Operating with Exponents

R1SI3r42jhkfA

Działania na potęgach

Learning objectives

You will develop the following competences: communicating in English, mathematical and basic competences in science and technology, IT, and learning skills.
You will consolidate and systematize your knowledge on the powers of natural, real numbers and positive and negative integers.

Learning effect

You will improve your efficiency in calculation of operations on powers with various exponents and their application to real situations.

RNdwF5CeYbyP41

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

During the lesson you will review the definitions of powers with a natural and integer exponent and the properties of operations on the powers.

The aim of the lesson is to consolidate and systematize knowledge about powers and the properties of operations on powersoperations on powersoperations on powers.

R1aEyS0W45aAG1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Analyse the material shown below and use the information to solve the tasks.

RJXgOA65kpay41

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Properties of operations on powersoperations on powersoperations on powers:

1. Multiplication of powers with the same base:

a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}, where a \in R ∖ \{0\}, n \in C, m \in C

2. Division of powers with the same base:

a^{n} : a^{m} = a^{n - m}, where a \in R ∖ \{0\}, n \in C, m \in C

3. Multiplication of powers with the same exponent:

a^{n} \cdot b^{n} = {(a \cdot b)}^{n}, where a \in R ∖ \{0\}, b \in R ∖ \{0\}, n \in C

4. Division of powers with the same exponent:

a^{n} : b^{n} = {(\frac{a}{b})}^{n}, where a \in R ∖ \{0\}, b \in R ∖ \{0\}, n \in C

5. The powerpower / exponentationpower of the powerpower / exponentationpower:

{(a^{n})}^{m} = a^{n \cdot m}, where a \in R ∖ \{0\}, n \in C, m \in C

Task 1

R1Gbj9sngIcEZ1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Match in pairs.


$5^{- 5}$	${(\frac{1}{5})}^{5}$
${(\frac{1}{5})}^{- 5}$	$5^{5}$
$3^{- 3} \cdot {(\frac{1}{9})}^{- 3}$	27
${(\frac{2}{3})}^{- 2} \cdot {(\frac{3}{4})}^{- 2}$	4
${(\frac{16}{3})}^{- 3} \cdot {(0, 75)}^{- 3}$	$\frac{1}{64}$
${(2, 6)}^{- 4} \cdot {(2, 6)}^{3}$	$\frac{5}{13}$
${(3^{- 2})}^{- 3} : 3^{9}$	$\frac{1}{27}$
${(4^{- 5})}^{2} : 4^{9}$	${(0, 5)}^{38}$
${({(\frac{3}{2})}^{4})}^{- 2} \cdot {({(\frac{2}{3})}^{- 2})}^{4}$	1
${({(0, 25)}^{5})}^{- 2} : {(4^{- 2})}^{5}$	$2^{40}$

Task 2

RlpbCuY6KEDC31

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Calculate the value of the expression:

a) $10^{4} \cdot 12^{- 2} \cdot 30^{- 1} \cdot 15^{2} =$

b) $\frac{4^{15} \cdot 100^{- 2} \cdot 25^{- 6}}{10^{4} \cdot 50^{- 3}} =$

c) $(1 - x) \cdot {(1 - x^{2})}^{- 1} \cdot {(1 - x^{3})}^{- 1} \cdot (1 - x^{6}), f o r x = 2^{- 1}$

Task 3

Which number is greater?

a) ${(- 2)}^{100} o r 2^{- 100}$

b) $5^{- 3} + 7^{- 3} o r {(5 + 7)}^{- 3}$

c) $\frac{7^{- 2}}{5^{2}} o r \frac{5^{2}}{7^{- 2}}$

d) ${(\frac{1}{2})}^{- 10} o r {(\frac{- 1}{2})}^{- 10}$

e) ${(- 1)}^{{(- 1)}^{(- 1)}} o r {(- 2)}^{(- 2)}$

f) ${({(- 1)}^{(- 2)})}^{- 3} o r {({(- 3)}^{(- 2)})}^{(- 1)}$

Task 4

Express the following in the form of a powerpower / exponentationpower.

a) $\frac{x^{4} \cdot x^{- 5}}{x^{- 6}} : \frac{x^{5}}{{(x^{- 4})}^{3}}$

b) $\frac{{(x^{4})}^{5} \cdot x^{6}}{{(x^{2})}^{6}} \cdot x^{- 3}$

c) $\frac{x^{- 24} \cdot x^{14}}{{(x^{- 4})}^{5}}$

Can these operations be always performed?

Task 5

RJmlLdz5nEUXM1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Analyse the material presented in the applet. When can you use exponential notationexponential notationexponential notation? Formulate the appropriate conclusions.

R7Dq9aMiLWr231

RnJnHcg8ztL4I1

Na rysunku znajdują się przykłady: a do potęgi sześć równa się a do potęgi trzy dodać znak zapytania, a do potęgi sześć równa się a do potęgi znak zapytania pomnożone przez a do potęgi trzy, a do potęgi sześć równa się nawias, w nawiasie a do potęgi trzy zamknąć nawias do potęgi znak zapytania. — Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

RmRBoQlJKzlSp1

Na rysunku znajdują się przykłady: a do potęgi znak zapytania równa się jeden, a do potęgi ułamek jednak trzecia równa się pierwiastek z a stopnia znak zapytania, a do potęgi ułamek dwie piąte równa się pierwiastek 5 stopnia z a do potęgi znak zapytania, pierwiastek piątego stopnia z a do kwadratu znak zapytania pierwiastek piątego stopnia z a całość do kwadratu. — Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Conclusion:

R18PoDMttgYca1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

We use exponential notationexponential notationexponential notation to write very small and very large numbers.

Task 6

R19DzqskkL71s1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Calculate the value of the expression, write the result in exponential notationexponential notationexponential notation.

a) $3, 5 \cdot 10^{24} \cdot 4, 2 \cdot 10^{15}$

b) $3, 9 \cdot 10^{- 21} + 12, 3 \cdot 10^{- 21}$

c) $2, 3 \cdot 10^{- 25} : 9, 2 \cdot 10^{- 28}$

d) $5, 7 \cdot 10^{- 23} - 0, 35 \cdot 10^{- 23}$

Task 7

Randnmtr5Ki0D1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Calculate.

a) $\frac{2^{- 2} + 8^{0}}{{(0, 25)}^{- 1} + 5 \cdot {(- 4)}^{- 1} + {(\frac{4}{9})}^{- 1}} + 6, 75$

b) $\frac{{[{[\frac{1}{4}]}^{- 1} - {[0, 5]}^{- 1}]}^{- 2}}{{(\frac{3}{8})}^{- 1} - {(\frac{3}{5})}^{- 1}}$

Task 8

An extra task:

Calculate $\frac{{(a^{2} \cdot b^{- 3})}^{- 2}}{a^{3} \cdot b^{4}}$ , calculate the value of the expression for $a = \frac{3^{- 2}}{3^{- 3}}, b = \frac{{(- 7)}^{0}}{9^{4}}$ .

R4zZNPdCAv8wA1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Do revision exercises.

Summarize the lesson and formulate conclusions to remember:

R7iS9kIxoF5BX1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

The base of powerbase of powerbase of power and the exponent cannot be zeros at the same time.
We write large and small numbers in exponential notationexponential notationexponential notation, i.e. in the form of the product of a number between 1 and 10 by the powerpower / exponentationpower of the number 10 with the integer exponent.
Exponentiation is a two‑argument operation that is a generalization of multiple element multiplication by itself. The multiplied element is called the base, and the number of multiplications (written in the upper index on the right side of the base) is called the exponent or the powerpower / exponentationpower.

Exercises

R1OBwzcbnhN7d1

Exercise 1

Determine which sentences are true.

${(- 3)}^{7} \cdot {(- 3)}^{- 2} = - 243$
${(\frac{3}{17})}^{- 3} : {(\frac{3}{17})}^{- 3} = 1$
$2^{100} + 2^{100} + 2^{100} + 2^{100} = 8^{100}$

Exercise 2

A. 1 cmIndeks górny 3 of lead weighs 11 g. How many balls with a diameter of 1 mm can be produced with 1 kg of lead?

B. The mass of a single hydrogen atom is 1,67 · 10Indeks górny -27 kg. How many hydrogen atoms are there in a 1g sample?

C. There are 7,525 · 10Indeks górny 23 iron atoms in the vessel. How many moles is it?

Exercise 3

Find in available sources who first introduced the contemporary power symbol and describe it in English.

ReA5sRUALY45k

Exercise 4

Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly.

potęga - power / exponentation
wykładnik potęgi - exponent of power
podstawa potęgi - base of power
notacja wykładnicza - base of power
działania na potęgach - exponent of power

zadanie

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

R1CZkLcdWk4QG1

Match Polish terms with their English equivalents.

base of power
operations on powers
podstawa potęgi
exponent of power
wykładnik potęgi
notacja wykładnicza
potęga
exponential notation
power / exponentation
działania na potęgach

Source: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Glossary

base of power

podstawa potęgi

RugRY0ntZ1jcK1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: base of power

exponent of power

wykładnik potęgi

R166jFrN7zGDx1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: exponent of power

exponential notation

notacja wykładnicza

RKuDDedWomj7X1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: exponential notation

operations on powers

działania na potęgach

RTAR8mBaV1m5U1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: operations on powers

power / exponentation

potęga

RBWcRjeToGSca1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: power / exponentation

Keywords

base of powerbase of powerbase of power

exponent of powerexponent of powerexponent of power

exponential notationexponential notationexponential notation – sposób zapisywania bardzo małych i bardzo dużych liczb w postaci iloczynu $a \cdot 10^{n}, a \in ⟨ 1, 10), n \in C$

operations on powersoperations on powersoperations on powers

power / exponentationpower / exponentationpower / exponentation

Scenariusz

Exercises

Glossary

Keywords