Podsumowanie wiadomości o ruchu drgającym i falach

RZzqavTPNoUEP

Zdjęcie przedstawia plac budowy sfotografowany zza bramy wjazdowej. W tle dwa budowane wiadukty na wysokich słupach nośnych. Na pierwszym planie po lewej stronie niebieski dźwig gąsienicowy. Po prawej stronie urządzenie podwieszone na wyciągniętym wysięgniku dźwiga. Ma ono postać płaskiej konstrukcji w kolorze niebieskim wewnątrz której znajduje się otwór o dużej średnicy. Z otworu tego wystaje koniec wbitej w ziemię grubościennej rury o ponad dwumetrowej średnicy.

Ruch drgający i jego przykłady

R1D8AAZmdzbPc

Fotografia przedstawiająca główną część wahadła Foucaulta, którą stanowi metalowa kula zwisająca na długiej lince.

• Ruch drgający to taki ruch, w którym wielkości opisujące go zmieniają cyklicznie swoje wartości.

• Ruch drgający odbywa się wokół punktu zwanego położeniem równowagi.

• Szczególnymi przykładami ruchu drgającego są: ruch wahadła matematycznego i ciężarka zawieszonego na sprężynie, które wykonują drgania harmoniczne.

Wielkości opisujące drgania

Rnj6SUf1s3pDr

Zdjęcie częstościomierza na jasnym tle. Ma on postać czarnej skrzynki - prostopadłościanu z analogowym wskaźnikiem.

• Wielkościami opisującymi ruch drgający są:

  • amplituda drgań $A$ – największe wychylenie z położenia równowagi,

  • okres drgań $T$ – czas trwania jednego pełnego drgania; jednostka: sekunda $\left[\mathrm{s}\right]$,

  • częstotliwość drgań – liczba drgań w jednostce czasu; jednostka: herc $\left[\mathrm{Hz}\right]$.

    Częstotliwość i okres drgań są związane zależnością: $f=\frac{1}{T}$.

• Wykresem zależności położenia danego punktu od czasu w ruchu harmonicznym jest sinusoida. Z takiego wykresu można odczytać amplitudę i okres drgań.

Przemiany energii w ruchu drgającym

RX1bOITry11tB

Zdjęcie kuli burzącej zawieszonej na dźwigu. W tle widać ruiny budynku. Fotografia jest czarnobiała.

• Ciało wykonujące ruch drgający posiada dwa rodzaje energii: energię kinetyczną i energię potencjalną.

• Dla wahadła matematycznego energia potencjalna to energia potencjalna grawitacji, a dla ciężarka na sprężynie – energia potencjalna sprężystości.

• Podczas drgania zmienia się zarówno wartość energii kinetycznej, jak i energii potencjalnej.

• Energia kinetyczna:

  • rośnie, gdy ciało drgające zbliża się do położenia równowagi,

  • maleje podczas oddalania się ciała od położenia równowagi,

  • osiąga największą wartość, gdy ciało przechodzi przez położenie równowagi,

  • przyjmuje wartość zero w punktach maksymalnego wychylenia z położenia równowagi.

• Energia potencjalna:

  • maleje, gdy ciało drgające zbliża się do położenia równowagi,

  • rośnie podczas oddalania się ciała od położenia równowagi,

  • osiąga największą wartość w punktach maksymalnego wychylenia z położenia równowagi,

  • przyjmuje wartość zero, gdy ciało przechodzi przez położenie równowagi.

• Suma energii kinetycznej potencjalnej podczas drgania pozostaje stała i równa jest pracy wykonanej przez siły zewnętrzne podczas wytrącania ciała z położenia równowagi.

Wyznaczanie okresu drgań wahadła matematycznego

R1d8kR9szLH9o

Zdjęcia wahadła matematycznego i stopera. Zielona kula wahadła znajduje się w wychylonej pozycji.

• Wyznaczanie okresu drgań wahadła matematycznego polega na zmierzeniu czasu trwania kilku lub kilkudziesięciu pełnych wahnięć i podzieleniu wyniku tego pomiaru przez liczbę wahnięć.
  $T= \frac{t_n}{n}$,
  gdzie:
  $n$ – liczba pełnych wahnięć; $t_n$ – czas trwania $n$ wahnięć.

• Okres drgań wahadła matematycznego dla małych kątów wychylenia ($\approx 15^\circ$) nie zależy od amplitudy drgań. Tę właściwość wahadła nazywamy izochronizmem.

• Okres drgań wahadła matematycznego zależy od jego długości, przy czym:

  • większej długości odpowiada większa wartość okresu drgań,

  • gdy długość wahadła wzrośnie cztery razy, to okres drgań wzrośnie dwa razy.

• Okres drgań wahadła matematycznego nie zależy od masy wahadła.

Wyznaczanie okresu drgań ciężarka na sprężynie

R1RPDTJhCsWhk

Zdjęcie ciężarka na spręzynie i stopera

• Aby wyznaczyć częstotliwość drgań ciężarka na sprężynie, należy zmierzyć czas trwania kilku lub kilkudziesięciu pełnych drgań i podzielić liczbę drgań przez zmierzony czas.
  $f=\frac{n}{t_n}$
  gdzie:
  $n$ – liczba pełnych drgań; $t_n$ – czas trwania $n$ drgań.

• Aby wyznaczyć okres drgań ciężarka na sprężynie, należy zmierzyć czas trwania kilku lub kilkudziesięciu pełnych drgań i podzielić zmierzony czas przez liczbę tych drgań.
  $T= \frac{t_n}{n}$

• Okres drgań ciężarka na sprężynie zależy od jego masy, przy czym większej masie odpowiada większa wartość okresu drgań.

Fala mechaniczna

R1VbDzBPDmbEf

Zdjęcie dużej fali wodnej.

• Fala mechaniczna to drgania czasteczek rozchodzące się w ośrodku sprężystym.

• Źródłem fali jest ciało drgające, które przekazuje drgania cząsteczkom ośrodka.

• Gdy w ośrodku rozchodzi się fala, cząsteczki tego ośrodka wykonują ruch drgający; każda wokół swego położenia równowagi. Ruch ten odbywa się na małej przestrzeni.

• Fala mechaniczna to drgania rozchodzące się ruchem jednostajnym w ośrodku jednorodnym. Ruch fali jest możliwy wtedy, gdy cząsteczki ośrodka przekazują sobie wzajemnie drgania.

Wielkości opisujące ruch falowy

RhdWigRgDy06d

Ilustracja przedstawia wykres funkcji sinus. Pomiędzy kolejnymi wierzchołkami poprowadzone są odcinki podpisane lambda.

Wielkości charakteryzujące ruch falowy:

• prędkość fali $\left(v\right)$ – prędkość, z jaką w ośrodku rozchodzi się zaburzenie wywołane drganiami źródła fali. Jej wielkość zależy od właściwości ośrodka, jego sprężystości i gęstości; jednostka – metr na sekundę $\left[\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right]$;

• amplituda fali $\left(A\right)$ – amplituda drgań cząsteczek ośrodka, w którym rozchodzi się fala; jednostka – metr;

• okres fali $\left(T\right)$ – okres drgań źródła fali, a jednocześnie okres drgań cząsteczek ośrodka, w którym rozchodzi się fala; jednostka – sekunda;

• częstotliwość fali $\left(f\right)$ – częstotliwość drgań źródła fali, a jednocześnie częstotliwość drgań cząsteczek ośrodka, w którym rozchodzi się fala; jednostka – herc $\left[\mathrm{Hz}\right]$;

• długość fali $\left(\lambda \right)$ (lambda) – odległość między dwoma sąsiednimi grzbietami (lub dwiema sąsiednimi dolinami) fali; jednostka – metr.

Zależności między okresem, częstotliwością, długością i prędkością fali

R1SeFZIi7WAG0

Grafika przedstawiająca statek na wodzie z wypuszczonym sonarem od którego rozchodzą się fale o określonej długości.

• Częstotliwość fali jest odwrotnością okresu – tak jak w opisie drgań, czyli:
  $f= \frac{1}{T}$, $T=\frac{1}{f}$.

• Długość fali to jednocześnie droga, jaką przebywa fala w ciągu jednego okresu drgań cząsteczek ośrodka.
  $\text{droga}=\text{prędkość}·\text{czas}$, czyli:
  $s=v·t$, $\lambda =v·T$.

Cechy dźwięku

RgP1X7brrzBYB

Zdjęcie przedstawiające z dwóch stron, kieliszek pękający pod wpływem fali dźwiękowych o wysokiej częstotliwości.

• Dźwiękami nazywamy fale wytworzone przez ciała drgające z częstotliwością z zakresu od $16 \mathrm{Hz}$ do $20 \mathrm{kHz}$; podany zakres ma charakter umowny, w rzeczywistości jest cechą indywidualna każdego człowieka.

• Dźwięk może być zarejestrowany przez ludzkie ucho, jeśli energia niesiona przez falę dźwiękową jest większa od progu słyszalności, a mniejsza od granicy bólu (przyjmuje się wynosi ona około $90\,\mbox{dB}$).

• Podstawowymi cechami dźwięku są:

  • wysokość – związana z częstotliwością fali: wyższy dźwięk – większa częstotliwość,

  • głośność – związana z amplitudą fali: większa amplituda – głośniejszy dźwięk,

  • barwa – związana ze złożonością drgań źródła fali, pozwala rozróżniać brzmienie różnych instrumentów.

Fale stojące

R1IrHGmTEpK4V

Na rysunku przedstawiono układ współrzędnych. Oś pozioma oznaczona jako x. Widać na nim narysowane funkcje sinus które w jednym punkcie przecinają oś x ale wierzchołki sinusów mają różne wysokości. Punkty gdzie krzywe przecinają oś podpisane są jako węzły, punkty największego wychylenia jako strzałki. Odległość między kolejnymi węzłami oznaczona jest jako pół lambdy, tak samo jak odległość między kolejnymi strzałkami. Odległość między strzałką a węzłem to jedna czwarta lambdy.

Fale stojące są wynikiem nałożenia się fal biegnących w przeciwne strony; składają się z:

• węzłów – miejsc, w których elementy ośrodka nie drgają,

• strzałek – miejsc, gdzie amplituda drgań elementów ośrodka jest maksymalna.

Odległość dwóch sąsiednich węzłów równa jest połowie długości fali biegnącej w ośrodku; odległość węzła od najbliższej strzałki równa jest $\frac{1}{4}$ długości fali biegnącej.

Instrumenty muzyczne

RTlJm1cTl99vl

Zdjęcie sklepu o nazwie "Sklep Muzyczny", za przeszkloną witryną znajdują się liczne gitary.

• Podstawowym elementem instrumentu muzycznego jest ciało drgające: struna, słup powietrza, membrana itp.

• W drgających elementach instrumentów (strunach, słupach powietrza, membranach) powstają fale stojące.

• Wysokość (częstotliwość) dźwięku emitowanego przez instrument zależy od najdłuższej (podstawowej) fali, jaka może powstać w elemencie drgającym, a ta związana jest z rozmiarami tego elementu.

• W instrumentach dętych większej długości piszczałki odpowiada mniejsza częstotliwość podstawowa, a tym samym niższy dźwięk.

• W instrumentach strunowych wysokość dźwięku zależy od:

  • długości struny: większa długość – niższy dźwięk,

  • grubości struny: cieńsza struna – wyższy dźwięk,

  • naciągu struny: większa siła naciągu – wyższy dźwięk.

Infradźwięki i ultradźwięki

R1b0oRiuJahlN

Zdjęcie przedstawiające lecącego nietoperza na czarnym tle. Nietoperz ma bardzo duże uszy.

• Infradźwiękami nazywamy fale mechaniczne o częstotliwości mniejszej od $16 \mathrm{Hz}$.

• Źródłem ultradźwięków w naturze są: grzmoty, trzęsienia ziemi, erupcje wulkanów, wodospady, wiatr, zorze polarne.

• W budynkach infradźwięki mogą powstawać w przewodach wentylacyjnych oraz w wyniku drgań różnych maszyn i urządzeń biurowych.

• Infradźwięki mają niekorzystny wpływ na organizm człowieka.

• Ultradźwięki to fale mechaniczne o częstotliwości większej niż $20 \mathrm{kHz}$.

• Ultradźwięki są wytwarzane i rejestrowane przez niektóre zwierzęta.

• Sztucznie wytworzone w generatorach fale ultradźwiękowe znalazły liczne zastosowania w terapii i diagnostyce medycznej (USG), fizykoterapii, w technice (sonary) i nauce.

• Infradźwięki i ultradźwięki nie są rejestrowane przez ludzkie ucho, ale mogą być wysyłane i odbierane przez niektóre zwierzęta.

Ćwiczenie 3

Naszkicuj dwie pary sinusoid: jedna para symbolizująca dwa dźwięki o tej samej wysokości, ale różniące się głośnością, i druga para odpowiadająca dźwiękom o tej samej głośności, ale różnej wysokości.

R1cy4ispoizbd

Opisz jak będą się różniły między sobą fale dźwiękowe (sinusoidy) w parach: jedna para symbolizująca dwa dźwięki o tej samej wysokości, ale różniące się głośnością, i druga para odpowiadająca dźwiękom o tej samej głośności, ale różnej wysokości.

R6nYUDm4hbvn2

(Uzupełnij).

Pokaż podpowiedź

Pamiętaj, że głośność dźwięku ma związek z amplitudą drgań ośrodka, a wysokość dźwięku z częstotliwością, a zatem z długością fali.

Pokaż odpowiedź

R1BBOm8RWLP3Z

Dźwięki o różnej głośności mają różne amplitudy, przy czym głośniejszy ma amplitudę wyższą. Dźwięki o różnej wysokości dźwięku mają różne długości fali, przy czym dźwięk wyższy ma krótszą długość fali.

1

Ćwiczenie 8

Obejrzyj poniższą animację i oceń prawdziwość poniższych zdań. Przy każdym zdaniu w tabeli zaznacz „Prawda” albo „Fałsz”.

Rzaso8DQMv6EC

Film dotyczący ruchu ciężarka na sprężynie.

Film dotyczący ruchu ciężarka na sprężynie.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/Rzaso8DQMv6EC

Film dotyczący ruchu ciężarka na sprężynie.

RoFZnwzLxTTKX

Łączenie par. Oceń prawdziwość poniższych zdań. Przy każdym zdaniu w tabeli zaznacz „Prawda” albo „Fałsz”.. Gdy ciężarek porusza się w górę, jego prędkość maleje. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Ciężarek osiąga największą energię kinetyczną, gdy mija punkt $O$. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Ciężarek osiąga największą energię kinetyczną w punktach $A_1$ i $A_2$. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Droga przebyta przez ciężarek podczas jednego drgania jest $4$ razy większa od amplitudy. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. W punktach $A_1$ i $A_2$ energia kinetyczna ciężarka jest równa zero. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Łączenie par. Oceń prawdziwość poniższych zdań. Przy każdym zdaniu w tabeli zaznacz „Prawda” albo „Fałsz”.. Gdy ciężarek porusza się w górę, jego prędkość maleje. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Ciężarek osiąga największą energię kinetyczną, gdy mija punkt $O$. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Ciężarek osiąga największą energię kinetyczną w punktach $A_1$ i $A_2$. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Droga przebyta przez ciężarek podczas jednego drgania jest $4$ razy większa od amplitudy. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. W punktach $A_1$ i $A_2$ energia kinetyczna ciężarka jest równa zero. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

	Prawda	Fałsz
Gdy ciężarek porusza się w górę, jego prędkość maleje.	□	□
Ciężarek osiąga największą energię kinetyczną, gdy mija punkt $O$.	□	□
Ciężarek osiąga największą energię kinetyczną w punktach ${\mathrm{A}}_1$ i ${\mathrm{A}}_2$.	□	□
Droga przebyta przez ciężarek podczas jednego drgania jest 4 razy większa od amplitudy.	□	□
W punktach ${\mathrm{A}}_1$ i ${\mathrm{A}}_2$ energia kinetyczna ciężarka jest równa zero.	□	□