Okrąg wpisany w wielokąt

RUlYr9BMefyjO1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Jak położone są boki czworokątów i okręgów na kolejnych rysunkach? Ile mają punktów wspólnych?

RwF1YFJly3PxB1

Rysunki czterech wielokątów i okręgów znajdujących się wewnątrz wielokątów. Na pierwszym rysunku pięciokąt i okrąg nie mają punktów wspólnych. Na drugim rysunku pięciokąt i okrąg mają 4 punkty wspólne. Na trzecim siedmiokąt i okrąg mają 4 punkty wspólne. Na czwartym rysunku sześciokąt i okrąg mają 6 punktów wspólnych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że jeżeli okrąg jest zawarty w wielokącie, to okrąg nie ma punktów wspólnych z bokami wielokąta lub niektóre z boków wielokąta mogą być styczne do okręgu.

Przykład 2

Co można powiedzieć o wzajemnym położeniu boków wielokątów i okręgów?
Jak nazywamy punkt wspólny prostej i okręgu?

R1Qapzvxoug5W1

Rysunki kwadratu, sześciokąta foremnego i trójkąta równobocznego. W wielokąty wpisane są okręgi. Kwadrat ma 4 punkty wspólne z okręgiem. Sześciokąt ma 6 punktów wspólnych z okręgiem. Trójkąt ma 3 punkty wspólne z okręgiem. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Okrąg wpisany w wielokąt

Definicja: Okrąg wpisany w wielokąt

Jeśli każdy z boków wielokąta jest styczny do okręgu, to ten wielokąt nazywamy opisanym na okręgu. Okrąg nazywamy wtedy wpisanym w wielokąt.

Odległość środka okręgu

Własność: Odległość środka okręgu

Odległość środka okręgu wpisanego w wielokąt od każdego z boków tego wielokąta jest równa promieniowi tego okręgu.

iwTiAqPleb_d5e179

Przykład 3

Skonstruujemy okrąg wpisany w dany kąt $ASB$ .
Opis konstrukcji

Konstruujemy dwusieczną kąta $ASB$ .
Na dwusiecznej zaznaczamy dowolny punkt, który oznaczamy $W$ .
Przez punkt $W$ prowadzimy prostopadłe do ramion kąta.
Punkt przecięcia jednej z tych prostych z ramieniem $SB$ oznaczamy $W_{1}$ , a punkt przecięcia drugiej prostopadłej z ramieniem $SA$ oznaczamy $W_{2}$ Indeks dolny .
Odcinek ${WW}_{1}$ jest promieniem szukanego okręgu.
Z punktu $W$ kreślimy okrąg o promieniu ${WW}_{1}$ . Otrzymany okrąg jest styczny w punktach $W_{1}$ i $W_{2}$ do obu ramion kąta, jest więc szukanym okręgiem.
RT4G1ktz9vBB71
Animacja
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Film dostępny na portalu epodreczniki.pl
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja

RnqNyPmgHmwdr1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DidqBen8X

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

iwTiAqPleb_d5e237

Konstrukcja okręgu wpisanego w trójkąt

RnhCuqqDmcHNI1

Środek okręgu jest w punkcie przecięcia dwóch dwusiecznych kątów. Można skonstruować trzecią dwusieczną, która przetnie się z pozostałymi w tym samym punkcie.

Przykład 4

Konstruujemy okrąg wpisany w dany trójkąt $ABC$ .
Opis konstrukcji

Konstruujemy dwusieczne kątów $ABC$ i $CAB$ trójkąta.
Oznaczamy $O$ – punkt przecięcia dwusiecznych.
Przez punkt $O$ prowadzimy prostopadłą do boku $AB$ trójkąta.
Oznaczamy $D$ – punkt przecięcia prostopadłej z bokiem $AB$ .
Z punktu $O$ kreślimy okrąg o promieniu $DO$ .
Narysowany okrąg jest styczny do każdego z ramion trójkąta, jest więc szukanym okręgiem.
R10gHEyE9us8X1
Animacja przedstawia w sześciu krokach konstrukcję okręgu wpisanego w trójkąt. Dany jest trójkąt A B C. Skonstruujemy okrąg wpisany w trójkąt, czyli styczny do boków tego trójkąta. Konstruujemy dwusieczne kątów A B C i C A B. Niech O będzie punktem przecięcia dwusiecznych. Przez punkt O prowadzimy prostą prostopadłą do boku AB trójkąta. Niech D będzie punktem przecięcia tej prostej z bokiem AB. Z punktu O kreślimy okrąg o promieniu DO. Narysowany okrąg jest styczny do każdego z ramion trójkąta, jest więc szukanym okręgiem.
Animacja przedstawia w sześciu krokach konstrukcję okręgu wpisanego w trójkąt. Dany jest trójkąt A B C. Skonstruujemy okrąg wpisany w trójkąt, czyli styczny do boków tego trójkąta. Konstruujemy dwusieczne kątów A B C i C A B. Niech O będzie punktem przecięcia dwusiecznych. Przez punkt O prowadzimy prostą prostopadłą do boku AB trójkąta. Niech D będzie punktem przecięcia tej prostej z bokiem AB. Z punktu O kreślimy okrąg o promieniu DO. Narysowany okrąg jest styczny do każdego z ramion trójkąta, jest więc szukanym okręgiem.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DidqBen8X

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

iwTiAqPleb_d5e303

Środek okręgu wpisanego w trójkąt

Punkt przecięcia dwusiecznych kąta

Twierdzenie: Punkt przecięcia dwusiecznych kąta

Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie.

RMMTrwFcY4Urt1

Rysunek trójkąta ostrokątnego. Poprowadzone dwusieczne przecinają się w jednym punkcie. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

W każdy trójkąt można wpisać okrąg.
Środek tego okręgu leży na przecięciu dwusiecznych kątów tego trójkąta.

R7lvt1GTiDYWz1

Rysunek trójkąta ostrokątnego i okręgu wpisanego w ten trójkąt. Środek tego okręgu leży w przecięciu dwusiecznych kątów tego trójkąta. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iwTiAqPleb_d5e388

Ćwiczenie 1

Narysuj dowolny kąt o mierze $40 °$ i wpisz w niego okrąg.

Ćwiczenie 2

Wpisz okrąg w kąt, tak aby był styczny do jednego z ramion w punkcie $R$ .

RyDTY51X1nfXy1

Rysunek kąta. Na jednym z ramion kąta zaznaczony punkt. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Znajdź środek okręgu wpisanego w trójkąt ostrokątny, prostokątny i rozwartokątny.

Ćwiczenie 4

Skonstruuj kąt $α$ i wpisz w ten kąt okrąg, jeśli

$α = 60 °$
$α = 45 °$
$α = 30 °$
$α = 105 °$

classicmobile

Ćwiczenie 5

Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży w punkcie przecięcia

R1GmAlgR48lmO

wysokości tego trójkąta
dwusiecznych kątów tego trójkąta
symetralnych boków tego trójkąta

static

classicmobile

Ćwiczenie 6

Jeśli okrąg jest wpisany w trójkąt to trójkąt ten jest

RTfXlhKuLOlgc

opisany na okręgu
wpisany w okrąg
równoboczny

static

classicmobile

Ćwiczenie 7

Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży

R5aaCq2uSIT4z

we wnętrzu tego trójkąta
na zewnątrz trójkąta
na jednym z boków trójkąta

static

Ćwiczenie 8

Skonstruuj okrąg wpisany w trójkąt

prostokątny
równoboczny
równoramienny
rozwartokątny

Ćwiczenie 9

Narysuj trójkąt, w którym miary kątów wynoszą: $30 °, 120 °, 30 °$ . Skonstruuj okrąg wpisany w ten trójkąt.

iwTiAqPleb_d5e654

Ćwiczenie 10

W trójkąt prostokątny wpisz okrąg i na trójkącie prostokątnym opisz okrąg. Gdzie w każdym przypadku leży środek tego okręgu?
Promień którego z okręgów jest większy?

classicmobile

Ćwiczenie 11

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RB6xwGafiwSJv

W trójkąt rozwartokątny można wpisać okrąg.
Środek okręgu wpisanego w trójkąt jest zarazem środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.
Wysokość w trójkącie równobocznym jest sumą długości promienia okręgu wpisanego oraz promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

static

Ćwiczenie 12

W trójkąt równoboczny $ABC$ wpisano okrąg. Punkty styczności okręgu z bokami tego trójkąta oznaczono $D$ , $E$ , $F$ tak, jak na rysunku.

Ry6kBKzY6V6Fe1

Rysunek trójkąta A B C z wpisanym w niego okręgiem. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykaż, że

| AF | = | FB | = BE | = | EC | = | CD | = | DA |

Wskazówka
Niech $S$ oznacza środek okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ . Odcinek $AS$ leży na dwusiecznej kąta $DAF$ . Trójkąty $ASF$ i $ASD$ są prostokątne , mają wspólną przeciwprostokątna $AS$ , boki $DS$ i $FS$ są jednakowej długości , trójkąty te mają ponadto kąty odpowiednio równe. Zatem boki $AD$ i $AF$ też są równej długości. Ponieważ trójkąt jest równoboczny to odcinki $AF$ i $FB$ są równej długości.

Ćwiczenie 13

W trójkąt $ABC$ o kątach $50 °, 70 °, 60 °$ wpisano okrąg. Punkty $D, E, F$ są punktami styczności tego okręgu z ramionami trójkąta.

Podaj miary kątów utworzonych przez promienie tego okręgu poprowadzone ze środka okręgu do punktów $D$ , $E$ , $F$ .
Oblicz miary kątów w trójkącie $DEF$ .

$130 °, 120 °, 110 °$
$65 °, 60 °, 55 °$

classicmobile

Ćwiczenie 14

W trójkąt $ABC$ wpisano okrąg o środku w punkcie $O$ . Okrąg ten jest styczny do boków trójkąta w punktach odpowiednio $D$ , $E$ , $F$ . Miara kąta $DOE$ jest równa $130 °$ , a miara kąta $DOF$ jest równa $120 °$ . Miara kąta $ACB$ wynosi

RcIpsYmhXVMtE

$60 °$
$100 °$
$70 °$
$90 °$

static

Ćwiczenie 14

RIKvOAsNG8eCn

$60 °$
$100 °$
$70 °$
$90 °$

classicmobile

Ćwiczenie 15

W trójkąt równoboczny $ABC$ wpisano okrąg o środku w punkcie $O$ i promieniu $10 cm$ . Wysokość trójkąta $AOB$ poprowadzona z wierzchołka $O$ wynosi

RVXKh70Y9Cle4

$5 cm$
$10 cm$
$4 cm$
$15 cm$

static

Ćwiczenie 15

W trójkąt równoboczny $ABC$ wpisano okrąg o środku w punkcie $O$ i promieniu $10 cm$ . Wysokość trójkąta $AOB$ poprowadzona z wierzchołka $O$ wynosi

RLuuROfeWZ7nk

$5 cm$
$10 cm$
$4 cm$
$15 cm$

classicmobile

Ćwiczenie 16

Na okręgu o środku w punkcie $O$ opisany jest trójkąt $ABC$ . Kąt $CAB$ jest kątem prostym. Okrąg ten jest styczny do boku $AC$ w punkcie $D$ , a do boku $AB$ w punkcie $E .$
Czworokąt $AEOD$ ma

RWPkQYRzYn7N1

co najmniej jeden kąt prosty
dokładnie jeden kąt prosty
wszystkie boki równe
jeden kąt rozwarty

static

Ćwiczenie 16

R2H1AXJ6wL5Dn

co najmniej jeden kąt prosty
dokładnie jeden kąt prosty
wszystkie boki równe
jeden kąt rozwarty

Ćwiczenie 17

W trójkąt o bokach długości $6 cm, 10 cm, 8 cm$ wpisano okrąg o promieniu $2 cm$ . Oblicz pole tego trójkąta.

${24 cm}^{2}$

Ćwiczenie 18

Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o bokach długości $5 dm, 12 dm, 13 dm .$

$2 dm$

Ćwiczenie 19

Trójkąt równoboczny $ABC$ opisany jest na okręgu o promieniu $6 cm$ i środku w punkcie $O$ . Punkty $E, F, G$ są punktami styczności okręgu i trójkąta. Punkt $E$ leży na boku $AC$ , punkt $G$ na boku $AB$ .

Oblicz miary kątów czworokąta $EAGO$ .
Oblicz miary katów trójkąta $BOF$ .
Oblicz miary kątów czworokąta $ACBO$ .
Jaką długość ma promień okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ ?

$60 °, 90 °, 120 °, 90 °$
$30 °, 60 °, 90 °$
$30 °, 60 °, 30 °, 240 °$
$12 cm$

Ćwiczenie 20

W trójkąt $ABC$ wpisany jest okrąg o środku w punkcie $O$ . Punkty $E, F, G$ są punktami styczności okręgu i trójkąta. Oblicz miary zaznaczonych kątów.

R1MEOovQBfvpl1

Rysunki dwóch trójkątów A B C wpisany jest okrąg o środku w punkcie O. Punkty E , F, G są punktami styczności okręgu i trójkąta. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$α = 60 °, β = 100 °, γ = 140 °, δ = 120 °$
$α = 50 °, β = 100 °, γ = 90 °$

Okrąg opisany na trójkącie

Symetria osiowa

Okrąg wpisany w trójkąt

Okrąg wpisany w wielokąt

Konstrukcja okręgu wpisanego w trójkąt

Środek okręgu wpisanego w trójkąt