Określanie dziedziny funkcji opisanej wzorem - zadania

Pokaż ćwiczenia:

W tym materiale nauczysz się wyznaczać dziedziny funkcji, które są określone różnymi wzorami. Rozwiążesz zadania dotyczące znajdowania dziedziny, także w kontekście praktycznym.

Ważne!

Dziedziną funkcji stałych, liniowych, kwadratowych czy wielomianowych jest cały zbiór liczb rzeczywistych.

Przykład 1

Wyznaczymy dziedzinę funkcji $f (x) = \frac{x - 4}{5}$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że w podanym wzorze funkcji zmienna $x$ występuje jedynie w liczniku, zatem dziedziną jest cały zbiór liczb rzeczywistych ( $D = ℝ$ ).

Przykład 2

Wyznaczymy dziedzinę funkcji $f (x) = \frac{5 x + 2}{4 x - 8}$ .

Rozwiązanie

Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji wymiernej należy wykluczyć argumenty, dla których funkcja nie ma sensu liczbowego.

Przyrównujemy wyrażenie z mianownika do zera i otrzymujemy

$4 x - 8 = 0$ ,

$x = 2$ .

Wyznaczony argument zostaje wyrzucony z dziedziny (która domyślnie jest zbiorem liczb rzeczywistych), aby uniemożliwić dzielenie przez zero.

Zapisujemy dziedzinę następująco: $D = ℝ ∖ \{2\}$ .

Przykład 3

Wyznaczymy dziedzinę funkcji $f (x) = \sqrt{3 x - 8}$ .

Rozwiązanie

Jak wiadomo, nie istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej, zatem wyrażenie podpierwiastkowe musi być większe lub równe zero, czyli

$3 x - 8 \geq 0$ ,

$x \geq \frac{8}{3}$ .

Przedział $⟨\frac{8}{3}, \infty)$ jest dziedziną tej funkcji ( $D = ⟨\frac{8}{3}, \infty)$ ).

Przykład 4

Wyznaczymy dziedzinę funkcji $f (x) = \frac{5 x + 2}{\sqrt{5 - 10 x}}$ .

Rozwiązanie

Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być większe od zera, ponieważ pierwiastek ten występuje w mianowniku ułamka.

$5 - 10 x > 0$ ,

$x < \frac{1}{2}$ .

Przedział $(- \infty, \frac{1}{2})$ jest dziedziną tej funkcji ( $D = (- \infty, \frac{1}{2})$ ).

RPby5H24WElhE1

Ćwiczenie 1

$f (x) = \frac{5}{3 - x}$
$f (x) = \frac{3 x + 7}{x}$
$f (x) = \frac{x + \sqrt{3}}{2}$
$f (x) = \frac{1}{x + 2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RwJfpp9lunpMo1

Ćwiczenie 2

$f (x) = \frac{2}{x - 1}$
$f (x) = \frac{4}{x + 1}$
$f (x) = \frac{1}{3 - 3 x}$
$f (x) = \frac{3}{x^{2} - 1}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RITasfla3gQpu1

Ćwiczenie 3

$""(- \infty, 2"⟩"$
$""(- \infty, - 2"⟩"$
$"⟨"2, + \infty)""$
$"⟨"- 2, + \infty)""$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RITpJYQ2PJxSa21

Ćwiczenie 4

Połącz w pary funkcje i ich dziedziny.

f (x) = \frac{1}{x + 2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

ℝ

, 2.

x \neq - 2

, 3.

x > - 4

, 4.

x \geq - 3

, 5.

x \neq - \frac{3}{2}

, 6.

x \neq 0

f (x) = \sqrt{x + 3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

ℝ

, 2.

x \neq - 2

, 3.

x > - 4

, 4.

x \geq - 3

, 5.

x \neq - \frac{3}{2}

, 6.

x \neq 0

f (x) = \frac{1}{\sqrt{x + 4}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

ℝ

, 2.

x \neq - 2

, 3.

x > - 4

, 4.

x \geq - 3

, 5.

x \neq - \frac{3}{2}

, 6.

x \neq 0

f (x) = \frac{2 x}{2 x + 3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

ℝ

, 2.

x \neq - 2

, 3.

x > - 4

, 4.

x \geq - 3

, 5.

x \neq - \frac{3}{2}

, 6.

x \neq 0

f (x) = \sqrt[3]{2 x + 4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

ℝ

, 2.

x \neq - 2

, 3.

x > - 4

, 4.

x \geq - 3

, 5.

x \neq - \frac{3}{2}

, 6.

x \neq 0

f (x) = x^{2} + \frac{1}{x}

Możliwe odpowiedzi: 1.

ℝ

, 2.

x \neq - 2

, 3.

x > - 4

, 4.

x \geq - 3

, 5.

x \neq - \frac{3}{2}

, 6.

x \neq 0

Połącz w pary funkcje i ich dziedziny.

$f (x) = \frac{1}{x + 2}$
$f (x) = \sqrt{x + 3}$
$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x + 4}}$
$f (x) = \frac{2 x}{2 x + 3}$
$f (x) = \sqrt[3]{2 x + 4}$
$f (x) = x^{2} + \frac{1}{x}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R12vzXKWUiyPb1

Ćwiczenie 5

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$
$f (x) = \frac{x}{x - 2}$
$f (x) = \frac{x - 1}{x + 2}$
$f (x) = \frac{x - 2}{x}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Uw6tGh6mOhU1

Ćwiczenie 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rq6lHA3fiEMhe2

Ćwiczenie 7

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$
$f (x) = \frac{x^{2} + x}{{- x}^{2} - 3}$
$f (x) = \frac{x^{2} - 5 x}{x^{2} - 3}$
$f (x) = \frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} + 4}}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RtmrbmKSuukQb2

Ćwiczenie 8

$- 1$
$1$
$- 2$
$3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ru90pTWmJJDgg2

Ćwiczenie 9

$(1, 4)$
$(0, 3)$
$"〈"0, 2"〉"$
$(2, 6)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Wyznacz dziedziny poniższych funkcji.

$f (x) = 2 x + 5$
$g (x) = x^{2} - 5$
$h (x) = x^{3} - 2 x + 7$
$k (x) = 5$

R1OyeMY2yQjy4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$D = ℝ$
$D = ℝ$
$D = ℝ$
$D = ℝ$

R135j5nNMuSJk2

Ćwiczenie 11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

Wyznacz dziedziny poniższych funkcji.

$f (x) = \frac{7}{(x - 2) (x + 2)}$
$h (x) = \frac{x - 3}{x (3 - x)}$
$g (x) = \frac{x^{2} - 1}{(x - 1) (x + 4)}$
$k (x) = \frac{x^{3} - 5 x^{2}}{x (2 x + 4) (x - 1)}$
$m (x) = \frac{5}{x^{2} - 9}$
$p (x) = \frac{2 x + 5}{x^{2} + 6}$
$t (x) = \frac{3 - 6 x}{x^{2} + 2 x + 1}$
$u (x) = \frac{8 x - 9}{x^{2} - 4 x + 4}$

Rkob7JwqNBWPc

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$D = ℝ ∖ \{- 2; 2\}$
$D = ℝ ∖ \{0; 3\}$
$D = ℝ ∖ \{1; - 4\}$
$D = ℝ ∖ \{0; - 2; 1\}$
$D = ℝ ∖ \{3; - 3\}$
$D = ℝ$
$D = ℝ ∖ \{- 1\}$
$D = ℝ ∖ \{2\}$

RvWrUdnAgXMKK2

Ćwiczenie 13

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ROcXSSphnuWcB2

Ćwiczenie 14

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

R164se6WgiLfV

Rozpatrzmy wszystkie trójkąty, których obwód jest równy

8

. Oznaczmy wierzchołki takiego trójkąta przez

A

B

C

. Przyjmijmy, że

A B

jest najkrótszym bokiem

|A B| = 2

|A C| = x

. Zapisz długość

a

boku

B C

w zależności od

x

. Wyznacz dziedzinę otrzymanej funkcji

a

. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz prawidłową odpowiedź.

a (x) =

(2, 6)

, 2.

2 x - 4

, 3.

(2, 4)

, 4.

8 - x

, 5.

6 - x

, 6.

x - 6

, 7.

(0, 8)

, 8.

ℝ

, 9.

(0, 6)

, 10.

x - 8

D_{a} =

(2, 6)

, 2.

2 x - 4

, 3.

(2, 4)

, 4.

8 - x

, 5.

6 - x

, 6.

x - 6

, 7.

(0, 8)

, 8.

ℝ

, 9.

(0, 6)

, 10.

x - 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Aby z trzech odcinków można było skonstruować trójkąt, musi być spełniony warunek trójkąta. Oznacza to, że suma długości dwóch najkrótszych odcinków musi być większa od długości najdłuższego odcinka.

Uwzględniamy trójkąty, których obwód wynosi $8$ , zatem suma długości boków $x$ i $a$ musi być równa $6$ . Rozpatrz dwa przypadki:

Długość $a$ jest większa od długości $x$ , wtedy $a < x + 2$ .
Długość $a$ jest mniejsza od długości $x$ , wtedy $x < a + 2$ , czyli , $a > x - 2$ .

Wykorzystując zależność między długościami boków $x$ i $a$ wyznacz przedział, w jakim może znajdować się długość boku $a$ .

Ćwiczenie 16

Bok trójkąta równobocznego $A B C$ ma długość $6$ . Punkty $D$ i $E$ leżą na bokach odpowiednio $B C$ i $A C$ w tej samej odległości $x$ od wierzchołka $C$ . Zapisz pole $P$ trapezu $A B D E$ jako funkcję $x$ . Wyznacz dziedzinę tej funkcji.

RBYiu8eErHOCC

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że trójkąt $E D C$ również jest równoboczny. Zatem pole trapezu może być obliczone jako różnica pól odpowiednich trójkątów równobocznych.

Skorzystaj ze wzoru na pole trójkąta równobocznego.

Przy wyznaczaniu dziedziny otrzymanej funkcji pamiętaj, że $x$ nie może być większy od $6$ .

$P (x) = 9 \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} x^{2}$ , $D_{P} = (0, 6)$ .

Ćwiczenie 17

Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne o objętości $100$ . Zakładając, że krawędź podstawy takiego graniastosłupa jest równa $a$ , zapisz jego pole powierzchni całkowitej $P$ w zależności od $a$ . Wyznacz dziedzinę funkcji $P$ .

RIWFQaLDWalXx

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Skorzystaj ze wzoru na objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego $V = a^{2} \cdot H$ , aby wyznaczyć wysokość bryły.

Pole całkowite graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wyraża się wzorem $P_{c} = 2 a^{2} + 4 a H$ .

Przy wyznaczaniu dziedziny funkcji pamiętaj o tym, że długość krawędzi podstawy nie może być liczbą ujemną.

$P (a) = 2 a^{2} + \frac{400}{a}$ , $D_{P} = (0, + \infty)$ .

Ćwiczenie 18

Rozpatrzmy wszystkie trójkąty prostokątne, których pole jest równe $18$ . Przyjmijmy, że długość jednej z przyprostokątnych takiego trójkąta jest równa $b$ . Zapisz długość $c$ przeciwprostokątnej trójkąta w zależności od $b$ . Wyznacz dziedzinę funkcji $c$ .

RgCgJrVdEOqLc

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Skorzystaj ze wzoru na pole trójkąta aby wyznaczyć długość przyprostokątnej $a$ . Następnie podstaw dane do twierdzenia Pitagorasa aby wyznaczyć wzór szukanej funkcji.

Wyznaczając dziedzinę funkcji pamiętaj, że długość przyprostokątnej $b$ nie może być ujemna.

$c (b) = \sqrt{b^{2} + \frac{1296}{b^{2}}}$ , $D_{c} = (0, + \infty)$ .