Pole figury. Jednostki pola

Pole figury

Pole figury to nieujemna liczba określająca, ile figur jednostkowych (lub ich części) mieści się w danej figurze.

R1czLfMHqANhY1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole figury może przyjmować różne wartości liczbowe w zależności od tego, jaką figurę przyjmiemy za jednostkę miary.

Przykład 1

RkGTdtoUCrmw71

Przykład 2

Pole prostokąta $A B C D$ jest równe $18$ , gdy za jednostkę pola przyjmiemy kwadrat.

R1Y9wfC2F60Ym1

Rysunek prostokąta A B C D o wymiarach sześć kratek na trzy kratki. Prostokąt złożony jest z osiemnastu kwadratów. Zapis: Pole A B C D =18. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Określ przybliżone pole tego prostokąta, przyjmując za jednostkę pola figurę wyróżnioną kolorem zielonym.

RfqPiirq16wl61

Na rysunku widać trzy figury: figura a to prostokąt złożony z dwóch kratek, figura b to trójkąt, który stanowi połowę jednej kratki, figura c to trapez złożony z jednej całej kratki i trójkąta, który stanowi połowę kratki. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odpowiedź:

$9$
$36$
$12$

Przykład 3

Do zbudowania każdej z figur użyto tych samych trzech prostokątów $K$ , $L$ , $M$ .
Czy pola tych figur są równe? Jeśli nie, to która z nich ma największe, a która najmniejsze pole? Dlaczego?

RKWnaUbQBpM3T1

Jednostki pola

Zapamiętaj!

$1 m^{2}$ to kwadrat o boku $1 m$ .

Inne najczęściej używane jednostki pola to: ${mm}^{2}$ , ${cm}^{2}$ , ${dm}^{2}$ , ${km}^{2}$ .

$1 {mm}^{2}$
$1 {cm}^{2} = 100 {mm}^{2}$
$1 {dm}^{2} = 100 {cm}^{2} = 10 000 {mm}^{2}$
$1 m^{2} = 100 {dm}^{2} = 10 000 {cm}^{2}$
$1 {km}^{2} = 1 000 000 m^{2}$

Rji1qeiJLKdtj1

Przykład 4

Pole powierzchni dywanu jest równe $5, 6 m^{2}$ . Ile to ${dm}^{2}$ ? Ile to ${cm}^{2}$ ?

$1 m^{2}$ to $100 {dm}^{2}$ , więc $5, 6 m^{2} = 5, 6 \cdot 100 {dm}^{2} = 560 {dm}^{2}$ .

$1 m^{2}$ to $10 000 {cm}^{2}$ , więc $5, 6 m^{2} = 5, 6 \cdot 10 000 {cm}^{2} = 56 000 {cm}^{2}$ .

Przykład 5

Jedna z największych polskich sal kinowych znajduje się w Warszawie w centrum handlowym Złote Tarasy. Ekran w tej sali ma wymiary $2900 c m$ i $1200 c m$ .

Jeden z największych ekranów kinowych na świecie znajduje się w Sydney w Australii i ma wymiary $2970 c m$ i $3570 c m$ .

Przyjmij, że ekrany kinowe są prostokątami i oblicz, o ile ${dm}^{2}$ pole ekranu w Sydney jest większe od pola ekranu w Warszawie.

Obliczamy pole powierzchni ekranu w warszawskich Złotych Tarasach w centymetrach kwadratowych i otrzymany wynik zapisujemy w decymetrach kwadratowych.

P_{W} = 2900 \cdot 1 200

P_{W} = 3 480 000 {cm}^{2}

1 {dm}^{2} = 100 {cm}^{2}

, więc

1 {cm}^{2} = 0, 01 {dm}^{2}

P_{W} = 3 480 000 \cdot 0, 01 {dm}^{2} = 34 800 {dm}^{2}

Obliczamy pole powierzchni ekranu znajdującego się w Sydney w centymetrach kwadratowych i otrzymany wynik zapisujemy w decymetrach kwadratowych.

P_{S} = 2970 \cdot 3570

P_{S} = 10 602 900 {cm}^{2}

P_{S} = 10 602 900 \cdot 0, 01 {dm}^{2} = 106 029 {dm}^{2}

Wyznaczamy różnicę pól.

P_{S} - P_{W} = 106 029 {dm}^{2} - 34 800 {dm}^{2} = 71 229 {dm}^{2}

Pole powierzchni ekranu w Sydney jest o $71 299 {dm}^{2}$ większe od pola powierzchni ekranu w Warszawie.

Jednostki pola powierzchni gruntów

Jednostki często używane do wyznaczania pól powierzchni gruntów rolnych, działek budowlanych itp. to ar i hektar.

Zapamiętaj!

$1 ar (1 a)$ to kwadrat o boku długości $10 m$ .

1 a = 10 m \cdot 10 m = 100 m^{2}

$1$ hektar $(1 ha)$ to kwadrat o boku długości $100 m$ .

1 ha = 100 m \cdot 100 m = 10 000 m^{2}

Zapamiętaj!

$1 a = 100 m^{2}$
$1 ha = 10 000 m^{2}$
$1 ha = 100 a$

Przykład 6

Boisko na Stadionie Narodowym w Warszawie ma wymiary $105 m$ i $68 m$ . Ile to hektarów? Ile to arów?

Obliczamy pole powierzchni boiska w metrach kwadratowych.

P = 105 \cdot 68 = 7 140

P = 7 140 m^{2}

Zapisujemy wynik w hektarach.

1 ha = 10 000 m^{2}

zatem

1 m^{2} = 0, 0001 ha

P = 7 140 \cdot 0, 0001 ha = 0, 7140 ha

Zapisujemy pole powierzchni boiska w arach.

1 a = 100 m^{2}

1 m^{2} = 0, 01 a

P = 7 140 \cdot 0, 01 a = 71, 40 a

Odpowiedź: Boisko na Stadionie Narodowym ma pole powierzchni równe $0, 7140 ha$ , czyli $71, 4 a$ .

Ciekawostka

W osiemnastowiecznej Polsce stosowano inne miary pola niż obecnie. Na przykład jednostkami miar powierzchni stosowanymi dla gruntów rolnych były:

kopanka – $19, 95 m^{2}$ ,
laska kwadratowa – $4$ kopanki,
kwadratowy pręt większy – $2, 5$ laski kwadratowej,
wertel – $18$ kwadratowych prętów większych,
morga – $1 \frac{2}{3}$ wertela – $5 985 m^{2}$ .

Kmiecie, którzy stanowili w owym czasie największą grupę mieszkańców wsi, posiadali najczęściej dziewięćdziesięciomorgowe gospodarstwo.

Ćwiczenie 1

RBB6LzXfpTxmA

Oblicz pole figury, przyjmując za jednostkę pola podany wielokąt. Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Pole prostokąta składającego się z

20

kratek, przyjmując za jednostkę pola trójkąt, który stanowi połowę kratki, wynosi Tu uzupełnij.Pole kwadratu składającego się z

9

kratek, przyjmując za jednostkę pola prostokąt złożony z dwóch kratek, wynosi Tu uzupełnij.Pole prostokąta składającego się z

15

kratek, przyjmując za jednostkę pola trapez złożony z jednej kratki i trójkąta, który stanowi połowę kratki, wynosi Tu uzupełnij.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz pole figury, przyjmując za jednostkę pola wielokąt wyróżniony kolorem zielonym. Wyniki wpisz w poniższe pola.

R1CFipYWCwRnS1

Rysunek trzech figur zbudowanych z trójkątów, kwadratów i prostokątów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R13OKSG50w7fz

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Przyjmij za jednostkę pola kratkę zeszytową i narysuj figurę o polu

równym $7$ ,
mniejszym od $5$ ,
większym od $10$ .

RVxyAYQ10uZs3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przyjmij za jednostkę pola kratkę zeszytową i zastanów się z ilu kratek mogą składać się figury o polu

równym $7$ ,
mniejszym od $5$ ,
większym od $10$ .

Jedna kratka w zeszycie ma pole równe $1$ .

R7eCLMH0oiWBW1

Ćwiczenie 3

Uzupełnij.

a) $2 m^{2} =$ ............ ${cm}^{2}$
b) $16, 5 m^{2} =$ ............ ${cm}^{2}$
c) $11 {dm}^{2} =$ ............ ${cm}^{2}$
d) $150 {mm}^{2} =$ ............ ${cm}^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RmwJFVPgSWDCx1

Ćwiczenie 4

Uzupełnij.

a) $5 {km}^{2} =$ .............. $m^{2}$
b) $182 {cm}^{2} =$ ............ ${dm}^{2}$
c) $4444 {cm}^{2} =$ ............ $m^{2}$
d) $7890000 {cm}^{2} =$ ............ $m^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Na planie wykonanym w skali $1 : 2 000$ pole powierzchni parku jest równe $4 {cm}^{2}$ . Jakie pole powierzchni ma ten park w rzeczywistości?

RbbnLx8y8ZZ6S

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Na planie $1 cm$ odpowiada $2000 cm$ w rzeczywistości, więc $1 {cm}^{2}$ na planie odpowiada $4 000 000 {cm}^{2}$ w rzeczywistości.

Pole powierzchni parku jest równe $1600 m^{2}$ powierzchni.

Ćwiczenie 6

R1aQb5dGsaRT4

Marcin
Agata
Bogdan
Emilia

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Aby porównać powierzchnie trawników, należy ich pola zapisać w takiej samej jednostce, na przykład w $m^{2}$ . Trawnik Emilii jest największy.

Ćwiczenie 7

R186frIEUhhBm

$150 a$
$150 \cdot 1 0^{2} m^{2}$
$150 \cdot 1 0^{5} c m^{2}$
$150 \cdot 1 0^{2} a$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Należy zamienić $2 ha$ na $ary$ oraz na $m^{2}$ i ${cm}^{2}$ .

1 a = 100 m^{2}

1 ha = 10 000 m^{2}

1 ha = 100 a

1 m^{2} = 10 000 {cm}^{2}

R1Q0PvLLAjpJL2

Ćwiczenie 8

Połącz w pary.

$7, 3 ha$
$0, 073 ha$
$73 a$
$0, 73 a$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Uruchom poniższy aplet i wykonaj polecenia.

RrctS8pYolpsB1

RYiR4kgTyQIFZ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Uruchom poniższy aplet i wykonaj polecenia.

RW5ZRZgY7XJ9a1

RAU3BCmRaS9N6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

Uruchom poniższy aplet i wykonaj polecenia.

RTUYhLVFiQ60v1

R1NpsukexjHFj

Przeciągnij i upuść odpowiednie wymiary prostokątów. Prostokąt o polu równym

15 {cm}^{2}

ma wymiary 1.

4 cm \times 1 cm

, 2.

4 cm \times 5 cm

, 3.

1 cm \times 6 cm

, 4.

2 cm \times 4 cm

, 5.

3 cm \times 5 cm

, 6.

2 cm \times 3 cm

, 7.

7 cm \times 8 cm

, 8.

7 cm \times 6 cm

.Prostokąt o polu równym

56 {cm}^{2}

ma wymiary 1.

4 cm \times 1 cm

, 2.

4 cm \times 5 cm

, 3.

1 cm \times 6 cm

, 4.

2 cm \times 4 cm

, 5.

3 cm \times 5 cm

, 6.

2 cm \times 3 cm

, 7.

7 cm \times 8 cm

, 8.

7 cm \times 6 cm

.Prostokąt o polu równym

4 {cm}^{2}

ma wymiary 1.

4 cm \times 1 cm

, 2.

4 cm \times 5 cm

, 3.

1 cm \times 6 cm

, 4.

2 cm \times 4 cm

, 5.

3 cm \times 5 cm

, 6.

2 cm \times 3 cm

, 7.

7 cm \times 8 cm

, 8.

7 cm \times 6 cm

.Prostokąt o polu równym

8 {cm}^{2}

ma wymiary 1.

4 cm \times 1 cm

, 2.

4 cm \times 5 cm

, 3.

1 cm \times 6 cm

, 4.

2 cm \times 4 cm

, 5.

3 cm \times 5 cm

, 6.

2 cm \times 3 cm

, 7.

7 cm \times 8 cm

, 8.

7 cm \times 6 cm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

Uruchom poniższy aplet i wykonaj polecenia.

RKUUUXoGRzoKb1

R1Mf8BCc6ebKt

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 13

Uruchom poniższy aplet i wykonaj polecenia.

R1IOsWN8c3PHs1

ROnHIGTjCAQOr

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.