Okrąg wpisany w trójkąt
Analizując przykłady zawarte w tym materiale:
poznasz definicję okręgu wpisanego w wielokąt,
skonstruujesz okrąg wpisany w trójkąt,
znajdziesz środek okręgu wpisanego w trójkąt,
wykorzystasz własności trójkąta opisanego na okręgu w zadaniach geometrycznych.
Rozwiązując ćwiczenia – sprawdzisz ukształtowane umiejętności.
Okrąg wpisany w wielokąt
Zapoznaj się z filmem, w którym dowiesz się, gdzie leży punkt znajdujący się w tej samej odległości od każdego boku trójkąta.
Jak położone są boki wielokątów i okręgów na kolejnych rysunkach? Ile mają punktów wspólnych?
Zauważmy, że jeżeli okrąg jest zawarty w wielokącie, to okrąg nie ma punktów wspólnych z bokami wielokąta lub niektóre z boków wielokąta mogą być styczne do okręgu.
Co można powiedzieć o wzajemnym położeniu boków wielokątów i okręgów?
Jak nazywamy punkt wspólny prostej i okręgu?
Jeśli każdy z boków wielokąta jest styczny do okręgu, to ten wielokąt nazywamy opisanym na okręgu. Okrąg nazywamy wtedy wpisanym w wielokąt.
Odległość środka okręgu wpisanego w wielokąt od każdego z boków tego wielokąta jest równa promieniowi tego okręgu.
Skonstruujemy okrąg wpisany w dany kąt .
Opis konstrukcji:
Konstruujemy dwusieczną kąta .
Na dwusiecznej zaznaczamy dowolny punkt, który oznaczamy .
Przez punkt prowadzimy prostopadłe do ramion kąta.
Punkt przecięcia jednej z tych prostych z ramieniem oznaczamy , a punkt przecięcia drugiej prostopadłej z ramieniem oznaczamy .
Odcinek jest promieniem szukanego okręgu.
Z punktu kreślimy okrąg o promieniu . Otrzymany okrąg jest styczny w punktach i do obu ramion kąta, jest więc szukanym okręgiem.
Poniższy film pokazuje kolejne kroki konstrukcji.
Zapoznaj się z poniższym apletem.
Zapoznaj się z opisem poniższego apletu.
Konstrukcja okręgu wpisanego w trójkąt
Środek okręgu jest w punkcie przecięcia dwóch dwusiecznych kątów. Można skonstruować trzecią dwusieczną, która przetnie się z pozostałymi w tym samym punkcie.
Konstruujemy okrąg wpisany w dany trójkąt .
Opis konstrukcji
Konstruujemy dwusieczne kątów i trójkąta.
Oznaczamy – punkt przecięcia dwusiecznych.
Przez punkt prowadzimy prostopadłą do boku trójkąta.
Oznaczamy – punkt przecięcia prostopadłej z bokiem .
Z punktu kreślimy okrąg o promieniu .
Narysowany okrąg jest styczny do każdego z ramion trójkąta, jest więc szukanym okręgiem.
RPa6LH7k2bmXg1
Środek okręgu wpisanego w trójkąt
Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
W każdy trójkąt można wpisać okrąg.
Środek tego okręgu leży na przecięciu dwusiecznych kątów tego trójkąta.
Wpisz okrąg w kąt, tak aby był styczny do jednego z ramion w punkcie .
Narysuj dowolny kąt o mierze i wpisz w niego okrąg.
Opisz konstrukcję okręgu wpisanego w dowolny kąt o mierze .
Znajdź środek okręgu wpisanego w trójkąt ostrokątny, prostokątny i rozwartokątny.
Skonstruuj kąt i wpisz w ten kąt okrąg, jeśli
,
,
,
.
Opisz konstrukcję okręgu wpisanego w kąt , gdy
,
,
,
.
Skonstruuj okrąg wpisany w trójkąt
prostokątny,
równoboczny,
równoramienny,
rozwartokątny.
Opisz konstrukcję okręgu wpisanego w trójkąt
prostokątny,
równoboczny,
równoramienny,
rozwartokątny.
Narysuj trójkąt, w którym miary kątów wynoszą: , , . Skonstruuj okrąg wpisany w ten trójkąt.
Opisz konstrukcję okręgu wpisanego w trójkąt, w którym miary kątów wynoszą: , , .
W trójkąt prostokątny wpisz okrąg i na trójkącie prostokątnym opisz okrąg.
Odpowiedz, gdzie w każdym przypadku leży środek tego okręgu?
Promień którego z okręgów jest większy?
W trójkąt prostokątny wpisano okrąg i na trójkącie prostokątnym opisano okrąg. Odpowiedz, gdzie w każdym przypadku leży środek tego okręgu?
Promień którego z okręgów jest większy?
W trójkąt równoboczny wpisano okrąg. Punkty styczności okręgu z bokami tego trójkąta oznaczono ,, tak jak na rysunku.
Wykaż, że