Temat

Wykresy nietypowych funkcji

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

V. Funkcje. Uczeń:

4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Poznanie własności niektórych nietypowych funkcji.

3. Rysowanie wykresów nietypowych funkcji .

Efekty uczenia

Uczeń:

- poznaje własności niektórych nietypowych funkcji,

- rysuje wykresy nietypowych funkcji.

Metody kształcenia

1. Mówiące kartki.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie przypominają wiadomości związane z funkcjami, metodą „mówiących kartek”.

Każdy uczeń otrzymuje kartkę, na której zapisuje pojęcia związaną funkcjami. Wypełnione kartki zbiera jeden z uczniów i odczytuje zapisane na nich informacje.

Nauczyciel weryfikuje wypowiedzi i wyjaśnia wątpliwości.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest poznanie własności i niektórych nietypowych funkcji.

Uczniowie poszukują w dostępnych źródłach informacji określenia „ całość z x”. Formułują definicję.

Definicja
Część całkowita liczby x, to największa liczba całkowita nie większa od x. Oznaczana jest [x].

Polecenie
Uczniowie korzystając z definicji obliczają:

a) [7,54],

b) [- 2,43],

c) [0,235].

Polecenie
Uczniowie, pracując w grupach, analizują Ilustrację interaktywną 1. Odczytują z wykresu własności funkcji f(x) = [x]. Zapisują je w postaci wniosku.

[Ilustracja interaktywna 1]

Wniosek:

1. Dziedziną funkcji f(x) = [x] jest zbiór liczb rzeczywistych.

2. Zbiorem wartości jest zbiór liczb całkowitych.

3. Jest to funkcja niemalejąca,

4. Nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Polecenie
Uczniowie, pracując w grupach, rysują wykresy funkcji:

a) f(x) = [2x],

b) f(x) = [ - 3x + 2].

Polecenie
Uczniowie, pracując samodzielnie szukają w dostępnych źródłach informacji na temat funkcji f(x) = sgn(x). Podają określenie tej funkcji.

Definicja
Signum (łac. Signum „znak”)– funkcja zmiennej rzeczywistej , zdefiniowana następująco:

Polecenie
Uczniowie, pracując w grupach, analizują Ilustrację interaktywną 2. Odczytują z wykresu własności funkcji f(x) = sgn(x). Zapisują je w postaci wniosku.

[Ilustracja interaktywna 2]

Wniosek:
Własności funkcji f(x) = sgn(x):

1. Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.

2. Zbiór wartości to {- 1, 0, 1}.

3. Funkcja ma jedno miejsce zerowe x = 0.

4. Jest funkcją nieparzystą, niemalejącą, nieróżnowartościową.

Uczniowie, pracując w grupach, rozwiązują zadania.

Polecenie
Narysuj wykresy funkcji f i opisz jej własności:

a) $f\left(x\right)=\mathrm{sgn}\left(x\right)$, 

b) $f\left(x\right)=\mathrm{sgn}\left(x\right)$, 

c) $f\left(x\right)=-\left(\mathrm{sgn}\right(x\left)\right)$, 

Polecenie
Narysuj wykres funkcji f, podaj jej miejsca zerowe i zbiór wartości:

a) $f\left(x\right)=\left[x\right]$, $x\in ⟨-4,6⟩$

b) $f\left(x\right)=\left[x\right]$, $x\in ⟨-2,8)$

Po rozwiązaniu zadań uczniowie przedstawiają uzyskane wyniki i samodzielnie oceniają swoją pracę.

Nauczyciel weryfikuje odpowiedzi i wyjaśnia wątpliwości.

Polecenie dla chętnych
Narysuj wykres funkcji $f\left(x\right)=x-\left[x\right],$ $x\in <-7,6>$ i opisz jej własności.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Wspólnie formułują wnioski do zapamiętania:

- Część całkowita liczby x, to największa liczba całkowita nie większa od x. Oznaczana jest [x].

- Signum (łac. Signum „znak”) – funkcja zmiennej rzeczywistej, zdefiniowana następująco: