R1SI3r42jhkfA

Plots of unusual functions

Source: licencja: CC 0.

Wykresy nietypowych funkcji

Learning objectives

You will learn properties of some unusual functions.

You will learn to draw plots of unusual functions.

Learning effect

  • You learn properties of some unusual functions.

  • You draw plots of unusual functions.

RANX6C897OSO91
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Revise information about functions.
The subject of the lesson is to learn properties of some unusual functions. Look for information about the phrase ‘an integer part of xinteger part of xinteger part of x’ in available knowledge sources. Formulate a definition.

The integer part of x
Definition: The integer part of x
RcCgItBj1CVSW1
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

The integer part of xinteger part of xinteger part of x is the greatest integer number not greater than x. It is denoted as [x].

Task 1
RAGShm3sIIV7R1
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Calculate using the definition:

  1. [7,54]

  2. [-2,43]

  3. [0,235]

R12M68lwimI8c1
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Analyse the Interactive illustration 1. Read properties of the functionfunctionfunction f(x) = [x] from the plotplotplot. Write them as conclusions.

R1VahkY1PrbjL
Ilustracja interaktywna przedstawia wykres funkcji. Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, zaś zbiorem wartości jest zbiór liczb całkowitych. Wykres tej funkcji składa się z odcinków o długości jeden na przedziałach lewostronnie zamkniętych od x do x dodać jeden. Na ilustracji widoczne są numery, a na nich podpisy. 1. The plot of the function f(x)=[x]. {audio}
The plot of the function f(x)=[x]
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
R4FfZCLLSY8BL1
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

  1. The domain of the functiondomain of the functiondomain of the function f(x) = [x] is the set of real numbersreal numbersreal numbers.

  2. The rangerangerange is the set of integer numbers.

  3. It is a non‑decreasing function.

  4. It is not an odd or even functionfunctionfunction.

Task 2
Rd2EqsORRMT8c
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Draw the plots of functions:

  1. f(x) = [2x]

  2. f(x) = [-3x + 2]

R1RvQDx2if36z1
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Look for information about the function f(x) = sgn(x) in available knowledge sources. Give definitions of this functionfunctionfunction.

Signum
Definition: Signum
RRek5XPzc8l6u1
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Signum (lat. Signum „sign”) – the functionfunctionfunction of the real variable, defined as follows:

sgn(x)=-1 for x<00 for x=01 for x>0
R14XuP1tGw1Ym1
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Analyse the Interactive illustration 2. Read properties of the functionfunctionfunction f(x) = sgn(x) from the plotplotplot. Write them as conclusions.

RThXUcyhGvdA4
Ilustracja interaktywna przedstawia wykres funkcji. Funkcja ta na przedziale obustronnie otwartym od minus nieskończoności do zera jest półprostą y równa się minus jeden. Funkcja ta dla x równego ero przyjmuje wartość zero. Funkcja ta na przedziale obustronnie otwartym od zera do nieskończoności jest półprostą y równa się jeden. Na ilustracji widoczne są numery, a na nich podpisy. 1. The plot of the function f(x)=sgn(x). {audio}
The plot of the function f(x)=sgn(x)
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
R2H2g26rVTN7i1
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Properties of functionfunctionfunction f(x) = sgn(x):

  1. The domain of the functiondomain of the functiondomain of the function is the set of real numbersreal numbersreal numbers.

  2. The rangerangerange is {- 1, 0, 1}.

  3. The function has one rootrootroot x = 0.

  4. The functionfunctionfunction is odd, non‑decreasing, non‑injective.

Task 3
R12xeICnqOCze1
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Draw the plot of the functionplot of the functionplot of the function f and describe its properties:

  1. f(x)=sgn(x), x∈⟨−4,5⟩

  2. f(x)=sgn(x), x∈⟨0,6⟩

  3. f(x)=-(sgn(x)), x∈⟨−∞,5⟩

Task 4
R1DmzPOXJnwic1
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Draw the plot of the functionplot of the functionplot of the function f, given its roots and rangerangerange:

  1. f(x)=[x], x∈⟨-4,6⟩

  2. f(x)=[x], x∈⟨-2,8)

Task 5

An extra task:

R2RqhzBXCz7Me1
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Draw the plot of the functionplot of the functionplot of the function f(x)=x-[x], x∈-7;6 and describe its properties.

R14K07FE7Dckd1
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

After having completed all tasks, do the revision exercises.
Formulate conclusions to remember.

R9fJpXUH85edB1
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

  • The integer part of xinteger part of xinteger part of x is the greatest integer number not greater than x. It is denoted as [x].

  • Signum (lat. Signum „sign”) – the functionfunctionfunction of the real variable, defined as follows:

sgn(x)=-1 for x<00 for x=01 for x>0

Exercises

Exercise 1
RpyZawysOqJty
Wersja alternatywna ćwiczenia: Determine which sentence is true. Możliwe odpowiedzi: 1. The function fx=sgn3x-7 for x=5 takes the value 1., 2. The value 0 of the function fx=sgn-2x+6 is taken for x=4.

Determine which sentence is true.

  • The function fx=sgn3x-7 for x=5 takes the value 1.
  • The value 0 of the function fx=sgn-2x+6 is taken for x=4.
zadanie
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Exercise 2

Draw the plot of the function f(x)=-(x-[x]), x∈-6,3. Describe its properties, give its roots and range.

Exercise 3

Describe in English properties of the function f(x)=x.

Exercise 4
RLLIudecg75ds
Wersja alternatywna ćwiczenia: Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly. Możliwe odpowiedzi: 1. dziedzina funkcji - domain of the function, 2. zbiór wartości funkcji - range of the functio, 3. wykres funkcji - plot of the function, 4. funkcja signum - signum function, 5. zbiór wartości funkcji - domain of the function, 6. dziedzina funkcji - range of the functio

Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly.

  • dziedzina funkcji - domain of the function
  • zbiór wartości funkcji - range of the functio
  • wykres funkcji - plot of the function
  • funkcja signum - signum function
  • zbiór wartości funkcji - domain of the function
  • dziedzina funkcji - range of the functio
zadanie
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
RMOLSnt1nRSEY1
Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Match Polish terms with their English equivalents.
  • funkcja całość z x
  • the signum function
  • the plot of the function
  • wykres funkcji
  • the domain of the function
  • dziedzina funkcji
  • the integer part of x
  • zbiór wartości funkcji
  • funkcja signum
  • the range of the function
Source: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Glossary

domain of the function
domain of the function

dziedzina funkcji

RCtvGdP1GjE511
wymowa w języku angielskim: domain of the function
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: domain of the function

function
function

funkcja

RVbnhRdATs5AP1
wymowa w języku angielskim: function
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: function

integer part of x
integer part of x

funkcja całość z x

RMtRMwDjVZTSG1
wymowa w języku angielskim: integer part of x
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: integer part of x

plot
plot

wykres

RLmVbQKrd1wp71
wymowa w języku angielskim: plot
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: plot

plot of the function
plot of the function

wykres funkcji

RceOSifacJTXz1
wymowa w języku angielskim: plot of the function
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: plot of the function

range
range

zbiór wartości

R16gk4baGSZd01
wymowa w języku angielskim: range
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: range

range of the function
range of the function

zbiór wartości funkcji

R1MMCyJGO0Iiu1
wymowa w języku angielskim: range of the function
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: range of the function

real numbers
real numbers

liczby rzeczywiste

RhyDVKatqdtiR1
wymowa w języku angielskim: real numbers
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: real numbers

root
root

pierwiastek

R1SfmLZUv5xVW1
wymowa w języku angielskim: root
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: root

signum function
signum function

funkcja signum

Rz73Uvu2EjYt91
wymowa w języku angielskim: signum function
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: signum function

Keywords

domain of the functiondomain of the functiondomain of the function

integer part of xinteger part of xinteger part of x

plot of the functionplot of the functionplot of the function

range of the functionrange of the functionrange of the function

signum functionsignum functionsignum function

Scenariusz