Określanie dziedziny funkcji opisanej wzorem - zadania
1
Pokaż ćwiczenia:
W tym materiale nauczysz się wyznaczać dziedziny funkcji, które są określone różnymi wzorami. Rozwiążesz zadania dotyczące znajdowania dziedziny, także w kontekście praktycznym.
Ważne!
Dziedziną funkcji stałych, liniowych, kwadratowych czy wielomianowych jest cały zbiór liczb rzeczywistych.
Przykład 1
Wyznaczymy dziedzinę funkcji .
Rozwiązanie
Zauważmy, że w podanym wzorze funkcji zmienna występuje jedynie w liczniku, zatem dziedziną jest cały zbiór liczb rzeczywistych ().
Przykład 2
Wyznaczymy dziedzinę funkcji .
Rozwiązanie
Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji wymiernej należy wykluczyć argumenty, dla których funkcja nie ma sensu liczbowego.
Przyrównujemy wyrażenie z mianownika do zera i otrzymujemy
,
.
Wyznaczony argument zostaje wyrzucony z dziedziny (która domyślnie jest zbiorem liczb rzeczywistych), aby uniemożliwić dzielenie przez zero.
Zapisujemy dziedzinę następująco: .
Przykład 3
Wyznaczymy dziedzinę funkcji .
Rozwiązanie
Jak wiadomo, nie istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej, zatem wyrażenie podpierwiastkowe musi być większe lub równe zero, czyli
,
.
Przedział jest dziedziną tej funkcji ().
Przykład 4
Wyznaczymy dziedzinę funkcji .
Rozwiązanie
Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być większe od zera, ponieważ pierwiastek ten występuje w mianowniku ułamka.
,
.
Przedział jest dziedziną tej funkcji ().
RPby5H24WElhE1
Ćwiczenie 1
RwJfpp9lunpMo1
Ćwiczenie 2
RITasfla3gQpu1
Ćwiczenie 3
RITpJYQ2PJxSa21
Ćwiczenie 4
Połącz w pary funkcje i ich dziedziny. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6.
Połącz w pary funkcje i ich dziedziny. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6.
Połącz w pary funkcje i ich dziedziny.
<span aria-label="x, większy niż, minus, cztery" role="math"><math><mi>x</mi><mo>></mo><mo>-</mo><mn>4</mn></math></span>, <span aria-label="x, większy równy, minus, trzy" role="math"><math><mi>x</mi><mo>≥</mo><mo>-</mo><mn>3</mn></math></span>, <span aria-label="x, nie równa się, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka" role="math"><math><mi>x</mi><mo>≠</mo><mo>-</mo><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></math></span>, <span aria-label="liczby rzeczywiste" role="math"><math><mi mathvariant="normal">ℝ</mi></math></span>, <span aria-label="x, nie równa się, zero" role="math"><math><mi>x</mi><mo>≠</mo><mn>0</mn></math></span>, <span aria-label="x, nie równa się, minus, dwa" role="math"><math><mi>x</mi><mo>≠</mo><mo>-</mo><mn>2</mn></math></span>
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R12vzXKWUiyPb1
Ćwiczenie 5
R1Uw6tGh6mOhU1
Ćwiczenie 6
Rq6lHA3fiEMhe2
Ćwiczenie 7
RtmrbmKSuukQb2
Ćwiczenie 8
Ru90pTWmJJDgg2
Ćwiczenie 9
2
Ćwiczenie 10
Wyznacz dziedziny poniższych funkcji.
R1OyeMY2yQjy4
Podane funkcje to kolejno: funkcja liniowa, kwadratowa, wielomianowa oraz stała. Zastanów się, czy istnieje jakiś argument, dla którego nie jesteśmy w stanie obliczyć wartości funkcji w punkcie.
R135j5nNMuSJk2
Ćwiczenie 11
2
Ćwiczenie 12
Wyznacz dziedziny poniższych funkcji.
Rkob7JwqNBWPc
Aby wyznaczyć dziedzinę każdej z tych funkcji należy przyrównać wyrażenie z mianownika do zera i rozwiązać równanie. Rozwiązania równań to liczby, które nie należą do dziedzin funkcji.
RvWrUdnAgXMKK2
Ćwiczenie 13
ROcXSSphnuWcB2
Ćwiczenie 14
2
Ćwiczenie 15
R164se6WgiLfV
Aby z trzech odcinków można było skonstruować trójkąt, musi być spełniony warunek trójkąta. Oznacza to, że suma długości dwóch najkrótszych odcinków musi być większa od długości najdłuższego odcinka.
Uwzględniamy trójkąty, których obwód wynosi , zatem suma długości boków i musi być równa . Rozpatrz dwa przypadki:
Długość jest większa od długości , wtedy .
Długość jest mniejsza od długości , wtedy , czyli , .
Wykorzystując zależność między długościami boków i wyznacz przedział, w jakim może znajdować się długość boku .
2
Ćwiczenie 16
Bok trójkąta równobocznego ma długość . Punkty i leżą na bokach odpowiednio i w tej samej odległości od wierzchołka . Zapisz pole trapezu jako funkcję . Wyznacz dziedzinę tej funkcji.
RBYiu8eErHOCC
Zauważ, że trójkąt również jest równoboczny. Zatem pole trapezu może być obliczone jako różnica pól odpowiednich trójkątów równobocznych.
Skorzystaj ze wzoru na pole trójkąta równobocznego.
Przy wyznaczaniu dziedziny otrzymanej funkcji pamiętaj, że nie może być większy od .
, .
3
Ćwiczenie 17
Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne o objętości . Zakładając, że krawędź podstawy takiego graniastosłupa jest równa , zapisz jego pole powierzchni całkowitej w zależności od . Wyznacz dziedzinę funkcji .
RIWFQaLDWalXx
Skorzystaj ze wzoru na objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego , aby wyznaczyć wysokość bryły.
Pole całkowite graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wyraża się wzorem .
Przy wyznaczaniu dziedziny funkcji pamiętaj o tym, że długość krawędzi podstawy nie może być liczbą ujemną.
, .
3
Ćwiczenie 18
Rozpatrzmy wszystkie trójkąty prostokątne, których pole jest równe . Przyjmijmy, że długość jednej z przyprostokątnych takiego trójkąta jest równa . Zapisz długość przeciwprostokątnej trójkąta w zależności od . Wyznacz dziedzinę funkcji .
RgCgJrVdEOqLc
Skorzystaj ze wzoru na pole trójkąta aby wyznaczyć długość przyprostokątnej . Następnie podstaw dane do twierdzenia Pitagorasa aby wyznaczyć wzór szukanej funkcji.
Wyznaczając dziedzinę funkcji pamiętaj, że długość przyprostokątnej nie może być ujemna.