Siatka graniastosłupa

Rozcinając kartonowy model graniastosłupa i rozprostowując go na płaszczyźnie, otrzymujemy siatkę graniastosłupa. Siatka składa się z prostokątów (lub równoległoboków) będących ścianami bocznymi i dwóch wielokątów, będących podstawami.

Przykłady siatek graniastosłupów prostych

RZgOqHY6k5J2P1

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Animacja 3D pokazuje kolumny. Kreślone są krawędzie jednej kolumny – powstaje prostopadłościan. Dwa jednakowe prostopadłościany rozkładają się na dwie różne siatki prostopadłościanu.

R8diH9BEOdtba1

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Animacja 3D pokazuje dwie różne siatki prostopadłościanu, które składają się w jednakowe prostopadłościany. Prostopadłościan zmienia się w kolumnę, która stoi obok innych kolumn.

R1QcG5beNhrt11

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Animacja 3D pokazuje nakrętki na śruby. Kreślone są krawędzie jednej nakrętki – powstaje graniastosłup o podstawie sześciokąta foremnego. Dwa jednakowe graniastosłupy rozkładają się na dwie różne siatki graniastosłupa.

Rl9jl0NJTx8J11

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Animacja 3D pokazuje dwie różne siatki graniastosłupa, które składają się w jednakowe graniastosłupy. Graniastosłup zamienia się w nakrętkę leżącą między nakrętkami.

Ważne!

Siatką prostopadłościanu jest figura płaska, z której można złożyć model prostopadłościanu. Siatka prostopadłościanu składa się z trzech par przystajacych prostokątów.

R17lAXXZmKmlK1

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Animacja 3D pokazuje leżące na stole kostki do gry. Kreślone są krawędzie jednej kostki – powstaje sześcian. Dwa jednakowe sześciany rozkładają się na dwie różne siatki sześcianu.

R1EgN3tj6cmXF1

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Animacja 3D pokazuje dwie różne siatki sześcianu, które składają się w jednakowe sześciany. Sześcian zamienia się w kostkę do gry, która leży z innymi kostkami na stole.

irhRb68Cww_d5e170

Ważne!

Przykłady siatek prostopadłościanów.

R1ZKh4FQ0PKKj1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1JuBss5sAObJ1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ran5atJV1Rdit1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R3JBqQnAVmdkr1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Rysunek przedstawia siatkę graniastosłupa prostego. Oblicz sumę długości krawędzi tego graniastosłupa.

RvMKRNgfNO9NU1

Rysunek siatki graniastosłupa o podstawie trójkąta prostokątnego, którego jedna z przyprostokątnych jest równa 24 cm, przeciwprostokątna 25 cm. Krawędź boczna graniastosłupa ma długość 9 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wszystkie krawędzie boczne graniastosłupa są równe i mają długość $9 cm$ . Suma ich długości jest równa

3 \cdot 9 cm = 27 cm

Podstawą jest trójkąt prostokątny o jednej z przyprostokątnych długości $24 cm$ i przeciwprostokątnej długości $25 cm$ . Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczymy długość $x$ drugiej przyprostokątnej.

2 4^{2} + x^{2} = 2 5^{2}

576 + x^{2} = 625

x^{2} = 49

x = \sqrt{49} = 7

x = 7 cm

Obliczamy sumę długości krawędzi podstaw.

2 \cdot (24 + 7 + 25) cm = 112 cm

Obliczamy sumę długości wszystkich krawędzi.

27 cm + 112 cm = 139 cm

Odpowiedź:
Suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa wynosi $139 cm$ .

irhRb68Cww_d5e262

Pole powierzchni graniastosłupa

Znajomość siatki graniastosłupa pozwala wyznaczyć jego pole powierzchni. Jest ono równe sumie pól wszystkich wielokątów, z których składa się siatka.

RnIeWyzaiEWiZ1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja 3D pokazuje sześcian, który rozkłada się na siatkę sześcianu o krawędzi długości a. Zapis P = 6 razy a do kwadratu.

R1d2d02r8u9jg1

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Animacja 3D pokazuje prostopadłościan, który rozkłada się na siatkę prostopadłościanu. Zaznaczone są pola poszczególnych ścian: P = a razy b, P = b razy c, P = a razy c. Zapis: P = 2a razy b +2b razy c +2a razy c.

Ważne!

Wzór na pole powierzchni graniastosłupa

P = 2 \cdot P_{p} + P_{b}

$P$ - pole powierzchni graniastosłupa
$P_{p}$ - pole podstawy
$P_{b}$ – pole powierzchni bocznej

RR3NEVyoWp0wV1

Rysunek graniastosłupa prawidłowego trójkątnego oraz jego siatki. Zapis: Pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości w i krawędzi podstawy a wynosi P =3 razy a razy w +2 razy ułamek, licznik a kwadrat razy pierwiastek z trzech mianownik 4. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości w i krawędzi podstawy $a$

P = 3 a \cdot w + 2 \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

R1dwV0EsR7UiW1

Rysunek graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego oraz jego siatki. Zapis: Pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o wysokości w i krawędzi podstawy a wynosi P =6 razy a razy w +6 razy ułamek, licznik a kwadrat razy pierwiastek z trzech mianownik 4. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy $a$ i wysokości $w$

P = 6 a \cdot w + 3 a^{2} \sqrt{3}

Przykład 2

Podstawą graniastosłupa jest romb o wysokości $3 cm$ i kącie ostrym $30 °$ . Pole powierzchni bocznej jest równe $168 c m^{2}$ . Oblicz wysokość graniastosłupa i jego pole powierzchni całkowitej.

RL7Kl751SJjBQ1

Rysunek dwóch figur. Pierwsza figura to graniastosłup prosty o podstawie rombu. Krawędź podstawy równa jest a, wysokość bryły H. Druga figura to romb o wysokości 3 cm i boku równym a. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podstawą graniastosłupa jest romb, w którym kąt ostry ma miarę $30 °$ , a wysokość jest równa $3 cm$ . Z własności trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej $3 cm$ i kącie ostrym leżącym naprzeciw tej przyprostokątnej o mierze $30 °$ wynika, że długość przeciwprostokątnej jest równa $6 cm$ .
Zatem bok rombu ma długość $6 cm$ .

Obliczymy wysokość $H$ graniastosłupa, korzystając z tego, że pole powierzchni bocznej jest równe $168 c m^{2}$ .

4 \cdot 6 \cdot H = 168

24 H = 168

H = 7 cm

Obliczamy pole podstaw graniastosłupa.

2 P_{p} = 2 \cdot 3 \cdot 6 = 36

2 P_{p} = 36 c m^{2}

Obliczamy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jako sumę pola podstaw i pola powierzchni bocznej.

P_{c} = 2 P_{p} + P_{b}

P_{c} = 36 + 168 = 204

P_{c} = 204 c m^{2}

Odpowiedź:
Wysokość graniastosłupa jest równa $7 cm$ , a pole powierzchni jest równe $204 c m^{2}$ .

Zadania

irhRb68Cww_d5e398

Ćwiczenie 1

Oblicz pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego o wysokości $5 cm$ i podstawie przedstawionej na rysunku.

R1XAkWBjKPkO71

Rysunki trzech figur: a) trójkąt o boku długości 2 dm, b) kwadrat o boku równym 8 cm, c) sześciokąt o boku równym 3 mm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

a)( $200 \sqrt{3} + 300) c m^{2}$
b) $288 c m^{2}$
c) $(27 \sqrt{3} + 900) m m^{2}$

Ćwiczenie 2

Wysokość graniastosłupa jest równa $6,5 dm$ . Podstawą jest wielokąt przedstawiony na rysunku. Oblicz pole powierzchni graniastosłupa.

RaUpdYBkhcDjU1

Rysunki czterech wielokątów: a) równoległobok o wysokości równej 6 cm opuszczonej na bok równy 4 cm, drugi z boków 8cm, b) trójkąt o przyprostokątnych równych 3 cm i 5 cm, c) romb o przekątnych równych 8 cm i 6 cm, d) trapez o podstawach długości 4 dm i 10 dm oraz wysokości równej 8 dm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$698 c m^{3}$
$535 + 65 \sqrt{34} c m^{2}$
$1348 c m^{2}$

Pole podstawy to $\frac{(10 + 4) \cdot 8}{2} = 56 d m^{2}$ .
Pole podstaw to $112 d m^{2}$ .
Pole ścian bocznych to $(10 + 4 + \sqrt{73}) \cdot 6,5 d m^{2}$ .
Pole powierzchni graniastosłupa to $(112 + (10 + 4 + \sqrt{73}) \cdot 6,5) d m^{2}$ .

Ćwiczenie 3

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe $60 c m^{2}$ , a pole powierzchni bocznej
$48 c m^{2}$ . Oblicz pole podstawy.

Suma pól podstaw to $60 - 48 = 12 (c m^{2})$ .
Podstawa ma więc pole $6 c m^{2}$ .

Ćwiczenie 4

Pole powierzchni podstawy graniastosłupa jest równe $6 d m^{2}$ , a pole powierzchni bocznej jest siedmiokrotnie większe . Oblicz pole powierzchni całkowitej.

Pole powierzchni całkowitej to $2 ∙ 6 + 7 6 = 54 (d m^{2})$ .

Ćwiczenie 5

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego ma długość $4 cm$ . Wysokość graniastosłupa jest równa $6 cm$ . Narysuj siatkę tego graniastosłupa, wiedząc, że jego podstawą jest

trójkąt
czworokąt
pięciokąt
sześciokąt

Ćwiczenie 6

R1DqFijnbsyXX1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Pudełko ma kształt graniastosłupa prostego, którego podstawą jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $12 cm$ i $16 cm$ . Wysokość pudełka jest równa $10 cm$ . Dobierz odpowiednią skalę i narysuj siatkę, z której można zbudować pudełko. Oblicz, ile kartonu użyto na jego wykonanie.

Przeciwprostokątna podstawy ma długość $\sqrt{1 2^{2} + 1 6^{2}} = \sqrt{400} = 20 (cm)$ .
Pole siatki to $16 \cdot 12 + (16 + 12 + 20) 10 = 192 + 480 = 672 (c m^{2})$
Pole kartonu to $\frac{1}{4} \cdot 672 = 168 (c m^{2})$

classicmobile

Ćwiczenie 8

Które figury są siatkami prostopadłościanu?

R1RsMYT2t1opr

static

classicmobile

Ćwiczenie 9

Rysunek przedstawia siatkę graniastosłupa. Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1dmfJxwWQxB01

Rysunek siatki graniastosłupa złożonej z dwóch foremnych pięciokątów o boku równym 3 cm i pięciu prostokątów o bokach 3 cm i 5 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Vxc3wwEtFRX

Suma długości krawędzi graniastosłupa jest o $30 cm$ większa od sumy długości krawędzi bocznych.
Pole powierzchni podstawy jest równe $13,5 \sqrt{3} c m^{2}$ .
Pole powierzchni całkowitej jest o $75 c m^{2}$ większe od sumy pól powierzchni podstaw.
Krawędź boczna graniastosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem $72 °$ .

Suma długości krawędzi bocznych to $55 = 25 (cm)$ , suma wszystkich krawędzi to $532 + 25 = 55 (cm)$ , czyli jest o $30 cm$ większa. Zdanie prawdziwe.
Pole podstawy to $6 \cdot \frac{3^{2} \sqrt{3}}{4} = 18 \sqrt{3} (c m^{2})$ . Zdanie to jest więc fałszywe.
Suma pól podstaw jest równa $36 \sqrt{3} c m^{2}$ , zaś pole powierzchni całkowitej to $535 + 36 \sqrt{3} = 75 + 36 \sqrt{3} (c m^{2})$ . Zdanie jest prawdziwe.
Krawędź boczna jest prostopadłą, więc jest to zdanie fałszywe.

Ćwiczenie 10

Siatka graniastosłupa prostego składa się z odcinków, których suma długości jest równa $200 cm$ . Oblicz, jaka jest długość wysokości tego graniastosłupa, jeśli podstawa jest

trójkątem prostokątnym o przyprostokątnej długości $6 cm$ i przeciwprostokątnej długości $10 cm$
rombem o boku długości $5 cm$ ,
pięciokątem foremnym o boku długości $10 cm$ ,

$\frac{76}{3} cm$
$h = 20 cm$
$h = 10 cm$

irhRb68Cww_d5e722

Ćwiczenie 11

Oblicz pole powierzchni bocznej graniastosłupa:

którego podstawą jest trójkąt , w którym dwa kąty mają miary $30 °$ i $60 °$ , a najdłuższy bok ma długość $10 cm$ . Wysokość graniastosłupa jest równa $1,5 dm$ .
którego podstawą jest trapez prostokątny o wysokości $4 cm$ i podstawach długości $5 cm$ i $8 cm$ . Wysokość graniastosłupa stanowi $20 %$ najdłuższego boku podstawy.

Przeciwprostokątna ma długość $10 cm$ , a krótsza przyprostokątna - $5 cm$ . Stąd druga przyprostokątna ma długość $5 \sqrt{3} cm$ . Pole powierzchni bocznej jest równe
$((5 \sqrt{3} + 10 + 5) \cdot 15 = (75 \sqrt{3} + 225) (c m^{2}) .$
Długości boków trapezu są równe $4 cm, 8 cm, 5 cm$ i $5 cm$ . Wysokość graniastosłupa jest równa

0,2 8 cm = 1,6 cm .

Pole boczne graniastosłupa to $(4 + 8 + 5 + 5) 1,6 = 35,2 (c m^{2}) .$

Ćwiczenie 12

Podstawą graniastosłupa jest trapez równoramienny, w którym kąt ostry ma miarę $45 °$ . Boki równoległe trapezu są równe $8 cm$ i $10 cm$ . Pole powierzchni całkowitej jest równe $24 (6 + \sqrt{2})$ $c m^{2}$ . Oblicz wysokość graniastosłupa.

Wysokość trapezu jest równa $1 cm$ , pole trapezu jest równe $9 c m^{2}$ . Pole powierzchni całkowitej jest równe

18 + (8 + 10 + 2 \sqrt{2}) h

Zatem otrzymujemy równanie

18 + (18 + 2 \sqrt{2}) \cdot h = 24 (6 + \sqrt{2})

Stąd

h = \frac{543 + 45 \sqrt{2}}{79} cm

classicmobile

Ćwiczenie 13

Podstawą graniastosłupa jest prostokąt o obwodzie $20$ . Dwie ściany boczne są kwadrami, o polu $36$ każda. Wynika z tego, że

RNRtx015Dvh19

pole podstawy graniastosłupa jest większe od $20$ .
pole powierzchni bocznej jest równe $120$ .
pole powierzchni całkowitej jest równe $84$ .
pole podstawy jest mniejsze od pola powierzchni bocznej o $20$ .

static

Ćwiczenie 13

Podstawą graniastosłupa jest prostokąt o obwodzie $20$ . Dwie ściany boczne są kwadrami, o polu $36$ każda. Wynika z tego, że

RQrrBq2LjiIXT

pole podstawy graniastosłupa jest większe od $20$ .
pole powierzchni bocznej jest równe $120$ .
pole powierzchni całkowitej jest równe $84$ .
pole podstawy jest mniejsze od pola powierzchni bocznej o $20$ .

Ćwiczenie 14

Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa, którego krawędź boczna ma długość $10 cm$ , a podstawa jest rombem o przekątnych długości $6 cm$ i $8 cm$ .

Pole podstawy to $\frac{6 \cdot 8}{2} = 24 c m^{2}$ . Długość krawędzi podstawy - $5 cm$ .
Pole powierzchni bocznej jest równe $20 \cdot 10 = 200 (c m^{2}) .$
Pole powierzchni całkowitej jest równe $48 + 200 = 248 (c m^{2})$ .

Ćwiczenie 15

Wysokość graniastosłupa jest równa $10 cm$ . Podstawą jest trapez równoramienny o bokach długości $5 cm, 3 cm, 2 cm, 2 cm$ .
Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.

Pole powierzchni bocznej jest równe $(5 + 3 + 2 + 2) 10 = 120 (c m^{2})$ .

Ćwiczenie 16

Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego pięciokątnego ma długość $4 \sqrt{10}$ i tworzy z krawędzią boczną kąt $60 °$ . Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.

Krawędź boczna to połowa przekątnej, czyli $2 \sqrt{10}$ . Długość krawędzi podstawy $x$ spełnia równanie

x^{2} = {(4 \sqrt{10})}^{2} - {(2 \sqrt{10})}^{2} = 120,

skąd $x = 2 \sqrt{30}$ .
Pole powierzchni bocznej jest równe

(5 \cdot 2 \sqrt{30}) \cdot 2 \sqrt{10} = 20 \sqrt{300} = 200 \sqrt{3}

Ćwiczenie 17

Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny o bokach długości $5 cm, 5 cm$ i $6 cm$ . Przekątna największej ściany bocznej tworzy z krawędzią postawy kąt $45 °$ . Oblicz pole powierzchni tego graniastosłupa.

Wysokość podstawy jest równa $4 cm$ , pole podstawy to $12 c m^{2}$ , wysokość graniastosłupa to $6 cm$ .
Stąd pole powierzchni całkowitej to $120 c m^{2}$ .

Ćwiczenie 18

Ściana boczna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest kwadratem o przekątnej długości $8$ . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Długość krawędzi podstawy jest równa wysokości graniastosłupa i jest równa $4 \sqrt{2}$ . Pole podstawy jest równe $6 \frac{{(4 \sqrt{2})}^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = 48 \sqrt{3}$ . Pole powierzchni całkowitej jest równe
$2 ∙ 48 \sqrt{3} + 6 {(4 \sqrt{2})}^{2} = 96 \sqrt{3} + 192 = 96 (\sqrt{3} + 2)$ .

Ćwiczenie 19

Suma długości wszystkich krawędzi każdego z dwóch graniastosłupów prawidłowych: trójkątnego oraz czworokątnego jest równa $36 cm$ . Wszystkie krawędzie mają jednakową długość. Który z tych graniastosłupów ma większe pole powierzchni całkowitej?

Graniastosłup trójkątny ma $9$ krawędzi, czyli każda ma $4 cm$ długości. W prostopadłościanie jest ich $12$ , więc każda ma $3 cm$ długości. Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa trójkątnego to

2 \cdot \frac{16 \sqrt{3}}{4} + 3 \cdot 16 = 8 \sqrt{3} + 48 \approx 61,85 (c m^{2}),

pole powierzchni prostopadłościanu jest równe $54 c m^{2}$ .
Pole całkowite graniastosłupa trójkątnego jest większe.

Ćwiczenie 20

Betonowy blok ma kształt sześcianu o krawędzi długości $50 cm$ .
W bloku wycięto otwór, tak jak na rysunku. Otwór ma kształt prostopadłościanu
o krawędzi długości $10 cm$ . Oblicz pole powierzchni pozostałej części bloku.

R1RA3PMwXOv7h1

Rysunek betonowego bloczku w kształcie sześcianu z wyciętym w środku otworem w postaci prostopadłościanu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole pozostałej części jest równe $4 50^{2} + 4 50 ∙ 10 + 2 ∙ (50^{2} - 10^{2}) = 16800 (c m^{2})$ .

Ćwiczenie 21

Dno basenu jest prostokątem o wymiarach $15 m$ i $10 m$ . Basen ma głębokość $3 m$ . Oblicz pole powierzchni całkowitej basenu.

Pole powierzchni basenu to pole powierzchni graniastosłupa, bez pola podstawy górnej.

15 \cdot 10 + 3 \cdot 2 \cdot 15 + 3 \cdot 2 \cdot 10 = 300 m^{2}

classicmobile

Ćwiczenie 22

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

R17KsMXekZYV7

Pola powierzchni dwóch sześcianów są równe. Wynika z tego, że ich krawędzie też są równe.
Jeśli krawędzie jednego graniastosłupa są odpowiednio równe krawędziom drugiego graniastosłupa, to graniastosłupy te mają jednakowe pola powierzchni.
Jeśli wszystkie krawędzie prostopadłościanu zwiększymy dwukrotnie, to jego powierzchnia całkowita zwiększy się czterokrotnie.

static

Ćwiczenie 23

Oceń prawdziwość poniższego wniosku.
Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość $10$ . Wysokość graniastosłupa jest równa $0,5$ . Zatem pole jego powierzchni całkowitej wyraża się liczbą naturalną.

Fałsz. Ponieważ wysokość trójkąta będącego podstawą jest równa $\sqrt{3}$ , więc liczba wyrażająca pole powierzchni całkowitej nie będzie liczbą naturalną.

Graniastosłup - opis

Jednostki objętości. Objętość graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa

Siatka graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa