Pojęcia, definicje i wzory związane z arytmetyką, planimetrią, stereometrią oraz geometrią analityczną.

Liczbę naturalną, która ma tylko dwa dzielniki: jeden i samą siebie, nazywamy liczbą pierwszą.

Liczbę naturalną, która ma więcej niż dwa dzielniki i jest liczbą różną od zera, nazywamy liczbą złożoną.

Jeśli iloczyn dwóch liczb różnych od zera jest równy $1$, to każda z tych liczb jest odwrotnością tej drugiej.

Na przykład odwrotnościami są liczby:

$\frac{2}{5}$ i $\frac{5}{2}$, $5$ i  $\frac{1}{5}$, $2\frac{2}{7}$ i  $\frac{7}{16}$

RhJag06p466pv1

Ilustracja przedstawia kartkę z zeszytu na której zapisane są dwa przykłady dotyczące odwrotności liczb. Pierwszy przykład: Liczba dwie piąte jest odwrotnością liczby pięć drugich, bo dwie piąte razy pięć drugich =1. Drugi przykład: Liczba pięć drugich jest odwrotnością liczby dwie piąte, bo pięć drugich razy dwie piąte =1.

Odległość dowolnej liczby od liczby zero na osi liczbowej nazywamy wartością bezwzględną tej liczby.

Wyrażeniem arytmetycznym nazywamy pojedynczą liczbę lub kilka liczb połączonych znakami działań.

Dwa kąty wypukłe, które mają jedno ramię wspólne, a pozostałe ramiona tworzą prostą, nazywamy kątami przyległymi.

R1QhTrm8rAyDi1

Rysunek przedstawia prosta poziomą z zaznaczonymi kątami przyległymi alfa i beta. Miara kąta beta jest większa niż miara kąta alfa.

Suma miar kątów przyległych jest równa $180°$.

R3Mt9m6PNfCAn1

Rysunek przedstawia kąty przyległe o mierze kątów równych kolejno beta i alfa. Obok znajduje się komentarz, że alfa plus beta równa się sto osiemdziesiąt stopni.

Kąty wypukłe, których ramiona uzupełniają się do prostych, nazywamy kątami wierzchołkowymi.

RDcu7CSizGq1y1

Rysunek przedstawia pary kątów wypukłych o wspólnym wierzchołku, w których ramiona jednego kąta stanowią przedłużenia ramion drugiego. Miara kąta wewnętrznego jest równa alfa oraz miara drugiego kąta wewnętrznego jest równa beta.

Kąty wierzchołkowe mają równe miary.

RBWuhH9vfZbp11

Rysunek przedstawia kąty wierzchołkowe o mierze równej kolejno alfa i beta. Obok znajduje się komentarz że kąt miary alfa równa się kątowi miary beta.

Odległość dwóch prostych równoległych to długość najkrótszego odcinka łączącego te proste. Odcinek ten jest prostopadły do obu tych prostych.

R4ALofIiceYa81

Rysunek przedstawia dwie proste równoległe k i l. Na prostej k leży punkt T. Na prostej l leży punkt Z. Punkt T leży nad punktem Z. Został poprowadzony odcinek TZ, który jest prostopadły do obu prostych.

Odległość prostych $k$ i $l$ to długość odcinka $TZ$.

Odległość punktu od prostej to długość najkrótszego odcinka łączącego ten punkt z prostą.

RfPEDAgs2lPVg1

Rysunek przedstawia prostą k oraz punktu P leżącego poza tą prostą. Poprowadzony został odcinek PR, którego punkt R leży na prostej. Odcinek PR jest prostopadły do tej prostej.

Odległość punktu $P$ od prostej $k$ to długość odcinka $PR$, prostopadłego do prostej $k$.

Kwadrat to prostokąt, który ma wszystkie boki równej długości.

RPHlVKgXmHPpd1

Rysunek przedstawia kwadrat $ABCD$ z zaznaczonymi wszystkimi kątami prostymi.

Romb to równoległobok o bokach równej długości.

R1INEdulj8Sr21

Rysunek przedstawia romb o boku długości a.

Pole rombu jest połową iloczynu długości jego przekątnych.

R4C6HetAFUc071

Rysunek przedstawia romb z zaznaczonymi przekątnymi e i f, które przecinają się pod kątem prostym wewnątrz rombu. Obok rysunku znajduje się komentarz: P = ułamek, licznik e razy f mianownik 2.

Trapez to czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.

RchnscStt8spb1

Rysunek przedstawia trapez $ABCD$. Obok trapezu znajduje się komentarz AB równoległe do CD.

Równoległe boki trapezu nazywamy podstawami, pozostałe dwa boki – ramionami trapezu.

RUo4XH4VRyAIL1

Rysunek przedstawia trapez z nazwami krawędzi trapezu kolejno od lewej strony w przeciwną stronę do wskazówek zegara mamy ramię, podstawę dolną, ramię oraz podstawę górną.

Trapez, którego ramiona są równej długości i niebędący równoległobokiem, nazywamy trapezem równoramiennym.

RkRx4JwCWa4BY1

Rysunek przedstawia trapez równoramienny $ABCD$. Obok znajduję się komentarz: długość krawędzi AD = długości krawędzi CD

Odcinek, który łączy obie podstawy trapezu i jest prostopadły do nich, nazywamy wysokością trapezu.

Pole trapezu jest połową iloczynu sumy długości jego podstaw oraz wysokości.

RwjeqTf3r2WqF1

Rysunek trapezu o podstawach a i b i wysokości h. Komentarz obok rysunku: P = ułamek, licznik (a +b) razy h mianownik 2.

Suma kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie równa jest kątowi półpełnemu, czyli suma miar kątów wewnętrznych trójkąta wynosi $180°$.

Rr1g9ncnd16rD1

Rysunek trójkąta o kątach wewnętrznych alfa, beta, gamma. Komentarz obok rysunku: alfa + beta +gamma =180 stopni.

Wysokość trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta z przeciwległym bokiem (lub jego przedłużeniem) i prostopadły do tego boku.

R8vRWAfhZmD9E1

Rysunek trójkąta ostrokątnego, trójkąta prostokątnego i trójkąta rozwartokątnego o bokach a, b, c. W każdym poprowadzone trzy wysokości. W trójkącie ostrokątnym wysokość z indeksem dolnym a opuszczona na bok a, wysokość z indeksem dolnym b poprowadzono na bok b oraz wysokość z indeksem dolnym c poprowadzono na bok c. Wszystkie wysokości w trójkącie ostrokątnym znajdują się wewnątrz trójkąta. W trójkącie prostokątnym wysokość z indeksem dolnym b pokrywa się z przyprostokątną długości a a wysokość z indeksem dolnym a pokrywa się z przyprostokątną b. Wysokość z indeksem dolnym c w tym trójkącie znajduję się wewnątrz trójkąta i opuszczona jest na bok c. W trójkącie rozwartokątnym wysokość z indeksem dolnym a znajduje się pod obszarem trójkąta. Wysokość ta jest opuszana na prostą zawierającą krawędź a. Podobnie jest z wysokością z indeksem dolnym b znajduje się ona poza obrysem trójkąta i jest opuszczona na prostą zawierającą bok b. Wysokość z indeksem dolnym c znajduje się wewnątrz trójkąta i jest opuszana na bok c.

Wysokość najczęściej oznaczamy małą literą $h$.

Pole trójkąta jest połową iloczynu długości jego podstawy oraz wysokości poprowadzonej do tej podstawy.

RKzg11QWPuvct1

Rysunek przedstawia trójkąt o boku a i wysokości h opuszczonej na bok a. Komentarz obok rysunku: P = ułamek, licznik a razy h, mianownik 2.

Podstawą trójkąta nazywamy ten bok trójkąta, do którego poprowadzona jest wysokość.

Pole trójkąta prostokątnego jest równe połowie iloczynu długości jego przyprostokątnych.

RBgVVrFOrqmRc1

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b. Komentarz obok rysunku: P = ułamek ,licznik a razy b mianownik 2.

Prostokąt to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste.

RFPhQkLAGHNqd1

Rysunek przedstawia prostokąta $ABCD$ z zaznaczonymi wszystkimi kątami prostymi wewnątrz.

Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.

Ru38XZT6r2Vrr1

Rysunek przedstawia równoległobok $ABCD$. Komentarz obok rysunku: krawędzi AB jest równoległa do krawędzi DC i krawędź AD jest równoległa do krawędzi BC.

Wysokością równoległoboku nazywamy odcinek łączący dwa jego równoległe boki i prostopadły do nich.

Zauważ, że każdy odcinek łączący parę równoległych boków tego samego równoległoboku i prostopadły do nich ma tę samą długość. Na rysunku poniżej zaznaczono dwie wysokości $h$ i $g$ równoległoboku.

RsXN4tp9ZYmi01

Rysunek równoległoboku z poprowadzonymi dwoma różnymi wysokościami g i h.

Graniastosłup prosty to figura przestrzenna, która ma

• dwie podstawy będące jednakowymi wielokątami,

• ściany boczne będące prostokątami.

Nazwa graniastosłupa zależy od rodzaju wielokąta w podstawie.

R184egJpr19Gh1

Rysunek graniastosłupa prostego trójkątnego, graniastosłupa prostego czworokątnego i graniastosłupa prostego sześciokątnego.

Pole powierzchni prostopadłościanu to suma pól wszystkich jego ścian.

RQAM09s1CkkA71

Rysunek siatki prostopadłościanu z zaznaczonymi polami poszczególnych ścian: P z indeksem dolnym jeden, P z indeksem dolnym dwa, P z indeksem dolnym trzy, P z indeksem dolnym cztery, P z indeksem dolnym pięć, P z indeksem dolnym sześć.

Aby obliczyć objętość prostopadłościanu, mnożymy jego wymiary: długość, szerokość i wysokość.

Objętość figury najczęściej oznaczamy literą $V$.

R183wgylvvgel1

Rysunek prostopadłościanu z zaznaczonymi krawędziami podstawy a i b oraz krawędzią boczną c. Komentarz obok rysunku: V = a razy b razy c.

Pole powierzchni sześcianu możemy obliczyć, korzystając ze wzoru

gdzie $a$ – długość krawędzi sześcianu.

R1T2yzsaVK9YU1

Rysunek sześcianu o krawędziach długości a.