Pole figury

Wiemy już, że pole figury to nieujemna liczba określająca, ile figur jednostkowych (lub ich części) mieści się w danej figurze.

RxnK82x0xDIr31

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole figury może przyjmować różne wartości liczbowe w zależności od tego, jaką figurę przyjmiemy za jednostkę miary.

Przykład 1

R1QtetDHMbYqL1

Przykład 2

Pole prostokąta $ABCD$ jest równe $18$ , gdy za jednostkę pola przyjmiemy kwadrat.

R1RVI44tMAWeJ1

Rysunek prostokąta A B C D złożonego z osiemnastu kwadratów. Zapis: Pole A B C D =18. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Określ przybliżone pole tego prostokąta, przyjmując za jednostkę pola figurę wyróżnioną kolorem zielonym.

RbpYpoy6kSoBb1

Grafika statyczna — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 3

Do zbudowania każdej z figur: $K, L, M$ użyto tych samych trzech prostokątów.
Czy pola tych figur są równe? Jeśli nie, to która z nich ma największe, a która najmniejsze pole? Dlaczego?

R1A8D50OZmGaj1

Jednostki pola

Zapamiętaj!

$1 m^{2}$ to kwadrat o boku $1 m$ .
Inne najczęściej używane jednostki pola to: $m m^{2}, c m^{2}, d m^{2}, k m^{2}$ .

$1 {mm}^{2}$
$1 {cm}^{2} = 100 {mm}^{2}$
$1 {dm}^{2} = 100 {cm}^{2} = 10 000 {mm}^{2}$
$1 m^{2} = 100 {dm}^{2} = 10 000 {cm}^{2}$
$1 {km}^{2} = 1000 000 m^{2}$

RavQcfndwPfsd1

Przykład 4

Pole powierzchni dywanu jest równe $5,6 m^{2}$ . Ile to $d m^{2}$ ? Ile to $c m^{2}$ ?
$1 m^{2}$ to $100 d m^{2}$ , więc $5,6 m^{2} = 5,6 \cdot 100 d m^{2} = 560 d m^{2}$
$1 m^{2} to 10 000 c m^{2}$ , więc $5,6 m^{2} = 5,6 \cdot 10 000 c m^{2} = 56 000 c m^{2}$

Przykład 5

Jedna z największych polskich sal kinowych znajduje się w Warszawie w centrum handlowym Złote Tarasy. Ekran w tej sali ma wymiary $2900 cm$ i $1200 cm$ .
Jeden z największych ekranów kinowych na świecie znajduje się w Sydney w Australii i ma wymiary $2970 cm$ i $3570 cm$ .
Przyjmij, że ekrany kinowe są prostokątami i oblicz, o ile ${dm}^{2}$ pole ekranu w Sydney jest większe od pola ekranu w Warszawie.
Obliczamy pole powierzchni ekranu w warszawskich Złotych Tarasach w centymetrach kwadratowych i otrzymany wynik zapisujemy w decymetrach kwadratowych.

P_{W} = 2900 \cdot 1200

P_{W} = 3480000 c m^{2}

1 d m^{2} = 100 c m^{2}, więc 1 c m^{2} = 0,01 d m^{2}

P_{W} = 3 480 000 \cdot 0,01 d m^{2} = 34 800 d m^{2}

Obliczamy pole powierzchni ekranu znajdującego się w Sydney w centymetrach kwadratowych i otrzymany wynik zapisujemy w decymetrach kwadratowych.

P_{S} = 2970 \cdot 3570

P_{S} = 10602900 c m^{2}

P_{S} = 10 602 900 \cdot 0,01 d m^{2} = 106 029 d m^{2}

Wyznaczamy różnicę pól.

P_{S} - P_{W} = 106 029 d m^{2} - 34 800 d m^{2} = 71 229 d m^{2}

Pole powierzchni ekranu w Sydney jest o $71 299 d m^{2}$ większe od pola powierzchni ekranu w Warszawie.

iQc5I6uXLE_d5e243

Jednostki pola powierzchni gruntów

Jednostki często używane do wyznaczania pól powierzchni gruntów rolnych, działek budowlanych itp. to ar i hektar.

Zapamiętaj!

$1 ar (1 a)$ to kwadrat o boku długości $10 m .$

1 a = 10 m \cdot 10 m = 100 m^{2}

$1$ hektar $(1 ha)$ to kwadrat o boku długości $100 m$ .

1 ha = 100 m \cdot 100 m = 10 000 m^{2}

Zapamiętaj!

$1 a = 100 m^{2}$
$1 ha = 10 000 m^{2}$
$1 ha = 100 a$

Przykład 6

Boisko na Stadionie Narodowym w Warszawie ma wymiary $105 m$ i $68 m$ . Ile to hektarów? Ile to arów?
Obliczamy pole powierzchni boiska w metrach kwadratowych.

P = 105 \cdot 68 = 7140

P = 7140 m^{2}

Zapisujemy wynik w hektarach.

1 ha = 10 000 m^{2} zatem 1 m^{2} = 0,0001 ha

P = 7140 \cdot 0,0001 ha = 0,7140 ha

Zapisujemy pole powierzchni boiska w arach.

1 a = 100 m^{2} to 1 m^{2} = 0,01 a

P = 7140 \cdot 0,01 a = 71,40 a

Odpowiedź: Boisko na Stadionie Narodowym ma pole powierzchni równe $0,7140 ha$ , czyli $71,4 a$ .

Ciekawostka

W osiemnastowiecznej Polsce stosowano inne miary pola niż obecnie. Na przykład jednostkami miar powierzchni stosowanymi dla gruntów rolnych były:

kopanka $19,95 m^{2}$ ,
laska kwadratowa - $4$ kopanki,
kwadratowy pręt większy - $2,5$ laski kwadratowej,
wertel - $18$ kwadratowych prętów większych,
morga - $1 \frac{2}{3}$ wertela - $5985 m^{2}$ .

Kmiecie, którzy stanowili w owym czasie największą grupę mieszkańców wsi, posiadali najczęściej dziewięćdziesięciomorgowe gospodarstwo.

Ćwiczenie 1

Oblicz pole figury, przyjmując za jednostkę pola wielokąt wyróżniony kolorem zielonym.

R67VkyoXYJgEB1

Rysunek trzech figur zbudowanych z trójkątów, kwadratów i prostokątów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$3,5$
$13$
$3$

Ćwiczenie 2

Przyjmij za jednostkę pola kratkę zeszytową i narysuj figurę o polu

równym $7$
mniejszym od $5$
większym od $10$

Ćwiczenie 3

RSAvnakZtog9b1

Uzupełnij.

a) $2 m^{2} =$ ............ ${cm}^{2}$
b) $16, 5 m^{2} =$ ............ ${cm}^{2}$
c) $11 {dm}^{2} =$ ............ ${cm}^{2}$
d) $150 {mm}^{2} =$ ............ ${cm}^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

R1Lg9izPcjIA61

Uzupełnij.

a) $5 {km}^{2} =$ .............. $m^{2}$
b) $182 {cm}^{2} =$ ............ ${dm}^{2}$
c) $4444 {cm}^{2} =$ ............ $m^{2}$
d) $7890000 {cm}^{2} =$ ............ $m^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Na planie wykonanym w skali $1 : 2000$ pole powierzchni parku jest równe $4 c m^{2}$ . Jakie pole powierzchni ma ten park w rzeczywistości?

Na planie $1 cm$ odpowiada $2 000 cm$ w rzeczywistości, więc $1 {cm}^{2}$ na planie odpowiada $4 000 000 {cm}^{2}$ w rzeczywistości. Pole powierzchni parku jest równe $1600 m^{2}$ powierzchni.

classicmobile

Ćwiczenie 6

Pole powierzchni trawnika na działce Marcina jest równe $68 m^{2}$ . Pole powierzchni trawnika na działce Agaty jest równe $680 d m^{2}$ , na działce Bogdana $68000 c m^{2}$ , a na działce Emilii $0,00068 k m^{2}$ .
Kto ma największy trawnik?

R11n5Sim2qu63

Marcin
Agata
Bogdan
Emilia

Aby porównać powierzchnie trawników, należy ich pola zapisać w takiej samej jednostce, na przykład w $m^{2}$ . Trawnik Emilii jest największy.

static

Ćwiczenie 6

RZbaTbCXWviC9

Marcin
Agata
Bogdan
Emilia

Aby porównać powierzchnie trawników, należy ich pola zapisać w takiej samej jednostce, na przykład w $m^{2}$ . Trawnik Emilii jest największy.

classicmobile

Ćwiczenie 7

Pole powierzchni sadu jest równe $2 ha$ . Na $\frac{3}{4}$ całej powierzchni posadzone są grusze. Grusze zajmują więc

RxXsTzADPucy3

$150 a$
$150 \cdot 1 0^{2} m^{2}$
$150 \cdot 1 0^{5} c m^{2}$
$150 \cdot 1 0^{2} a$

Należy zamienić $2 ha$ na ary oraz na $m^{2}$ i ${cm}^{2}$ .

1 a = 100 m^{2}, 1 ha = 10000 m^{2}, 1 ha = 100 a, 1 m^{2} = 10 000 c m^{2}

static

Ćwiczenie 7

Pole powierzchni sadu jest równe $2 ha$ . Na $\frac{3}{4}$ całej powierzchni posadzone są grusze. Grusze zajmują więc

R1aGc57yGdpik

$150 a$
$150 \cdot 1 0^{2} m^{2}$
$150 \cdot 1 0^{5} c m^{2}$
$150 \cdot 1 0^{2} a$

Należy zamienić $2 ha$ na ary oraz na $m^{2}$ i ${cm}^{2}$ .

1 a = 100 m^{2}, 1 ha = 10000 m^{2}, 1 ha = 100 a, 1 m^{2} = 10 000 c m^{2}

iQc5I6uXLE_d5e578

Ćwiczenie 8

RFd6x9ywUmtC41

Połącz w pary.

$7, 3 ha$
$0, 073 ha$
$73 a$
$0, 73 a$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

RRdQFmIq1Pklo1