Określanie monotoniczności funkcji na podstawie jej wykresu - ćwiczenia. Część II

W życiu spotykamy się z sytuacjami, gdy musimy ocenić, czy zachodzący proces (na przykład zmiany ceny pewnego towaru) ma tendencję wzrostową czy spadkową. Zazwyczaj podstawą tej analizy jest wykres, z którego odczytuje się zebrane dotychczas informacje. W tym materiale rozwiązując ćwiczenia sprawdzisz, jak sobie radzisz z odczytywaniem tych informacji z wykresu. Nim przystąpisz do pracy, zapoznaj się z fiszkami zawierającymi definicje pojęć matematycznych dotyczących tego zagadnienia.

Zapoznaj się z informacjami dotyczącymi monotoniczności funkcji. Naciśnij zakładki, by rozwinąć treść.

RgyrhB2u1hxjw

Funkcja rosnąca Funkcja

f

jest określona w przedziale

⟨a, b⟩

.
Jeżeli dla dowolnych

x_{1}, x_{2} \in ⟨a, b⟩

takich, że

x_{1} < x_{2}

spełniony jest warunek:

f (x_{1}) < f (x_{2})

,
to mówimy, że funkcja

f

jest rosnąca w przedziale

⟨a, b⟩

., Funkcja malejąca Funkcja

f

jest określona w przedziale

⟨a, b⟩

.
Jeżeli dla dowolnych

x_{1}, x_{2} \in ⟨a, b⟩

takich, że

x_{1} < x_{2}

spełniony jest warunek:

f (x_{1}) > f (x_{2})

,
to mówimy, że funkcja

f

jest malejąca w przedziale

⟨a, b⟩

., Funkcja stała Funkcja

f

jest określona w przedziale

⟨a, b⟩

.
Jeżeli dla dowolnych

x_{1}, x_{2} \in ⟨a, b⟩

takich, że

x_{1} < x_{2}

spełniony jest warunek:

f (x_{1}) = f (x_{2})

,
to funkcję

f

nazywamy stałą w przedziale

⟨a, b⟩

., Funkcja niemalejąca Funkcja

f

jest określona w przedziale

⟨a, b⟩

.
Jeżeli dla dowolnych

x_{1}, x_{2} \in ⟨a, b⟩

takich, że

x_{1} < x_{2}

spełniony jest warunek:

f (x_{1}) ⩽ f (x_{2})

,
to mówimy, że funkcja

f

jest niemalejąca w przedziale

⟨a, b⟩

., Funkcja nierosnąca Funkcja

f

jest określona w przedziale

⟨a, b⟩

.
Jeżeli dla dowolnych

x_{1}, x_{2} \in ⟨a, b⟩

takich, że

x_{1} < x_{2}

spełniony jest warunek:

f (x_{1}) ⩾ f (x_{2})

,
to mówimy, że funkcja

f

jest nierosnąca w przedziale

⟨a, b⟩

., Funkcja monotoniczna przedziałami Jeżeli funkcja jest taka, że jej dziedzinę można podzielić na rozłączne przedziały, w taki sposób, że jest ona monotoniczna w każdym z nich, to powiemy, że funkcja ta jest monotoniczna przedziałami.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja rosnąca

Funkcja $f$ jest określona w przedziale $⟨a, b⟩$ .
Jeżeli dla dowolnych $x_{1}, x_{2} \in ⟨a, b⟩$ takich, że $x_{1} < x_{2}$ spełniony jest warunek: $f (x_{1}) < f (x_{2})$ , to mówimy, że funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $⟨a, b⟩$ .

Funkcja malejąca

Funkcja $f$ jest określona w przedziale $⟨a, b⟩$ .
Jeżeli dla dowolnych $x_{1}, x_{2} \in ⟨a, b⟩$ takich, że $x_{1} < x_{2}$ spełniony jest warunek:
$f (x_{1}) > f (x_{2})$ ,
to mówimy, że funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $⟨a, b⟩$ .

Funkcja stała

Funkcja $f$ jest określona w przedziale $⟨a, b⟩$ .
Jeżeli dla dowolnych $x_{1}, x_{2} \in ⟨a, b⟩$ takich, że $x_{1} < x_{2}$ spełniony jest warunek:
$f (x_{1}) = f (x_{2})$
to funkcję $f$ nazywamy stałą w przedziale $⟨a, b⟩$ .

Funkcja niemalejąca

Funkcja $f$ jest określona w przedziale $⟨a, b⟩$ .
Jeżeli dla dowolnych $x_{1}, x_{2} \in ⟨a, b⟩$ takich, że $x_{1} < x_{2}$ spełniony jest warunek:
$f (x_{1}) ⩽ f (x_{2})$
To mówimy, że funkcja $f$ jest niemalejąca w przedziale $⟨a, b⟩$ .

Funkcja nierosnąca

Funkcja $f$ jest określona w przedziale $⟨a, b⟩$ .
Jeżeli dla dowolnych $x_{1}, x_{2} \in ⟨a, b⟩$ takich, że $x_{1} < x_{2}$ spełniony jest warunek:
$f (x_{1}) ⩾ f (x_{2})$
To mówimy, że funkcja $f$ jest nierosnąca w przedziale $⟨a, b⟩$ .

Funkcja monotoniczna przedziałami

Jeżeli funkcja jest taka, że jej dziedzinę można podzielić na rozłączne przedziały, w taki sposób, że jest ona monotoniczna w każdym z nich, to powiemy, że funkcja ta jest monotoniczna przedziałami.

Ćwiczenie 1

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $g$ .

Rm5gyHxh4a2xY1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus trzech do czterech oraz z pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji g będący łamaną składającą się z pięciu odcinków, których końce wyróżniono zamalowanymi kółkami. Od lewej mamy: ukośny odcinek o końcach -3;2 i -2;0, następnie mamy ukośny odcinek o końcach w punktach -2;0 oraz -1;-12</mfrac, następnie mamy ukośny odcinek o końcach -1;-12</mfrac oraz 1;1, następnie mamy poziomy odcinek o końcach w punktach 1;1 oraz 2;1, następnie mamy ukośny odcinek o końcach 2;1 oraz 3;0 — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R13MxJOAuZNqj

$1$
$1,5$
$2$
$3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

RGrH2ok4XSc3F

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1VL6C9GZQ8VX

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $k$ .

R1DxewxXm4gYL1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do czterech oraz z pionową osią Y od minus trzech do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji k będący kawałkiem krzywej o końcach w zamalowanych punktach -3;2 oraz 3;-3. Wykres przebiega przez drugą, trzecią i czwartą ćwiartkę. Na przedziale od minus trzech do dwóch wykres przyjmuje postać łuku wybrzuszonego w kierunku trzeciej ćwiartki. W przedziale od dwóch do trzech funkcja jest krótszym łukiem wybrzuszonym w przeciwną stronę, czyli w górne prawo. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RjsSnsUizjpTc

$"⟨"- 3, 3"⟩"$
$"⟨"- 3, 2"⟩"$
$"⟨"2, 3"⟩"$
$"⟨"- 3, - 2"⟩"$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

R19ZqqnX0cmRv

R157dFh5pp8xV

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $t$ .

RmeTIQ37q1YXv1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus trzech do czterech oraz z pionową osią Y od minus trzech do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji t składający się z czterech następujących ukośnych odcinków: odcinek pierwszy jest lewostronnie otwarty. Jego prawy koniec znajduje się w zamalowanym punkcie -3;2, a z prawej strony ograniczony jest niezamalowanym punktem 0;32. Odcinek drugi ma końce w zamalowanych punktach o współrzędnych: 0;12 oraz 1;-2. Trzeci odcinek z lewej strony ograniczony jest niezamalowanym punktem o współrzędnych 1;-212, a jego prawy koniec znajduje się w zamalowanym punkcie o współrzędnych 2;-3. Czwarty odcinek ma końce w zamalowanych punktach 2;-3 oraz 3;-1. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R15s80ZLmMXUP

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ .

RSz1zAj7IzptF1

RtCKiGfAf9O5w

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $g$ .

R1A1qCjZGB3d71

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do czterech oraz z pionową osią Y od minus jeden do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji g będący łamaną składającą się z pięciu odcinków, których końce wyróżniono zamalowanymi kółkami. Od lewej mamy: ukośny odcinek o końcach -3;2 i -1;-1, następnie mamy ukośny odcinek o końcach w punktach -1;-1 oraz 1;1, następnie mamy ukośny odcinek o końcach 1;1 oraz 2;32, następnie mamy ukośny odcinek o końcach w punktach 2;32 oraz 3;1, następnie mamy poziomy odcinek o końcach w punktach 3;1 i 4;1. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1RfqI97IJcF7

Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji

g

. a. Podaj długość maksymalnego przedziału, w którym funkcja

g

jest rosnąca.
Długość maksymalnego przedziału wynosi 1.

2

, 2.

⟨- 4, - 1⟩

(- 4, - 1)

(- 4, - 1⟩

⟨- 4, - 1)

, 3.

3

, 4.

4

, 5.

⟨- 3, - 2⟩

(- 3, - 2)

(- 3, - 2⟩

⟨- 3, - 2)

, 6.

⟨- 3, - 1⟩

(- 3, - 1)

(- 3, - 1⟩

⟨- 3, - 1)

.

b. Podaj przedział o długości

2

, w którym funkcja

g

jest malejąca.
Przedział długości wynosi 1.

2

, 2.

⟨- 4, - 1⟩

(- 4, - 1)

(- 4, - 1⟩

⟨- 4, - 1)

, 3.

3

, 4.

4

, 5.

⟨- 3, - 2⟩

(- 3, - 2)

(- 3, - 2⟩

⟨- 3, - 2)

, 6.

⟨- 3, - 1⟩

(- 3, - 1)

(- 3, - 1⟩

⟨- 3, - 1)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $p$ .

R1D1eWktFWign1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do czterech oraz z pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji p będący łamaną składającą się z pięciu odcinków, których końce wyróżniono zamalowanymi kółkami. Od lewej mamy: ukośny odcinek o końcach -3;1 i -2;2, następnie mamy poziomy odcinek o końcach w punktach -2;2 oraz -1;2, następnie mamy ukośny odcinek o końcach -1;2 oraz 2;3, następnie mamy ukośny odcinek o końcach w punktach 2;3 oraz 3;-2, następnie mamy poziomy odcinek o końcach w punktach 3;-2 i 4;-2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Ea10pE8rgvR

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ .

RNpU0NGjlS03H1

RMnJG3BQ92myE

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $t$ .

R3MoWzPqahhXD1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji t będący łamaną składającą się z pięciu odcinków, których końce wyróżniono zamalowanymi kółkami. Od lewej mamy: ukośny odcinek o końcach -4;1 i -113;212, następnie mamy ukośny odcinek o końcach w punktach -113;212 oraz 13;-112, następnie mamy ukośny odcinek o końcach 13;-112 oraz 213;-213, następnie mamy ukośny odcinek o końcach w punktach 213;-213 oraz 313;-1, następnie mamy poziomy odcinek o końcach w punktach 313;-1 i 5;-1. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Q6eWfCdaDsJ

w przedziale $"⟨"- 4, - 1"⟩"$ jest rosnąca
w przedziale $"⟨"- 1, 0"⟩"$ jest malejąca
w przedziale $"⟨"0, 2"⟩"$ jest malejąca
w przedziale $"⟨"3, 4"⟩"$ jest niemalejąca

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ .

RNnVrSA5Vobd31

RKZLwxh82gF6D

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $g$ .

R1ViMl8gmXhyz1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji g będący kawałkiem krzywej. Lewy koniec wykresu znajduje się w zamalowanym punkcie -4;1. Z tego punktu wykres biegnie łukowato do góry do punktu -2;3 i stąd zaczyna biec łukowato w dół, przebiegając przez początek układu współrzędnych aż do punktu 112;-214. Z tego punktu wykres odbija łukowato w górę do punktu 3;-1, z którego biegnie w dół do punktu 5;-2, który jest prawym końcem wykresu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R18GEr6LfM2i6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 13

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $k$ .

RfXlIcGabWgtH1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus trzech do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji k będący kawałkiem krzywej o końcach w punktach: z lewej -4;-2 i z prawej 4;2. Funkcja przebiega następująco. Od lewego końca w punkcie -4;-2 biegnie niemal pionowo do punktu -316;0. Stąd funkcja przyjmuje postać łuku wybrzuszonego w lewo w górę i biegnie do punktu -3;1. Kolejną składową wykresu jest biegnący z tego punktu poziomy odcinek o prawym końcu w pukcie -23;1. Stąd funkcja biegnie łukowato w dół do punktu 3;-3. Z tego punktu wykres odbija do góry do swojego prawego końca leżącego w punkcie 4;2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R133vd9oF4UBq

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

Rysunek przedstawia wykres funkcji $t$ .

R18tpyHCZTCGn1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do czterech oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z siedmiu punktów o następujących współrzędnych: -3;-113, -2;-1, -1;-1, 0;2, 1;214, 2;212, 3;316. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RRxf0Evn7MPTI

funkcja $t$ jest rosnąca
funkcja $t$ jest nierosnąca
funkcja $t$ jest malejąca
funkcja $t$ jest niemalejąca

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ .

RrhlhSLXbotIf1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f składający się z trzech rozłącznych łuków. Łuk pierwszy leży w trzeciej ćwiartce. Jego lewy koniec znajduje się w zamalowanym punkcie -4;-1. Z tego punktu łuk biegnie w dół do punktu -3;-3, skąd odbija w górę do swojego prawego końca w zamalowanym punkcie -2;-2. Drugi łuk znajduje się w drugiej i w pierwszej ćwiartce. Z lewej strony ograniczony jest niezamalowanym punktem -2;0, skąd biegnie w górę do punktu 0;367. Z tego punktu łuk biegnie w dół do niezamalowanego punktu ograniczającego z prawej strony. Punkt ten ma współrzędne 1;3. Trzeci łuk znajduje się w czwartej i w pierwszej ćwiartce. Jego lewy koniec znajduje się w punkcie 1;-1. Z tego punktu łuk biegnie w dół do punktu 2;-134. Z tego punktu łuk odbija w górę do swojego prawego końca w zamalowanym punkcie 4;1. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RFutwf5N50JlT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 1

Rysunki przedstawiają wykresy pewnych funkcji.

Określ maksymalne przedziały, w których każda funkcja jest malejąca, rosnąca, stała.

R14HFkVSTFq1F1

Zapoznaj się z poniższymi opisami wykresów funkcji, a następnie uzupełnij luki, wpisując odpowiednie liczby.

R1MAxCzKCyOyW

1. Wykresem funkcji

f

jest łamana składająca się z czterech odcinków. Odcinek pierwszy jest ukośny, a jego końce leżą w zamalowanych punktach:

(- 6; 2)

oraz

(- 2; 0)

. Drugi odcinek jest pionowy i biegnie od punktu

(- 2; 0)

do punktu

(1; 1)

. Z tego punktu biegnie trzeci ukośny odcinek, którego prawy koniec znajduje się w punkcie

(4; 0)

. Stąd biegnie ostatni odcinek, którego prawy koniec znajduje się w punkcie

(5; 2)

. Liczba rozłącznych przedziałów, w których funkcja jest malejąca: Tu uzupełnij. Liczba rozłącznych przedziałów, w których funkcja jest stała: Tu uzupełnij. Liczba rozłącznych przedziałów, w których funkcja jest rosnąca: Tu uzupełnij.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RcCnBeHRNvcFu

2. Wykresem funkcji

h

jest zbiór pięciu rozłącznych odcinków. Pierwszy odcinek ma lewy koniec w zamalowanym punkcie

(- 6; 2)

oraz prawy koniec w niezamalowanym punkcie

(- 4; 2)

. Drugi odcinek ma lewy koniec w zamalowanym punkcie

(- 4; 2)

oraz prawy koniec w niezamalowanym punkcie

(0; 0)

. Trzeci odcinek ma lewy koniec w zamalowanym punkcie

(0; 3)

oraz prawy koniec w niezamalowanym punkcie

(1; 2)

. Czwarty odcinek ma lewy koniec w zamalowanym punkcie

(1; 0)

oraz prawy koniec w niezamalowanym punkcie

(3; 2)

. Piąty odcinek ma lewy koniec w zamalowanym punkcie

(3; 0)

oraz prawy koniec w zamalowanym punkcie

(4; - 1)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RlEaFkfget9so

3. Wykresem funkcji

k

jest zbiór pięciu odcinków. Pierwszy odcinek ma lewy koniec w zamalowanym punkcie

(- 5; 1)

oraz prawy koniec w niezamalowanym punkcie

(- 2; 3)

. Drugi odcinek ma lewy koniec w zamalowanym punkcie

(- 1; 2)

oraz prawy koniec w niezamalowanym punkcie

(1; - 1)

. Trzeci odcinek ma lewy koniec w zamalowanym punkcie

(1; 1)

oraz prawy koniec w niezamalowanym punkcie

(2; - 1)

. Czwarty odcinek ma lewy koniec w zamalowanym punkcie

(2; - 1)

oraz prawy koniec w niezamalowanym punkcie

(3; 3)

. Piąty odcinek ma lewy koniec w zamalowanym punkcie

(3; 2)

oraz prawy koniec w zamalowanym punkcie

(4; - 3)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.