Scenariusz

Temat

Działania na potęgach

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

I. Liczby rzeczywiste. Uczeń:

1) wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych;

2) stosuje własności monotoniczności potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to aIndeks górny x < aIndeks górny y, zaś gdy x < y i 0 < a , 1, to aIndeks górny x > aIndeks górny y.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Rozwijanie sprawności rachunkowej w zakresie wykonywania działań na potęgach.

3. Utrwalenie i usystematyzowanie wiadomości o potęgach.

Efekty uczenia

Uczeń:

- wykonuje działania na potęgach,

- wykorzystuje prawa działań na potęgach w sytuacjach praktycznych.

Metody kształcenia

1. Mapa myśli.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie w domu przypominają sobie najważniejsze własności działań na potęgach.

Uczniowie tworzą mapę myśli. Po zakończonej pracy, uczniowie prezentują swoje plansze i umieszczają je na tablicy.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest utrwalenie i usystematyzowanie wiadomości o potęgach oraz praw działań na potęgach.

Polecenie
Przeanalizuj materiał przedstawiony i wykorzystaj przypomniane wiadomości do rozwiązania zadań.

Prawa działań na potęgach.

1. Mnożenie potęg o tej samej podstawie:

a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}, w h e r e a \in R ∖ {0}, n \in C, m \in C

2. Dzielenie potęg o tej samej podstawie:

a^{n} : a^{m} = a^{n - m}, w h e r e a \in R ∖ {0}, n \in C, m \in C

3. Mnożenie potęg o tym samym wykładniku:

a^{n} \cdot b^{n} = {(a \cdot b)}^{n}, w h e r e a \in R ∖ {0}, b \in R ∖ {0}, n \in C

4. Dzielenie potęg o tym samym wykładniku:

a^{n} : b^{n} = {(\frac{a}{b})}^{n}, w h e r e a \in R ∖ {0}, b \in R ∖ {0}, n \in C

5. Potęgowanie potęgi:

{(a^{n})}^{m} = a^{n \cdot m}, w h e r e a \in R ∖ {0}, n \in C, m \in C

Polecenie
Połącz w pary.


$5^{- 5}$	${(\frac{1}{5})}^{5}$
${(\frac{1}{5})}^{- 5}$	$5^{5}$
$3^{- 3} \cdot {(\frac{1}{9})}^{- 3}$	27
${(\frac{2}{3})}^{- 2} \cdot {(\frac{3}{4})}^{- 2}$	4
${(\frac{16}{3})}^{- 3} \cdot {(0, 75)}^{- 3}$	$\frac{1}{64}$
${(2, 6)}^{- 4} \cdot {(2, 6)}^{3}$	$\frac{5}{13}$
${(3^{- 2})}^{- 3} : 3^{9}$	$\frac{1}{27}$
${(4^{- 5})}^{2} : 4^{9}$	${(0, 5)}^{38}$
${({(\frac{3}{2})}^{4})}^{- 2} \cdot {({(\frac{2}{3})}^{- 2})}^{4}$	1
${({(0, 25)}^{5})}^{- 2} : {(4^{- 2})}^{5}$	$2^{40}$

Polecenie
Oblicz wartość wyrażenia.

a) $10^{4} \cdot 12^{- 2} \cdot 30^{- 1} \cdot 15^{2} =$

b) $\frac{4^{15} \cdot 100^{- 2} \cdot 25^{- 6}}{10^{4} \cdot 50^{- 3}} =$

c) $(1 - x) \cdot {(1 - x^{2})}^{- 1} \cdot {(1 - x^{3})}^{- 1} \cdot (1 - x^{6}), f o r x = 2^{- 1}$

Polecenie
Uczniowie w zespołach trzyosobowych rozwiązują następujące zadania.

A. Która z liczb jest większa?

a) ${(- 2)}^{100} o r 2^{- 100}$

b) $5^{- 3} + 7^{- 3} o r {(5 + 7)}^{- 3}$

c) $\frac{7^{- 2}}{5^{2}} o r \frac{5^{2}}{7^{- 2}}$

d) ${(\frac{1}{2})}^{- 10} o r {(\frac{- 1}{2})}^{- 10}$

e) ${(- 1)}^{{(- 1)}^{(- 1)}} o r {(- 2)}^{(- 2)}$

f) ${({(- 1)}^{(- 2)})}^{- 3} o r {({(- 3)}^{(- 2)})}^{(- 1)}$

B. Przedstaw w postaci jednej potęgi.

a) $\frac{x^{4} \cdot x^{- 5}}{x^{- 6}} : \frac{x^{5}}{{(x^{- 4})}^{3}}$

b) $\frac{{(x^{4})}^{5} \cdot x^{6}}{{(x^{2})}^{6}} \cdot x^{- 3}$

c) $\frac{x^{- 24} \cdot x^{14}}{{(x^{- 4})}^{5}}$

Czy zawsze można wykonać powyższe działania?

Uczniowie, pracując samodzielnie, analizują materiał przedstawiony w Aplecie geogebry – zapisywanie małych i dużych liczb w notacji wykładniczej. Stosują poznane wiadomości do rozwiązania zadań.

Polecenie
Przeanalizuj materiał przedstawiony w aplecie. Kiedy można stosować notację wykładniczą? Sformułuj odpowiedni wniosek.

[Geogebra aplet]

Wniosek:

- Do zapisu dużych i małych liczb stosuje się notację wykładniczą.

Polecenie
Oblicz wartość wyrażenia, wynik zapisz w notacji wykładniczej.

a) $3, 5 \cdot 10^{24} \cdot 4, 2 \cdot 10^{15}$

b) $3, 9 \cdot 10^{- 21} + 12, 3 \cdot 10^{- 21}$

c) $2, 3 \cdot 10^{- 25} : 9, 2 \cdot 10^{- 28}$

d) $5, 7 \cdot 10^{- 23} - 0, 35 \cdot 10^{- 23}$

Polecenie
Oblicz.

a) $\frac{2^{- 2} + 8^{0}}{{(0, 25)}^{- 1} + 5 \cdot {(- 4)}^{- 1} + {(\frac{4}{9})}^{- 1}} + 6, 75$

b) $\frac{{[{[\frac{1}{4}]}^{- 1} - {[0, 5]}^{- 1}]}^{- 2}}{{(\frac{3}{8})}^{- 1} - {(\frac{3}{5})}^{- 1}}$

Po rozwiązaniu wszystkich zadań, uczniowie przedstawiają uzyskane wyniki. Nauczyciel ocenia pracę uczniów, wyjaśnia wątpliwości.

Polecenie dla chętnych:
Oblicz $\frac{{(a^{2} \cdot b^{- 3})}^{- 2}}{a^{3} \cdot b^{4}}$ , oblicz wartość tego wyrażenia dla $a = \frac{3^{- 2}}{3^{- 3}}, b = \frac{{(- 7)}^{0}}{9^{4}}$ .

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wnioski do zapamiętania.

- Podstawa potęgi i wykładnik nie mogą być jednocześnie zerami.

- Duże i małe liczby zapisujemy w notacji wykładniczej, tzn. w postaci iloczynu liczby zawartej między 1 i 10 przez potęgę liczby 10 o wykładniku całkowitym.

- Potęgowanie to działanie dwuargumentowe będące uogólnieniem wielokrotnego mnożenia elementu przez siebie. Potęgowany element nazywa się podstawą, zaś liczba mnożeń (zapisywana w indeksie górnym po prawej stronie podstawy) nosi nazwę wykładnika.

Operating with Exponents

Lesson plan

Temat

Etapy lekcji