Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby udostępnić materiał Dodaj całą stronę do teczki

Koło

R1Wn50PBBYaye1
Animacja
Koło     
Definicja: Koło     

Kołem o  środku w punkcie S i promieniu r nazywamy zbiór tych punktów płaszczyzny, których odległość od punktu S jest mniejsza bądź równa r.

RD4TQOGUHRKh31
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

K(S,r) – koło o środku w punkcie S i promieniu r

Pole koła

R1LqlAOxDxxpb1
Animacja przedstawia kolejne kroki w celu wyznaczenia pola koła o promieniu r. Dane jest koło o promieniu r, które dzielimy na pewną ilość równych wycinków tego koła. Zaczynamy od czterech takich wycinków, czyli dzielimy koło na cztery wycinki koła. Umieszczamy te wycinki jeden obok drugiego, a następnie połowę z nich obracamy o 180 stopni Koło zastąpiliśmy figurą o takim samym polu, ale innym kształcie. W kolejnych krokach zwiększamy liczbę podziałów (dzielimy koło na 8, 10, 16 wycinków), aż dzielimy koło na dużą, ale ograniczoną liczbę wycinków. Umieszczamy te wycinki jeden obok drugiego, a następnie połowę z nich obracamy o 180 stopni Przy dużej liczbie podziału koła na wycinki widać, że suma tych wycinków koła zbliża się do kształtu prostokąta. Wymiary prostokąta to: długość równa połowie obwodu pi razy r, wysokość to długość r promienia okręgu. Wobec tego, pole koła P = pi razy r do potęgi drugiej.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Ważne!

Pole koła o promieniu r jest równe iloczynowi liczby π i kwadratu promienia .

P=πr2
R1QscmUo7egga1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
imj7VMPRQR_d5e219

Obliczanie pola koła

Przykład 1

Oblicz pole koła o promieniu 4 dm.
Do wzoru na pole koła wstawiamy = 4.

P=π42=16π

Pole koła jest równe 16π dm2.

Przykład 2

Obwód małego znaku zakazu wynosi 60π cm. Oblicz, ile cm2 blachy potrzeba na jego wykonanie.

RKxOf04VKvJMZ1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczymy najpierw promień koła, w kształcie którego jest znak – korzystamy ze wzoru na obwód koła.

L=2πr
60π=2πr/:2π
r=30 cm

Korzystamy ze wzoru na pole koła.

P=πr2
P=π302
P=900π cm2

Przyjmijmy π3,14, wtedy

P9003,14=2826

Na wykonanie małego znaku zakazu potrzeba około 2826 cm2 blachy.

Przykład 3

Pole powierzchni jednego okrągłego konfetti jest równe 4πmm2. Ile takich konfetti można wyciąć z kwadratowej kartki papieru o  boku długości 1,2 cm?
Obliczamy najpierw średnicę d koła, w kształcie którego jest konfetti.

4π=πr2
r2=4
r=2

bo r>0

d=2r
d=4 mm

Ponieważ 1,2 cm = 12 mm, zatem w kwadracie o boku 12 mm zmieści się 9 kół o  średnicy 4 mm każde.
Z kwadratowej kartki można wyciąć 9 konfetti.

Przykład 4

Hipokrates z Chios badał własności figur, zwanych obecnie księżycami Hipokratesa. Księżyce Hipokratesa to figury w kształcie księżyców, związane z wielokątami i okręgami.
Rozważmy trójkąt prostokątny ABC. Budujemy okręgi, których średnicami są boki trójkąta ABC.

RkpNyTKr7HkNu1
Animacja przedstawia Księżyce Hipokratesa, które powstają na bazie trójkąta prostokątnego przez dorysowywanie łuków na średnicach będących przeciwprostokątną i przyprostokątnymi tego trójkąta.Dany jest trójkąt prostokątny A B C. Kreślimy okrąg o średnicy będącej przeciwprostokątną trójkąta. Następnie kreślimy drugi i trzeci okrąg, których średnicami są przyprostokątne trójkąta. Wypełniamy obszary pomiędzy pierwszym i drugim okręgiem oraz pomiędzy pierwszym i trzecim okręgiem. Otrzymane obszary, to Księżyce Hipokratesa. Księżyce Hipokratesa dla trójkąta prostokątnego mają własność, że suma pól księżyców Hipokratesa jest równa polu trójkąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Figury ograniczone łukami okręgu opartego na przeciwprostokątnej oraz półokręgami opartymi na przyprostokątnych to księżyce Hipokratesa.

A
Ćwiczenie 1

Oznacz a, b przyprostokątne trójkąta ABC, c – przeciwprostokątną. Oblicz pole trójkąta. Oblicz sumę pół księżyców Hipokratesa. Co zauważasz?

Przykład 5

Salinon (po grecku solniczka) to figura ograniczona 4 półkolami swoim kształtem przypominająca solniczkę. Opisywał ją już Archimedes.

R19UZoh3C6c8f1
Animacja przedstawia Salinom, który powstaje na bazie dowolnego półkola. Konstruujemy półkole (część koła nad średnicą poprowadzoną poziomo) o środku w punkcie E i średnicy AB. Na średnicy AB wybieramy punkt C i jego obraz D w symetrii względem punktu E. Tworzymy półokręgi, których średnicami są odcinki AC, CD oraz DB leżące na przemian po przeciwnych stronach średnicy. Łuk środkowy CD leży pod średnicą a łuki boczne AC i DB leżą nad średnicą półkola. Zaznaczamy obszar pomiędzy małymi łukami a łukiem półkola. Obszar ten nazywa się salinonem. Z najniższego punktu G łuku C G D kreślimy prostą prostopadłą do średnicy AB półkola. Punkt F jest punktem przecięcia z półokręgiem. Powstały odcinek FG jest średnicą pewnego koła, dla którego pole salinonu jest równe polu tego koła.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Rozważ salinon oparty na średnicy AB. Niech FG będzie odcinkiem prostopadłym do tej średnicy i przechodzącym przez jej środek. Punkty FG niech leżą na półkolach ograniczających salinon.
Wykaż, że pole salinonu jest równe polu koła, którego średnicą jest odcinek FG.
Odpowiedź
Niech

GF=2R
|CE|= r

Wtedy

|AE|= 2R-r
|AC|=2 2r

Suma pół półkoli opartych na średnicach ADEB jest równa

πR-r2

Pole salinonu jest równe

π2R-r22+πr22-πR-r2=
π4R2-4Rr+r22+πr22-πR2-2Rr+r2
=π2R2-2Rr+r22+r22-R2+2Rr-r2=πR2
imj7VMPRQR_d5e418
A
Ćwiczenie 2

Niech AB będzie średnicą koła o środku w punkcie S. Punkt C niech leży na odcinku AB, natomiast punkt P niech leży na okręgu o średnicy AB.

RTkkvTMdqOjZ01
Jeżeli w salinonie punkty C i D pokrywają się, wówczas otrzymamy figurę zwaną arbelos. Animacja przedstawia konstrukcję arbelosu. Dany jest okrąg o środku w punkcie S i średnicy AB (poprowadzonej poziomo). Na średnicy AB wybieramy dowolny punkt C. Kreślimy łuki o średnicach AC i CB nad średnicą AB. Zaznaczamy obszar nad tymi łukami i okręgiem o środku S. Obszar tworzy figurę zwaną arbelos. W punkcie C kreślimy prostą prostopadłą do wyjściowej średnicy. Prosta przecina okrąg o środku S w punkcie P. Na odcinku CP zaznaczamy punkt K, który jest jego środkiem. Kreślimy koło o średnicy CP i środku w punkcie K. Po wykonaniu obliczeń zauważamy, że pole arbelosu jest równe polu koła o średnicy CP.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Wykaż, że pole arbelosa jest równe polu koła K(S, |SB|).

Przykład 6

Na trójkącie prostokątnym opisano koło o polu 2,25π. Oblicz sumę kwadratów długości przyprostokątnych tego trójkąta.

RWc7dYw7ftMGo1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wiemy już, że środek koła opisanego na trójkącie prostokątnym jest zarazem środkiem przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Oznaczmy przez r promień tego koła, natomiast przez a, b – przyprostokątne trójkąta wpisanego w to koło.
Pole koła jest równe 2,25π. Stąd

πr2=2,25π /:π
r2=2,25
r=2,25=1,5

bo r>0
Długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego wpisanego w  koło jest równa 2r, czyli 3.
Rozważany trójkąt jest prostokątny, możemy więc skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, zapisując związek między długościami jego boków.

a2+b2=c2
a2+b2=32
a2+b2=9

Wynika z tego, że suma kwadratów długości przyprostokątnych trójkąta jest równa 9.

classicmobile
Ćwiczenie 3

Pole koła o obwodzie 2,6π jest równe

R84AVP7yuAQem
static
classicmobile
Ćwiczenie 4

Obwód koła o polu 4981π jest równy

RK8fhI8dsrJov
classicmobile
Ćwiczenie 5

Promień mniejszego z kół na rysunku jest równy 11 cm, a większego 17 cm.

Rqn5Dm9ErxImK1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole pierścienia kołowego wyznaczonego przez te koła jest równe

R1DetbSCz7R1Y
classicmobile
Ćwiczenie 6

Średnica pokrywki od garnka jest równa 30 cm. Ile blachy użyto na jej wykonanie?

RaSp041cZ9fU2
B
Ćwiczenie 7

Zapisz, jak zmieni się pole koła, gdy jego średnicę

  1. zwiększymy dwukrotnie

  2. zmniejszymy sześciokrotnie

  3. zwiększymy o 40%

  4. zmniejszymy o 20%

imj7VMPRQR_d5e730
classicmobile
Ćwiczenie 8

Przyjmij, że pole zielonego kwadratu jest równe 1.

R1M3EnRAXFdMP1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1FR8vUQMwW1W
static
classicmobile
Ćwiczenie 9

W kwadrat o boku długości 10 cm wpisano koło K. Na tym kwadracie opisano też koło K1. Stosunek pola koła K1 do pola koła K jest równy

R10EqzShlSDGR
classicmobile
Ćwiczenie 10

Pole powierzchni okrągłego klombu jest równe 1 a. Przybliżona długość promienia koła, w kształcie którego jest klomb, jest równa

R1IzKnOGAtqRL
static
B
Ćwiczenie 11

Punkt B jest środkiem koła. Punkt A nie należy do tego kola. Prosta przechodząca przez punkt A jest styczna do koła w punkcie C. Wiadomo, że |AB| =10 cm|AC|=8 cm. Oblicz pole koła.

C
Ćwiczenie 12

Odległość środków dwóch kół stycznych zewnętrznie jest równa 10 cm. Gdyby koła te były styczne wewnętrznie, to odległość ich środków wynosiłaby 8 cm. Oblicz pola tych kół.

C
Ćwiczenie 13

Odległość środków dwóch kół stycznych zewnętrznie jest równa 10 cm. Promienie kół pozostają w stosunku 4: 1. Oblicz pola tych kół.

B
Ćwiczenie 14

Oblicz obwód kwadratu, którego pole jest równe polu koła o średnicy 18.

B
Ćwiczenie 15

Oblicz stosunek obwodu koła o polu 16π do obwodu koła o polu 169π.

classicmobile
Ćwiczenie 16

Promień koła o polu 30 cm2 jest równy r. Promień koła o obwodzie 30 cm jest równy R.
Wskaż nierówność prawdziwą.

R13YhcbR9EeyL
static
B
Ćwiczenie 17

Koło i kwadrat mają równe pola. Oblicz stosunek obwodu koła do obwodu kwadratu.

imj7VMPRQR_d5e1040
B
Ćwiczenie 18

Punkt P( -1,3) leży na okręgu o środku = (0,5). Oblicz pole koła ograniczonego tym okręgiem.

classicmobile
Ćwiczenie 19

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

REw43y9Hvyv1Q
static
A
Ćwiczenie 20

Dokończ zdanie.

  1. Pole koła jest równe 16π. Średnica tego koła wynosi …

  2. Obwód koła jest równy π. Pole tego koła jest równe …

A
Ćwiczenie 21

Uzupełnij tabelkę.

Tabela. Dane

Średnica koła

Pole koła

Obwód koła

 8
π
24 π
classicmobile
Ćwiczenie 22

Koło oraz romb o przekątnych długości 8 cm6 cm mają takie same obwody. Pole koła wynosi

RH28ELO3nOrQA
Możliwe odpowiedzi: 1. π 20  cm 2 , 2. 100 π  cm 2 , 3. 10 π  cm 2 , 4. 10 π   cm 2
static
B
Ćwiczenie 23

Uzupełnij tabelkę.

Tabela. Dane

Długość boku trójkąta równobocznego

Promień koła opisanego na tym trójkącie

Pole koła opisanego na tym trójkącie

63 
12
3π 
π 
B
Ćwiczenie 24

Witraż ma kształt trójkąta równobocznego o boku długości 24 cm. Pomarańczowa część witraża jest w kształcie koła wpisanego w ten trójkąt. Pozostała część witraża jest niebieska.

RuDQqm0CibvGM1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz pole niebieskiej figury.

classicmobile
Ćwiczenie 25

W okrąg wpisano kwadrat i na ty samym okręgu opisano kwadrat. Stosunek pola kwadratu opisanego na okręgu do pola kwadratu wpisanego w ten okrąg

RrF0G73jPoVPj
static
classicmobile
Ćwiczenie 26

Pole koła o środku w punkcie O jest równe 1,69π. W odległości 0,5 od punktu O poprowadzono cięciwę.
Zaznacz każde zdanie prawdziwe.

Rwuyog9cxgj45
static
B
Ćwiczenie 27

Na trójkącie równobocznym o boku długości 3 opisano okrąg i w ten trójkąt wpisano okrąg .
Wykaż, że pole pierścienia kołowego wyznaczonego przez te okręgi jest równe 34π.

B
Ćwiczenie 28

Pole koła opisanego na trójkącie prostokątnym równoramiennym jest równe 72π.
Oblicz obwód tego trójkąta.

Aplikacje dostępne w
Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida