.

11 cm

, 8.

10 cm

, 9.

12 cm

, 10.

50 °

45 °

65 °

200 °

, 11.

40 °

110 °

140 °

70 °

, 12.

30 °

60 °

90 °

, 13.

30 °

60 °

30 °

240 °

, 14.

50 °

100 °

130 °

80 °

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R11xNoqgCvoHW

Trójkąt równoboczny <span aria‑label="A B C">ABC opisany jest na okręgu o promieniu <span aria‑label="sześć cm">6 cm i środku w punkcie <span aria‑label="O">O. Punkty <span aria‑label="E">E, <span aria‑label="F">F, <span aria‑label="G">G są punktami styczności okręgu i trójkąta. Punkt <span aria‑label="E">E leży na boku <span aria‑label="A C">AC, punkt <span aria‑label="G">G na boku <span aria‑label="A B">AB. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$|∠ B A C| = 60 °$ – kąt w trójkącie równobocznym
$|∠ A G O| = |∠ A E O| = 90 °$ – kąt między promieniem okręgu wpisanego a bokiem trójkąta
$|∠ E O G| = 360 ° - (90 ° + 90 ° + 60 °) = 120 °$
$|∠ O B F| = 30 °$ – połowa kąta w trójkącie równobocznym
$|∠ B F O| = 90 °$ – kąt między promieniem okręgu wpisanego a bokiem trójkąta
$|∠ B O F| = 180 ° - 30 ° - 90 ° = 60 °$
$|∠ C A O| = |∠ C B O| = 30 °$ – połowa kąta w trójkącie równobocznym
$|∠ A C B| = 60 °$ – kąt w trójkącie równobocznym
$|∠ A O B| = 60 ° + 120 ° + 60 ° = 240 °$
Oznaczmy: $h$ – wysokość trójkąta, $R$ – promień okręgu opisanego.
Jeśli $r = 6$ , to $h = 18$ .
$3 R = 2 h$
$3 R = 36$ , $R = 12 dm$

RDOQ4pzEHQheP1

Ćwiczenie 20

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RhKgq6pTFqPQw

Ćwiczenie 20

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. W trójkąt

A B C

wpisany jest okrąg o środku w punkcie

O

. Punkty

E

F

G

są punktami styczności okręgu i trójkąta. Punkt

E

leży na boku

A C

, punkt

F

leży na boku

B C

, a punkt Punkt

G

leży na boku

A B

. Miara kąta

C A B

wynosi

40 °

, natomiast miara kąta

A C B

wynosi

80 °

. Oznacza to, że miara kąta

A B C

wynosi 1.

140

, 2.

120

, 3.

100

, 4.

180

, 5.

90

, 6.

60

°

.

Odcinki

E O

F O

G O

są promieniami okręgu wpisanego w ten trójkąt i dzielą go na trzy deltoidy:

A E O G

C E O F

B F O G

. Oznacza to, że miara kąta

E O G

wynosi 1.

140

, 2.

120

, 3.

100

, 4.

180

, 5.

90

, 6.

60

°

, miara kąta

E O F

wynosi 1.

140

, 2.

120

, 3.

100

, 4.

180

, 5.

90

, 6.

60

°

, a miara kąta

F O G

wynosi 1.

140

, 2.

120

, 3.

100

, 4.

180

, 5.

90

, 6.

60

°

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.