Opisywanie i rozwiązywanie za pomocą układów równań zadań z kontekstem praktycznym

Zadania tekstowe z wykorzystaniem układów równań będziemy rozwiązywać w następujących etapach:

analiza zadania,
układ równań i jego rozwiązanie,
sprawdzenie rozwiązania układu równań z warunkami zadania,
zapisanie odpowiedzi.

Przykład 1

W nadmorskim pensjonacie znajdują się pokoje dwuosobowe, trzyosobowe i czteroosobowe. Razem wszystkich pokoi jest $90$ . Pensjonat może przyjąć $236$ wczasowiczów. Ile jest pokoi trzyosobowych, a ile czteroosobowych, jeżeli pokoi dwuosobowych jest $44$ ?

Analiza zadania.

Oznaczmy przez $x$ liczbę pokoi trzyosobowych, a przez $y$ liczbę pokoi czteroosobowych.

Liczba wszystkich pokoi	Liczba pokoi dwuosobowych	Liczba pokoi trzyosobowych	Liczba pokoi czteroosobowych
$90$	$44$	$x$	$y$

Liczba miejsc we wszystkich pokojach	Liczba miejsc w pokojach dwuosobowych	Liczba miejsc w pokojach trzyosobowych	Liczba miejsc w pokojach czteroosobowych
$236$	$2 \cdot 44$	$3 \cdot x$	$4 \cdot y$

Układ równań i jego rozwiązanie.

Aby rozwiązać to zadanie musimy rozwiązać następujący układ równań:

\{\begin{cases} x + y + 44 = 90 \\ 3 x + 4 y + 88 = 236 \end{cases}

Rozwiązanie układu:

\{\begin{cases} x + y = 46 \\ 3 x + 4 y = 148 \end{cases}

\{\begin{cases} x = 46 - y \\ 3 (46 - y) + 4 y = 148 \end{cases}

\{\begin{cases} x = 46 - y \\ 138 - 3 y + 4 y = 148 \end{cases}

\{\begin{cases} x = 46 - y \\ y = 10 \end{cases}

\{\begin{cases} x = 36 \\ y = 10 \end{cases}

Sprawdzenie rozwiązania układu równań z warunkami zadania.

Podstawiamy nasz wynik do równań z układu, aby sprawdzić czy równości zachodzą.

44 + 36 + 10 = 90

3 \cdot 36 + 4 \cdot 10 + 2 \cdot 44 = 236

Obliczenia wskazują, że otrzymany wynik spełnia warunki z zadania.

Zapisanie odpowiedzi.

Odpowiedź: W pensjonacie jest $36$ pokoi trzyosobowych i $10$ pokoi czteroosobowych.

Przykład 2

Suma cyfr w pewnej liczbie dwucyfrowej jest równa $10$ . Znajdź tę liczbę, wiedząc, że jeżeli przestawimy w niej cyfry, to otrzymamy liczbę o $18$ mniejszą.

Analiza zadania.

Oznaczmy przez $x$ cyfrę dziesiątek szukanej liczby dwucyfrowej, a przez $y$ cyfrę jedności szukanej liczby dwucyfrowej, a następnie zapiszmy tę liczbę w systemie dziesiątkowym.

Liczba dwucyfrowa	Cyfra dziesiątek	Cyfra jedności	Liczba
Pierwsza liczba dwucyfrowa	$x$	$y$	$10 x + y$
Druga liczba dwucyfrowa	$y$	$x$	$10 y + x$

Układ równań i jego rozwiązanie.

Aby rozwiązać to zadanie musimy rozwiązać następujący układ równań:

\{\begin{cases} x + y = 10 \\ 10 x + y = 10 y + x + 18 \end{cases}

Rozwiązanie układu:

\{\begin{cases} x + y = 10 \\ 9 x - 9 y = 18 \end{cases}

\{\begin{cases} x = 10 - y \\ x - y = 2 \end{cases}

\{\begin{cases} x = 10 - y \\ (10 - y) - y = 2 \end{cases}

\{\begin{cases} x = 10 - y \\ - 2 y = - 8 \end{cases}

\{\begin{cases} x = 10 - y \\ y = 4 \end{cases}

\{\begin{cases} x = 6 \\ y = 4 \end{cases}

Sprawdzenie rozwiązania układu równań z warunkami zadania.

Podstawiamy nasz wynik do równań z układu, aby sprawdzić czy równości zachodzą.

4 + 6 = 10

10 \cdot 6 + 4 = 64 = 10 \cdot 4 + 6 + 18

Obliczenia wskazują, że otrzymany wynik spełnia warunki z zadania.

Zapisanie odpowiedzi.

Odpowiedź: Ta liczba to $64$ .

Ćwiczenie 1

R16GTQtcdtU741

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy przez $x$ licznik tego ułamka, a przez $y$ mianownik tego ułamka. Aby znaleźć ten ułamek wystarczy rozwiązać układ równań:

\{\begin{cases} x + y = 22 \\ y = 2 x + 1 \end{cases}

Ćwiczenie 2

RmcwYzudl2SEX1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy przez $x$ większą liczbę, a przez $y$ mniejszą liczbę. Aby znaleźć te liczby wystarczy rozwiązać układ równań:

\{\begin{cases} x + y = 100 \\ x - 3 = y + 3 \end{cases}

Ćwiczenie 3

Rmz72PDAynpNG1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy przez $x$ większą liczbę, a przez $y$ mniejszą liczbę. Aby znaleźć te liczby wystarczy rozwiązać układ równań:

\{\begin{cases} x - y = 20 \\ x + 10 = 3 \cdot y \end{cases}

Ćwiczenie 4

RavZwLgr1YtMd2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy przez $x$ cyfrę dziesiątek, a przez $y$ cyfrę jedności. Aby znaleźć tą liczbę wystarczy rozwiązać układ równań:

\{\begin{cases} (10 \cdot x + y) : 2 = x + y \\ x + 7 = y \end{cases}

Ćwiczenie 5

Ri6OxkBmBXUUX2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy przez $x$ cyfrę dziesiątek, a przez $y$ cyfrę jedności. Aby znaleźć tą liczbę wystarczy rozwiązać układ równań:

\{\begin{cases} x + y = 15 \\ x \cdot 10 + y = (y \cdot 10 + x) - 9 \end{cases}

Ćwiczenie 6

RxVprblgpqm372

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy przez $x$ wiek Ani, a przez $y$ wiek Bartka. Aby wyznaczyć wiek Ani i Bartka wystarczy rozwiązać układ równań:

\{\begin{cases} 3 (x - 2) = y - 2 \\ 2 (x + 8) = y + 8 \end{cases}

Ćwiczenie 7

R13xYq9E2Cw3A2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy przez $x$ wiek Adama, a przez $y$ wiek mamy Adama. Aby wyznaczyć wiek Adama wystarczy rozwiązać układ równań:

\{\begin{cases} x + 26 = y \\ 3 x = y \end{cases}

Ćwiczenie 8

RBWfPTRe4fcF82

Mama jest

4

razy starsza od swojego syna. Sześć lat temu była od niego

7

razy starsza.
Uzupełnij odpowiedzi na poniższe pytania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Ile lat ma mama, a ile syn?
Odpowiedź: Mama ma 1.

8

, 2.

60

, 3.

10

, 4.

45

, 5.

6

, 6.

48

, 7.

12

, 8.

4

, 9.

16

lat, a syn ma 1.

8

, 2.

60

, 3.

10

, 4.

45

, 5.

6

, 6.

48

, 7.

12

, 8.

4

, 9.

16

lat.
Za ile lat mama będzie

3

razy starsza od syna?
Odpowiedź: Mama będzie

3

razy starsza od syna za 1.

8

, 2.

60

, 3.

10

, 4.

45

, 5.

6

, 6.

48

, 7.

12

, 8.

4

, 9.

16

lat.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy przez $x$ wiek syna, a przez $y$ wiek mamy. Aby wyznaczyć wiek tych osób wystarczy rozwiązać układ równań:

\{\begin{cases} 4 x = y \\ 7 (x - 6) = y - 6 \end{cases}

Ćwiczenie 9

R1uRuxKlidNiy2

Na obóz harcerski wyjechało

176

osób. Stosunek liczby harcerek do liczby harcerzy jest równy

4 : 7

. Ile dziewcząt i ilu chłopców wyjechało na ten obóz?
Uzupełnij luki w odpowiedzi. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną liczbę. Odpowiedź: Liczba harcerek, które wyjechały na ten obóz to 1.

68

, 2.

122

, 3.

114

, 4.

64

, 5.

112

, 6.

102

, 7.

54

, 8.

64

,a liczba harcerzy, którzy wyjechali na ten obóz to 1.

68

, 2.

122

, 3.

114

, 4.

64

, 5.

112

, 6.

102

, 7.

54

, 8.

64

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy przez $x$ liczbę harcerek, a przez $y$ liczbę harcerzy, którzy pojechali na ten obóz. Aby wyznaczyć ile harcerek i ilu harcerzy pojechało na obóz wystarczy rozwiązać układ równań:

\{\begin{cases} x + y = 176 \\ 4 x = 7 y \end{cases}

Ćwiczenie 10

R1EUzfZOQRROd2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy przez $x$ wysokość kieszonkowego Marka, a przez $y$ wysokość kieszonkowego Ali. Aby wyznaczyć jakie kieszonkowe otrzymywało rodzeństwo wystarczy rozwiązać układ równań:

\{\begin{cases} 12 x + 12 y = 660 \\ x + 15 = y \end{cases}

Ćwiczenie 11

RwO9LOKY8lI4F2

Marysia, kupując w księgarni ołówek i długopis, zapłaciła

5, 20 zł

. Justyna, kupując

4

takie same ołówki i taki sam długopis, zapłaciła

8,80 zł

. Ile kosztował długopis, a ile ołówek?
Uzupełnij luki w odpowiedzi. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną liczbę. Odpowiedź: Cena ołówka wynosi 1.

1, 8

, 2.

1, 4

, 3.

1, 2

, 4.

6

, 5.

2

, 6.

8

, 7.

1, 6

, 8.

4

zł

, a cena długopisu 1.

1, 8

, 2.

1, 4

, 3.

1, 2

, 4.

6

, 5.

2

, 6.

8

, 7.

1, 6

, 8.

4

zł

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy przez $x$ cenę ołówka, a przez $y$ cenę długopisu. Aby wyznaczyć ceny obu tych przedmiotów wystarczy rozwiązać układ równań:

\{\begin{cases} x + y = 5, 20 \\ 4 x + y = 8, 80 \end{cases}

Ćwiczenie 12

RzSCdfsJ7UkcW2

Klasy pierwsze zaplanowały wyjazd integracyjny do pewnego gospodarstwa agroturystycznego, które dysponuje tylko pokojami dwuosobowymi i trzyosobowymi. W wyjeździe będzie uczestniczyć

97

uczniów, dla których zarezerwowano

36

pokoi. Ile pokoi dwuosobowych, a ile trzyosobowych zarezerwowano, jeżeli w każdym pokoju będzie mieszkać maksymalna liczba osób?
Uzupełnij luki w odpowiedzi, wpisując odpowiednie liczby. Odpowiedź: Zarezerwowano Tu uzupełnij pokoi dwuosobowych i Tu uzupełnij pokoi trzyosobowych.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy przez $x$ liczbę pokoi dwuosobowych, a przez $y$ liczbę pokoi trzyosobowych. Aby wyznaczyć liczbę zarezerwowanych pokoi dwuosobowych i trzyosobowych wystarczy rozwiązać układ równań:

\{\begin{cases} 2 x + 3 y = 97 \\ x + y = 36 \end{cases}

Ćwiczenie 13

R1BqtcnCkhguG2

Mama i córka ważą razem

80 kg

. Jeżeli córka schudnie

1 kg

, a mama przytyje

1 kg

, to córka będzie trzy razy lżejsza od mamy. Ile waży mama, a ile córka?
Uzupełnij luki w odpowiedzi. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną liczbę. Odpowiedź: Mama waży 1.

25

, 2.

19

, 3.

60

, 4.

56

, 5.

23

, 6.

59

, 7.

54

, 8.

21

kg

, a córka 1.

25

, 2.

19

, 3.

60

, 4.

56

, 5.

23

, 6.

59

, 7.

54

, 8.

21

kg

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy przez $x$ wagę mamy, a przez $y$ wagę córki. Aby wyznaczyć wagi mamy i córki wystarczy rozwiązać układ równań:

\{\begin{cases} x + y = 80 \\ x + 1 = 3 (y - 1) \end{cases}

Ćwiczenie 14

R179IW3jHecnr2

Na zajęcia tańca towarzyskiego uczęszczają dziewczęta i chłopcy, przy czym dziewcząt jest o

12

więcej niż chłopców. Gdyby ośmiu chłopców zrezygnowało z zajęć, to dziewcząt byłoby dwa razy więcej niż chłopców. Ile dziewcząt, a ile chłopców uczęszcza na zajęcia taneczne?
Uzupełnij luki w odpowiedzi, wpisując odpowiednie liczby. Odpowiedź: Na zajęcia taneczne uczęszcza Tu uzupełnij dziewcząt i Tu uzupełnij chłopców.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy przez $x$ liczbę dziewcząt, a przez $y$ liczbę chłopców. Aby dowiedzieć się ilu chłopców i ile dziewczynek uczęszcza na zajęcia taneczne wystarczy rozwiązać układ równań:

\{\begin{cases} y = x + 12 \\ y = 2 (x - 8) \end{cases}

Ćwiczenie 15

RhQymp7uonD7u2

Do przewiezienia żwiru potrzeba

28

samochodów ciężarowych. Ile potrzeba samochodów o ładowności

4

ton i

7

ton, jeżeli łączna masa załadunku to

163

tony?
Uzupełnij luki w odpowiedzi. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną liczbę. Odpowiedź: Potrzeba 1.

15

, 2.

20

, 3.

9

, 4.

17

, 5.

13

, 6.

16

, 7.

19

, 8.

11

samochodów o ładowności

4

ton i 1.

15

, 2.

20

, 3.

9

, 4.

17

, 5.

13

, 6.

16

, 7.

19

, 8.

11

samochodów o ładowności

7

ton.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy przez $x$ liczbę samochodów o ładowności $4$ ton, a przez $y$ liczbę samochodów o ładowności $7$ ton. Aby poznać liczbę poszczególnych samochodów potrzebnych do przewiezienia żwiru wystarczy rozwiązać układ równań:

\{\begin{cases} x + y = 28 \\ 4 x + 7 y = 163 \end{cases}

Ćwiczenie 16

RjiGxvAjEUWGs2

W dwóch pudełkach znajduje się pewna liczba jednakowych cukierków, razem

138

sztuk. Jeżeli z pierwszego pudełka przełożymy

4

cukierki do drugiego, to w obu pudełkach będzie tyle samo cukierków. Ile cukierków znajduje się w każdym z pudełek?
Uzupełnij luki w odpowiedzi, wpisując odpowiednie liczby. Odpowiedź: W pierwszym pudełku znajduje się Tu uzupełnij cukierków, a w drugim pudełku znajdują się Tu uzupełnij cukierki.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy przez $x$ liczbę cukierków w pierwszym pudełku, a przez $y$ liczbę cukierków w drugim pudełku. Aby poznać liczbę cukierków w każdym z pudełek wystarczy rozwiązać układ równań:

\{\begin{cases} x + y = 138 \\ x - 4 = y + 4 \end{cases}

Ćwiczenie 17

Prostokąt i trójkąt mają równe obwody, które wynoszą $22$ . Znajdź długości boków tych figur.

R1JO912UEPgHs1

Rysunek trójkąta o bokach długości 3x, 2x +y, y +2 oraz prostokąta o bokach długości x, 2y -1. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RCiIk5YA7ZuAT

Uzupełnij luki w zdaniach podanymi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawną odpowiedź w każdym przypadku. Długości boków trójkąta od najmniejszego do największego to: 1.

6

, 2.

2

, 3.

4

, 4.

7

, 5.

3

, 6.

10

, 7.

7

, 8.

1

, 9.

9

, 10.

6

, 11.

9

, 12.

5

, 1.

6

, 2.

2

, 3.

4

, 4.

7

, 5.

3

, 6.

10

, 7.

7

, 8.

1

, 9.

9

, 10.

6

, 11.

9

, 12.

5

, 1.

6

, 2.

2

, 3.

4

, 4.

7

, 5.

3

, 6.

10

, 7.

7

, 8.

1

, 9.

9

, 10.

6

, 11.

9

, 12.

5

.
Długości boków prostokąta od najmniejszego do największego to: 1.

6

, 2.

2

, 3.

4

, 4.

7

, 5.

3

, 6.

10

, 7.

7

, 8.

1

, 9.

9

, 10.

6

, 11.

9

, 12.

5

, 1.

6

, 2.

2

, 3.

4

, 4.

7

, 5.

3

, 6.

10

, 7.

7

, 8.

1

, 9.

9

, 10.

6

, 11.

9

, 12.

5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Aby poznać długości poszczególnych boków wystarczy rozwiązać układ równań:

\{\begin{cases} 3 x + (2 x + 4) + (y + 2) = 22 \\ 2 \cdot (2 y - 1) + 2 \cdot x = 22 \end{cases}

Ćwiczenie 18

R4WqFWriazUsn3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy przez $x$ cyfrę setek, przez $y$ cyfrę dziesiątek, a przez $z$ cyfrę jedności. Aby znaleźć szukaną liczbę wystarczy rozwiązać układ równań:

\{\begin{cases} x + y + z = 14 \\ 2 z = x \\ y + 1 = x \end{cases}

Ćwiczenie 19

RWAWHXAVXXa0I3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy przez $x$ najmniejszą liczbę, przez $y$ środkową liczbę, a przez $z$ największą liczbę. Aby znaleźć szukane liczby wystarczy rozwiązać układ równań:

\{\begin{cases} \frac{x + y + z}{3} = 34 \\ z = 2 x \\ x + 6 = y \end{cases}