Szczególne trójkąty prostokątne

Learning objectives

• You will learn to identify the properties of right‑angled and isosceles triangles.

• You will learn to identify the properties of right‑angled triangles whose acute angles are 30° and 60°.

Learning effect

• You identify the properties of right‑angled and isosceles triangles.

• You identify the properties of right‑angled triangles whose acute angles are 30° and 60°.

Task 1

RI7DInSWjdRV71

nagranie abstraktu

nagranie abstraktu

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

Observe how the length of the diagonal of the squarediagonal of the squarediagonal of the square changes depending on the length of the side. Determine the formula for the diagonal of the squaresquaresquare whose side is $a$ and the analogical relation for a right‑angled and isosceles triangle.

R90XpODfPY6JW1

Geogebra aplet - przekątna kwadratu. Galeria z opisami alternatywnymi poniżej.

Geogebra aplet - przekątna kwadratu. Galeria z opisami alternatywnymi poniżej.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DI3HuEiW5

R1dcIYU7zcC2O1

Na rysunku znajduje się kwadrat o boku 1. Zaznaczona przekątna ma długość pierwiastek z dwóch.

R14K7fsCXwNaa1

Na rysunku znajduje się kwadrat o boku 3. Zaznaczona przekątna ma długość trzy pierwiastki z dwóch.

Conclusion:

• The diagonal of the squarediagonal of the squarediagonal of the square whose side is $a$ is equal to $a\sqrt{2}$.

• In the right‑angled triangleright‑angled triangleright‑angled triangle whose cathetuses are equal to $a$, the hypotenusehypotenusehypotenuse is equal to $a\sqrt{2}$ .

Rm3IFgYP5QS7S1

Rysunek trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnych długości a i przeciwprostokątnej a pierwiastek z dwóch. Kąty przy podstawie mają miarę 45 stopni.

Use the relevant formulas in the following exercises.

Conclusion:

In the right‑angled triangleright‑angled triangleright‑angled triangle whose acute angles are 30°, 60° and whose hypotenusehypotenusehypotenuse is $2a$:

• the cathetusecathetusecathetuse located opposite to the angle 30° is equal to $a$.

• the cathetuse located opposite to the angle 60° is equal to $a\sqrt{3}$.

RdHEsn0XOM79P1

Rysunek trójkąta prostokątnego o kątach 30 stopni, 60 stopni i 90 stopni. Długość przeciwprostokątnej 2a. Długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta 30 stopni a. Długość przyprostokątnej leżącej przy kącie 30 stopni a pierwiastek z trzech.

Use the defined properties in exercises.

Task 6

Ru6R53Uf7CXLg1

nagranie abstraktu

nagranie abstraktu

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

Calculate the perimeter of the triangle presented in the picture:

R1UwIpvZzgYmg1

Na rysunku przedstawione są trzy trójkąty prostokątne. W punkcie a - trójkąt o przyprostokątnej długości 4 i kącie na przeciwko tej przyprostokątnej równym 30 stopni, w punkcie b - trójkąt o przyprostokątnej długości 3,5 pierwiastek kwadratowy z 3 i kącie na przeciwko tej przyprostokątnej równym 60 stopni, w punkcie c - trójkąt o przeciwprostokątnej długości 10 i kącie przy tej przeciwprostokątnej równym 30 stopni.

Do the revision exercises.

Exercises

Exercise 1

RZkutAHAh8hBe1

Na rysunku przedstawione są trzy równoramienne trójkąty prostokątne. W punkcie a trójkąt o przyprostokątnej równej x i przeciwprostokątnej równej trzy pierwiastki z dwóch, w punkcie b trójkąt o przyprostokątnej równej 7 i przeciwprostokątnej równej x, w punkcie c trójkąt przeciwprostokątnej równej 4 i wysokości puszczonej na przeciwprostokątną równej x.

RaetMitXwxT7z

Wersja alternatywna ćwiczenia: The triangles in the drawings are rectangular and isosceles. Determine which sentences are true. Możliwe odpowiedzi: 1. $x=3$ for triangle 'a'., 2. $x=7\sqrt{2}$ for triangle 'b', 3. $x=\sqrt{2}$ for triangle 'c'.

Wersja alternatywna ćwiczenia: The triangles in the drawings are rectangular and isosceles. Determine which sentences are true. Możliwe odpowiedzi: 1. $x=3$ for triangle 'a'., 2. $x=7\sqrt{2}$ for triangle 'b', 3. $x=\sqrt{2}$ for triangle 'c'.

The triangles in the drawings are rectangular and isosceles. Determine which sentences are true.

• $x=3$ for triangle 'a'.
• $x=7\sqrt{2}$ for triangle 'b'
• $x=\sqrt{2}$ for triangle 'c'.

Glossary

Keywords

cathetusecathetusecathetuse

diagonal of the squarediagonal of the squarediagonal of the square

hypotenusehypotenusehypotenuse

particular types of right‑angled trianglesparticular types of right‑angled trianglesparticular types of right‑angled triangles

Pythagorean theoremPythagorean theoremPythagorean theorem - if a and b are the lengths of the cathetuses and c is the length of the hypotenuse in a right‑angled triangle then: aIndeks górny 2  Indeks górny koniec² + bIndeks górny 2  Indeks górny koniec² = cIndeks górny 2²