itj9D45u2q_d5e82

Trójkąt prostokątny równoramienny

RpM3N2SSD4Tzh1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R125FwzHgRPb11

Rysunek dwóch trójkątów prostokątnych równoramiennych o miarach kątach 90 stopni, 45 stopni i 45 stopni. Pierwszy trójkąt ma przyprostokątne równe a i przeciwprostokątną równą a pierwiastek z dwóch. Drugi trójkąt ma przyprostokątne równe jedna druga razy x razy pierwiastek z dwóch i przeciwprostokątną równą x. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Aby podać długości boków w trójkącie prostokątnym równoramiennym, wystarczy znać długość tylko jednego z boków.

R1IM0VtVMw6B61

Rysunki trzech trójkątów prostokątnych równoramiennych. Pierwszy trójkąt ma przyprostokątne równe 4 i przeciwprostokątną cztery pierwiastki z dwóch. Drugi trójkąt ma przyprostokątne równe 1 i przeciwprostokątną pierwiastek z dwóch. Trzeci trójkąt ma przyprostokątne równe pierwiastek z dwóch i przeciwprostokątną równą 2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego równoramiennego jest równa $6$ . Oblicz obwód $L$ tego trójkąta. Wymierne przybliżenie obwodu podaj z dokładnością do jednego miejsca po przecinku.

ROx1OVVXbddTK1

Rysunek trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnych równych a i przeciwprostokątnej równej 6. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W trójkącie równoramiennym przyprostokątne są równe. Oznaczmy przez $a$ długość przyprostokątnej i zapiszmy równość wynikającą z twierdzenia Pitagorasa.

a^{2} + a^{2} = 6^{2}

2 a^{2} = 36 / : 2

a^{2} = 18

a = \sqrt{18}

Długość przyprostokątnej wyraża się liczbą niewymierną. Możemy w dalszych rozważaniach uwzględniać wartość dokładną: $\sqrt{18}$ lub $3 \sqrt{2}$ (wyłączając czynnik przed znak pierwiastka) lub przybliżoną

\sqrt{18} = 4,2426 \dots . \approx 4,24

3 \sqrt{2} = 3 \cdot 1,412 . . . \approx 3 \cdot 1,41 = 4,23

Obliczamy obwód trójkąta.

Tabela. Dane
sposób $I$	sposób $II$
$L = \sqrt{18} + \sqrt{18} + 6$	$L = 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + 6$
$L = 2 \sqrt{18} + 6$	$L = 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + 6$
$L \approx 2 \cdot 4,24 + 6$	$L 14 = 46$
$L \approx 14,48$	$L \approx 14,49$

Obwód prostokąta jest równy w przybliżeniu $14,5$ .

itj9D45u2q_d5e168

Przykład 2

Obliczymy promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym równoramiennym $ABC$ , którego pole jest równe $4,5 c m^{2}$ .

R13et4BjvMht61

Rysunek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym równoramiennym A B C gdzie AB i BC to przyprostokątne. Przeciwprostokątna AC jest średnicą tego okręgu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczymy długość przyprostokątnej, korzystając ze wzoru na pole trójkąta.
$P = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |BC|$ , gdzie $|AB| = |BC|$

\frac{1}{2} {|AB|}^{2} = 4,5

{|AB|}^{2} = 9

|AB| = 3,

|AB| > 0

Promień okręgu opisanego na trójkącie jest równy połowie długości przeciwprostokątnej.

r = \frac{|AC|}{2}

|AC| = \sqrt{{|AC|}^{2} + {|BC|}^{2}} = \sqrt{9 + 9} = 3 \sqrt{2}

r = \frac{3}{2} \sqrt{2}

r = 1,5 \sqrt{2} cm

Promień okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ jest równy $1,5 \sqrt{2} cm$ .

Przykład 3

Sześciokąt $ABCDEF$ zbudowany jest z dwóch przystających równoramiennych trójkątów prostokątnych. Przeciwprostokątna w każdym z tych trójkątów ma długość $12$ . Stosunek długości odcinków $EB$ do $FE$ jest równy $2 : 1$ . Obliczymy obwód wielokąta $ABCDEF$ .
Stosunek długości odcinków $EB$ do $FE$ jest równy $2 : 1$ , zatem

długość odcinka $EB$ stanowi $\frac{2}{3}$ długości odcinka $FB$ ,
długość odcinka $FE$ stanowi $\frac{1}{3}$ długości odcinka $FB$ .

|EB| = \frac{2}{3} \cdot |FB|, |EB| = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8

|EF| = \frac{1}{3} \cdot |FB|, |EF| = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4

R49xdZ3B4uSLJ1

Rysunek sześciokąta A B C D E F zbudowanego z dwóch przystających trójkątów prostokątnych A B F i E C D. W trójkącie A B F boki AB i AF to przyprostokątne, BF przeciwprostokątna. W trójkącie E C D boki ED i CD to przyprostokątne, EC przeciwprostokątna. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy przez $a$ - długość przyprostokątnej trójkąta $ABC$ . Obliczamy $a$ , korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

a^{2} + a^{2} = 1 2^{2}

2 a^{2} = 144

a^{2} = 72

a = \sqrt{72}

a = \sqrt{36 \cdot 2} = 6 \sqrt{2}

Obliczamy obwód sześciokąta $ABCDEF$ .

L = |AF| + |FE| + |ED| + |DC| + |BC| + |BA|

L = a + |EF| + a + a + (|EC| - |EB|) + a

L = 4 a + 4 + (12 - 8)

L = 4 \cdot 6 \sqrt{2} + 4 + 4

L = 4 (6 \sqrt{2} + 2)

Obwód sześciokąta jest równy $4 (6 \sqrt{2} + 2)$ .

itj9D45u2q_d5e278

Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°

Przykład 4

Bok trójkąta równobocznego $ABC$ ma długość $2 a$ . Obliczmy miary kątów i długości boków trójkąta $CDB$ , gdzie punkt $D$ jest spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka $C$ .

RLC7iRc2mk4g41

Rysunek trójkąta równobocznego A B C o boku długości 2a i wysokości CD = h. Wysokość podzieliła bok AB trójkąta na dwa równe odcinki AD = DB = a. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W trójkącie równobocznym każdy kąt ma miarę równą $60 °$ . Kąt $ABC$ jest kątem w trójkącie równobocznym, zatem jego miara jest równa $60 °$ .

|∡ DBC| = 60 °

Wysokość $CD$ jest prostopadła do podstawy $AB$ , zatem kąt $CDB$ jest kątem prostym.

|∡ CDB| = 90 °

Wysokość w trójkącie równobocznym jest zarazem dwusieczną kąta, zatem kąt $DCB$ ma miarę $60 ° : 2 = 30 °$ .

|∡ DCB| = 30 °

Miary kątów w trójkącie $CDB$ są równe $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ .
Trójkąt $DBC$ jest trójkątem prostokątnym, w którym przeciwprostokątna ma długość $2 a$ .
Wysokość $CD$ dzieli podstawę $AB$ na dwa przystające odcinki.

x = |DB| = \frac{1}{2} |AB| = \frac{1}{2} \cdot 2 a = a

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość boku $CD$ , czyli wysokość $h$ trójkąta $CDB$ .

h^{2} + a^{2} = {(2 a)}^{2}

h^{2} = 4 a^{2} - a^{2}

h^{2} = 3 a^{2}

h = a \sqrt{3}

bo $a > 0$ i $h > 0$
Boki trójkąta $CDB$ mają długości: $2 a, a, a \sqrt{3}$ .
Wysokość dzieli trójkąt równoboczny na dwa przystające trójkąty prostokątne. Miary kątów w każdym z tych trójkątów są równe: $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ .
Jeśli oznaczymy przez $2 a$ długość przeciwprostokątnej w tak otrzymanym trójkącie prostokątnym, to długości pozostałych boków są równe $a$ i $a \sqrt{3}$ . Przy czym naprzeciw kąta o mierze $30 °$ leży przyprostokątna, której długość jest dwukrotnie mniejsza od długości przeciwprostokątnej.

Ważne!

Trójkąt prostokątny o kątach $30 °, 60 °, 90 °$

RAVtEJQ2FTp261

Rysunek trójkąta prostokątnego o miarach kątach 30 stopni, 60 stopni i 90 stopni. Długość przeciwprostokątnej - 2a. Długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta 30 stopni - a. Długość przyprostokątnej leżącej przy kącie 30 stopni- a pierwiastek z trzech. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$2 a$ – długość przeciwprostokątnej
$a$ – długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $30 °$
$a \sqrt{3}$ - długość przyprostokątnej leżącej przy kącie $30 °$

Przykład 5

Torba wykonana jest z dwóch jednakowych kawałków skóry. Każdy z nich ma kształt trapezu równoramiennego, w którym ramię i krótsza podstawa mają długość $30 cm$ , a kąt rozwarty ma miarę $120 °$ .
Ile $c m^{2}$ skóry zużyto na wykonanie tej torebki?
Obliczymy pole powierzchni jednego z kawałków skóry, z którego wykonana jest torebka, czyli pole odpowiedniego trapezu.

RQ12Z7Tpqs6gP1

Rysunek trapezu równoramiennego o wysokości h, podstawie dolnej 30 cm i ramieniu równym 30 cm. Wysokość poprowadzona z wierzchołków dolnej podstawy dzieli górną podstawę na trzy odcinki długości: x, 30 cm, x. Powstał trójkąt o kątach 30 stopni, 60 stopni i 90 stopni. Kąt 60 stopni leży naprzeciwko wysokości h trapezu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wysokość poprowadzona z wierzchołka krótszej podstawy podzieliła trapez na czworokąt i trójkąt prostokątny o kątach $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ . Przeciwprostokątna w tym trójkącie ma długość $30 cm$ , zatem $x = 15 cm$ (przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta o mierze $30 °$ ) i $h = 15 \sqrt{3} cm$ (przyprostokątna leżąca przy kącie o mierze $30 °$ ).
Zatem wysokość trapezu jest równa $15 \sqrt{3}$ cm, a dłuższa podstawa ma długość

15 cm + 30 cm + 15 cm = 60 cm .

Obliczamy pole trapezu.

P = \frac{60 + 30}{2} \cdot 15 \sqrt{3}

P = 675 \sqrt{3}

P \approx 1170 c m^{2}

Obliczamy, ile $c m^{2}$ skóry zużyto, aby wykonać torebkę.

2 \cdot 1170 = 2340

Na wykonanie torebki zużyto około $2340 c m^{2}$ skóry.

Ćwiczenie 1

RGJc7VR6qVgxL1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 2

W trójkącie prostokątnym równoramiennym

R180gWbjktGB7

długość przynajmniej jednego z boków jest wyrażona liczbą niewymierną
przeciwprostokątna jest dwukrotnie dłuższa od przyprostokątnej
stosunek obwodu do długości przeciwprostokątnej jest równy $\sqrt{2}$

static

Ćwiczenie 2

W trójkącie prostokątnym równoramiennym

R1YoA3blMlRY9

długość przynajmniej jednego z boków jest wyrażona liczbą niewymierną
przeciwprostokątna jest dwukrotnie dłuższa od przyprostokątnej
stosunek obwodu do długości przeciwprostokątnej jest równy $\sqrt{2}$

Ćwiczenie 3

Kąty trójkąta są równe $45 °, 45 °, 90 °$ . Najdłuższy bok ma długość $m$ . Oblicz sumę długości krótszych boków.

$\frac{m}{\sqrt{2}} + \frac{m}{\sqrt{2}} = \frac{2 m}{\sqrt{2}} = \frac{2 m \sqrt{2}}{2} = m \sqrt{2}$

Ćwiczenie 4

Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny. Oblicz obwód $L$ tego trójkąta, wiedząc, że

jego przyprostokątna ma długość $2$
przeciwprostokątna ma długość $\sqrt 72$
pole jest równe $8$

$4 + 2 \sqrt 2$
$12 + 6 \sqrt 2$
$8 + 4 \sqrt 2$

itj9D45u2q_d5e539

Ćwiczenie 5

Czy istnieje trójkąt prostokątny równoramienny, którego długości boków wyrażają się liczbami naturalnymi?

classicmobile

Ćwiczenie 6

Czy w trójkącie $ABC$ bok $BC$ jest najdłuższy? Wybierz poprawną odpowiedź.

R19HtKN5MEb561

Grafika statyczna — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RMVtwCXmnTCiN

Tak, ponieważ trójkąt ma dwa równe kąty.
Nie, trójkąt jest prostokątny i $BC$ jest jego przeciwprostokątną.
Nie, ponieważ trójkąt ma dwa równe kąty.
Tak, trójkąt jest prostokątny i $BC$ jest jego przeciwprostokątną.

static

Ćwiczenie 6

Czy w trójkącie $ABC$ bok $BC$ jest najdłuższy? Wybierz poprawną odpowiedź.

R19HtKN5MEb561

RrCaRcocVOaYW

Tak, ponieważ trójkąt ma dwa równe kąty.
Nie, trójkąt jest prostokątny i $BC$ jest jego przeciwprostokątną.
Nie, ponieważ trójkąt ma dwa równe kąty.
Tak, trójkąt jest prostokątny i $BC$ jest jego przeciwprostokątną.

Ćwiczenie 7

Oblicz obwód trapezu.

RImueFdesP6VS1

Rysunki trzech trapezów. Pierwszy trapez o podstawie górnej 40 cm i podstawie dolnej 20 cm. Kąty przy podstawie górnej mają miarę 45 stopni. Drugi trapez o górnej podstawie 8 cm i wysokości 10 cm. Kąty przy dolnej podstawie mają miarę 45 stopni. Trzeci trapez prostokątny o dolnej podstawie cztery pierwiastki z dwóch. Kąt przy dolnej podstawie o mierze 45 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$L = 60 + 20 \sqrt{2} (cm)$
$L = 36 + 20 \sqrt{2} (cm)$
$L = 8 \sqrt{2} + 4$

Ćwiczenie 8

Miara kąta rozwartego równoległoboku jest równa $135 °$ . Dłuższy bok jest równy $16 dm$ . Oblicz obwód równoległoboku, wiedząc, że jego wysokość jest równa $2 dm$ .

$(32 + 4 \sqrt 2) dm$

Ćwiczenie 9

R12et51GfLj9w1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 10

Prawda czy fałsz?

RXcGWU8wGA2a81

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych równych 9 i k oraz przeciwprostokątnej a. Bok k leży naprzeciw kąta 30 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RbAapeqbhNENX

$k = 3 \sqrt{3}$
$a = 18$
$a - k = \sqrt{2}$
$k = 3 \sqrt{2}$

static

Ćwiczenie 10

Prawda czy fałsz?

RXcGWU8wGA2a81

R1W2HD0S992hj

$k = 3 \sqrt{3}$
$a = 18$
$a - k = \sqrt{2}$
$k = 3 \sqrt{2}$

itj9D45u2q_d5e734

Ćwiczenie 11

W trójkącie prostokątnym stosunek miary kątów ostrych jest równy $2 : 1$ . Krótsza przyprostokątna ma długość $10$ . Oblicz obwód trójkąta.

$30 + 10 \sqrt{3}$

classicmobile

Ćwiczenie 12

Na podstawie rysunku można stwierdzić, że

R1SEHsw0vxhWb1

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych y oraz dwa pierwiastki z trzech. Wysokość x opuszczona na przeciwprostokątną trójkąta. Kąt zewnętrzny przy przeciwprostokątnej równy 120 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R14vqVPc6gbKy

$x + y = 2 \sqrt{3}$
$x + y = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$x + y = 4 \sqrt{3}$
$x + y = 2 + \sqrt{3}$

static

Ćwiczenie 12

Na podstawie rysunku można stwierdzić, że

R1SEHsw0vxhWb1

RsWdZ2ho6qHWA

$x + y = 2 \sqrt{3}$
$x + y = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$x + y = 4 \sqrt{3}$
$x + y = 2 + \sqrt{3}$

Ćwiczenie 13

Metalowy element ozdobny ma kształt trapezu przedstawionego na rysunku. Ile $m^{2}$ blachy potrzeba na jego wykonanie?

R1MBFPgwzXgoB1

Rysunek trapezu o górnej podstawie równej 8 m i wysokości 5 m. Kąt między lewym ramieniem a dolną podstawą ma miarę 45 stopni. Kąt między wysokością (poprowadzoną z prawego wierzchołka górnej podstawy) a prawym ramieniem trapezu ma miarę 60 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$P = \frac{8 + 5 + 8 + 5 \sqrt{3}}{2} \cdot 5$
$P = 52,5 + 12,5 \sqrt{3} (m^{2})$

Ćwiczenie 14

Punkty: $E, F, G$ są środkami boków trójkąta równobocznego $ABC$ . Punkt $D$ jest punktem przecięcia środkowych boków tego trójkąta i $|DE| = 2$ .

RoK2UiEMxpFNf1

Rysunek trójkąta równobocznego A B C. Punkty E, F, G są środkami boków trójkąta. Punkt D jest punktem przecięcia środkowych boków tego trójkąta i długość odcinka DE =2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz obwód

trójkąta $EDB$
trójkąta $EAB$
trójkąta $ABC$
czworokąta $FDEC$

$L = 2 + 4 + 2 \sqrt{3} = 6 + 2 \sqrt{3}$
$L = 6 + 4 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} = 6 + 6 \sqrt{3}$
$L = 3 \cdot 4 \sqrt{3} = 12 \sqrt{3}$
$L = 2 + 2 + 2 \sqrt[]{3} + 2 \sqrt{3} = 4 + 4 \sqrt{3}$

Ćwiczenie 15

Szerokość prostokąta jest równa $4 dm$ . Znajdź sumę długości przekątnych tego prostokąta, wiedząc, że przecinają się one pod kątem $120 °$ .

$8 dm + 8 dm = 16 dm$

classicmobile

Ćwiczenie 16

Dany jest okrąg o środku w punkcie $S$ i promieniu $3 m$ , gdzie $m$ jest liczbą naturalną dodatnią. Z punktu $P$ leżącego poza okręgiem poprowadzono styczne do okręgu, przecinające się pod kątem $120 °$ .
Długość odcinka $SP$ jest równa

RFLJOW9vf1uxI

$6 m$
$2 \sqrt{3} m$
$6 \sqrt{3 m}$
$\sqrt{3} m$

static

Ćwiczenie 16

R1Q1eCi1Dg5zV

$6 m$
$2 \sqrt{3} m$
$6 \sqrt{3 m}$
$\sqrt{3} m$

Ćwiczenie 17

Przekątna prostokąta długości $8 cm$ jest nachylona do dłuższego boku pod kątem $30 °$ . Oblicz pole i obwód prostokąta.

$P = 16 \sqrt{3} c m^{2}$
$L = (8 + 8 \sqrt{3}) cm$

Ćwiczenie 18

Na trójkącie opisano okrąg o promieniu $7 dm$ . Oblicz trzy wysokości trójkąta, wiedząc, że miary kątów tego trójkąta są w stosunku $3 : 2 : 1$ .

$h_{1} = 7 dm$
$h_{2} = 7 \sqrt{3} dm$
$h_{3} = 3,5 \sqrt{3} dm$

Ćwiczenie 19

Oblicz długość odcinka $x$ w rombie.

Ri8Kf7sXPwTzA1

Rysunki trzech rombów. Pierwszy ma przekątne długości 20 i x oraz kąt rozwarty równy 120 stopni. Drugi ma bok długości 5 i wysokość x oraz kąt ostry równy 30 stopni. Trzeci ma boki długości 4 i x oraz kąt pomiędzy przekątną a bokiem rombu równy 60 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$10 \sqrt 3$
$2,5$
$4$

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Pole figury. Jednostki pola

Szczególne trójkąty prostokątne

Trójkąt prostokątny równoramienny

Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°