Jednostki objętości. Zamiana jednostek

Przykład 1

R1Pqr23RkTJpc1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja 3D pokazuje krążące jednakowe sześciany, które łączą się w prostopadłościan złożony z dwudziestu czterech sześcianów.

R9TTPInumFZRb1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja 3D pokazuje krążące jednakowe sześciany, które łączą się w duże sześciany - jeden złożony z ośmiu sześcianów oraz drugi złożony z dwudziestu siedmiu sześcianów.

Przykład 2

R1MUu59hum3xU1

Rysunek Multimedialnego parku Fontann w Warszawie. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Multimedialny Park Fontann w Warszawie tworzą dwie fontanny, z których tryska prawie 30 tysięcy litrów wody na minutę.
Dzięki laserom w strumieniach wody oświetlanej kolorowym światłem pojawiają się bajkowe animacje.
Woda tryskająca z fontann w ciągu minuty napełniłaby prostopadłościan o wymiarach $3 m$ i $2 m$ i $5 m$ .
W jaki sposób można to obliczyć?

Rrg4tnSwBLe1H1

Rysunek prostopadłościanu, którego krawędzie podstawy mają długość 3 m i 2 m oraz wysokość równą 5 m. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeden litr to $1$ decymetr sześcienny, więc $30 000 l = 30 000 d m^{3}$ .
Zamieniamy teraz $d m^{3}$ na $m^{3}$

1 dm = 0,1 m,

stąd

{(1 dm)}^{3} = {(0,1 m)}^{3} = 0,001 m^{3} czyli 30 000 d m^{3} = 30 000 \cdot 0,001 m^{3} = 30 m^{3}

Obliczamy objętość prostopadłościanu.

V = 3 m \cdot 2 m \cdot 5 m = 30 m^{3}

Najczęściej stosowane jednostki objętości to $k m^{3}, m^{3}, d m^{3}, c m^{3}$ i $m m^{3}$ .
W wielu przypadkach zachodzi konieczność zamiany jednostek objętości. Korzystamy wtedy z zależności między jednostkami długości.

Przykład 3

R1BHXQgqJsq8L1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja

Przykład 4

$1 k m^{3} = 1 km \cdot 1 km \cdot 1 km = 1000 m \cdot 1000 m \cdot 1000 m = (1 0^{3} \cdot 1 0^{3} \cdot 1 0^{3}) m^{3} = 1 0^{9} m^{3}$
$1 m^{3} = 1 m \cdot 1 m \cdot 1 m = 10 dm \cdot 10 dm \cdot 10 dm = 1000 d m^{3} = 1 0^{3} d m^{3}$
$1 d m^{3} = 1 dm \cdot 1 dm \cdot 1 dm = 10 cm \cdot 10 cm \cdot 10 cm = 1000 c m^{3} = 1 0^{3} c m^{3}$
$1 c m^{3} = 1 cm \cdot 1 cm \cdot 1 cm = 10 mm \cdot 10 mm \cdot 10 mm = 1000 m m^{3} = 1 0^{3} m m^{3}$
$1 m^{3} = 1 0^{3} d m^{3} = {(10 dm)}^{3} = (10 \cdot 10 cm)^{3} = 1 0^{6} c m^{3}$

Przykład 5

$600 c m^{3} = 600 \cdot 0,000001 m^{3} = 0,006 m^{3}$
$5 c m^{3} = 5 \cdot 0,001 d m^{3} = 0,005 d m^{3}$

Ilość ciał sypkich lub płynów określa się w jednostkach pojemności: mililitr, litr, hektolitr.

Przykład 6

$1 l = 1 d m^{3} = 1 dm \cdot 1 dm \cdot 1 dm = 10 cm \cdot 10 cm \cdot 10 cm = 1000 c m^{3} 1 c m^{3} = 0,001 l$
$1 ml = 1 c m^{3} = 0,001 l$
$1 hl = 100 l$
$75,8 l = 75, 8 ∙ 1 l = 75,8 \cdot 0,01 hl = 0,758 hl$
$2, 3 hl = 2, 3 \cdot 1 hl = 2, 3 \cdot 100 l = 230 l$

Tabela. Dane
Jednostki objętości	Jednostki pojemności
$1 m m^{3}$ $1 c m^{3} = 1000 m m^{3}$ $1 d m^{3} = 1000 c m^{3}$ $1 m^{3} = 1000 d m^{3}$ $1 k m^{3} = 1 000 000 000 m^{3}$ $1 c m^{3} = 0 001 m^{3}$ $1 d m^{3} = 0,000001 m^{3}$ $1 m^{3} = 0,000 000 001 k m^{3}$	$1 ml$ $1 l = 1 d m^{3}$ $1 hl = 100 l$ $1 l = 0,01 hl$ $1 ml = 0,001 l$ $1 m^{3} = 1000 d m^{3} = 1000 l$

iDoB6wHbvh_d5e199

Objętość graniastosłupa

Ważne!

Objętość graniastosłupa jest równa iloczynowi pola jego podstawy przez wysokość.

V = P_{p} \cdot H

$V$ – objętość
$P_{p}$ - pole podstawy
$H$ - wysokość graniastosłupa

Obliczając objętość graniastosłupa, należy pamiętać, aby wszystkie jego wymiary wyrażone były w tej samej jednostce.

Przykład 7

Podstawą graniastosłupa jest trapez o wysokości $6 cm$ , a podstawy mają długości $1,2 dm$ i $8 cm$ .
Wysokość graniastosłupa jest równa $2 dm$ .

R16YaDtm8W35r1

Rysunek graniastosłupa o podstawie trapezu o wysokości 6 cm i podstawach długości 1,2 dm i 8 cm. Wysokość graniastosłupa jest równa 2 dm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapisujemy wymiary podstawy i wysokość graniastosłupa w centymetrach.

1,2 dm = 12 cm

2 dm = 20 cm

Obliczamy pole podstawy graniastosłupa – pole trapezu.

P_{p} = \frac{1}{2} (12 + 8) \cdot 6

P_{p} = 60 c m^{2}

Obliczamy objętość graniastosłupa.

V = P_{p} \cdot H

V = 60 \cdot 20

V = 1200 c m^{3}

Odpowiedź:
Objętość graniastosłupa jest równa $1200 c m^{3}$ .

Przykład 8

W krajach anglosaskich jedną z miar pojemności jest galon. Galon amerykański to około $3800 c m^{3}$ .
Pojemność baku samochodu Bogdana wynosi $72,2 l$ . Ile kanistrów paliwa o pojemności $1$ galona trzeba by nalać do baku tego samochodu, aby go napełnić?
Zapisujemy pojemność baku w ${cm}^{3}$ .

72,2 l = 72,2 d m^{3} = 72 200 c m^{3}

Obliczamy, ile potrzeba kanistrów paliwa, by wypełnić bak.

72 200 : 3800 = 19

Odpowiedź:
Potrzeba $19$ kanistrów paliwa.

Ciekawostka

W światowym przemyśle naftowym jednostką objętości jest baryłka.
$1$ baryłka $= 42$ galony $\approx 160 l$
W Europie jednak ilość ropy wyraża się w tonach. Z jednej baryłki ropy otrzymuje się około $20$ galonów benzyny.

iDoB6wHbvh_d5e325

Ćwiczenie 1

Re9UVvqNJdAsR1

Uzupełnij.

a) $5, 79 {dm}^{3} =$ ............ ${cm}^{3}$
b) $98 {mm}^{3} =$ ............ ${cm}^{3}$
c) $2 m^{3} =$ .............. ${cm}^{3}$
d) $0, 00045 {km}^{3} =$ ............ $m^{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 2

$4,5 l$ to

RXTWBv8DDmt1i

$45 d m^{3}$
$450 m m^{3}$
$0,0045 m^{3}$
$0,45 hl$

static

Ćwiczenie 2

$4,5 l$ to

R1JCxNNbKmeMU

$45 d m^{3}$
$450 m m^{3}$
$0,0045 m^{3}$
$0,45 hl$

Ćwiczenie 3

RFnY2oGgxRlVP1

Uzupełnij.

a) $22 {dm}^{3} =$ ............ $l$
b) $7800 {mm}^{3} =$ ............ $l$
c) $658 ml =$ ............ $l$
d) $3, 34 hl =$ ............ $l$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

RXBogSpJ8I7Mf1

Uzupełnij.

Litr soku waży $1, 04 kg$ . Zatem $0, 4 {dm}^{3}$ soku waży ............ $kg$ , $65 {dm}^{3}$ soku waży ............ $kg$ , natomiast $5600 {cm}^{3}$ soku waży ............ $kg$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Metr sześcienny betonu waży około $2500 kg$ . Ile waży beton zawarty w prostopadłościennej taczce o wymiarach $80 cm$ i $60$ i $20 cm$ ?

80 cm \cdot 60 cm \cdot 20 cm = 96000 c m^{3} = 96000 \cdot 0,000001 m^{3} = 0,096 m^{3}

0,096 \cdot 2500 kg =

= 240 kg

Ćwiczenie 6

Do akwarium wrzucono dwie sześcienne kostki o objętości $0,5 l$ każda. O ile centymetrów podniesie się poziom wody ?

RthtZypACeXFK1

Rysunek akwarium w kształcie prostopadłościanu o krawędziach podstawy równych 5 dm i 6 dm oraz wysokości 4 dm. Zaznaczony poziom wody równy 1 dm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Objętość kostek

1 l = 1 d m^{3} = 5 dm \cdot 6 dm \cdot x cm

Czyli

1000 c m^{3} = 50 cm \cdot 60 cm \cdot x cm

Stąd

x = \frac{1}{3} cm .

Ćwiczenie 7

Wszystkie krawędzie graniastosłupa prawidłowego są równe i mają długość $4 cm$ . Oblicz objętość takiego graniastosłupa, jeśli jego podstawa jest

trójkątem
czworokątem
sześciokątem

$V = \frac{4^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 4 = 16 \sqrt{3} (c m^{3})$
$V = 4^{3} = 64 (c m^{3})$
$V = 6 \cdot \frac{4^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 4 = 96 \sqrt{3} (c m^{3})$

Ćwiczenie 8

Wysokość każdego z graniastosłupów prostych jest równa $10$ . Oblicz ich objętości.

R1de44ypSpY6b1

Rysunek trzech graniastosłupów prostych. Pierwszy graniastosłup ma w podstawie trójkąt równoboczny o boku równym 5. Drugi graniastosłup ma w podstawie trapez o podstawach długości 4 i 6oraz wysokości trapezu równej 5. Trzeci graniastosłup ma w podstawie kwadrat o boku równym 3. Wysokość wszystkich graniastosłupów wynosi 10. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

a) $V = \frac{25 \sqrt{3}}{4} \cdot 10 c m^{3} = 62,5 \sqrt{3} c m^{3}$
b) $V = \frac{1}{2} (6 + 4) \cdot 5 \cdot 10 = 250 (c m^{3})$
c) $V = 9 \cdot 10 = 90 (cm 3)$

Ćwiczenie 9

W graniastosłupie prostym krawędź boczna ma długość $6$ . Oblicz objętość graniastosłupa, wiedząc, że jego podstawą jest

trójkąt prostokątny równoramienny o przeciwprostokątnej długości $2$
równoległobok, w którym wysokość jest równa $2$ , a podstawa $3$
trapez prostokątny o wysokości $7$ oraz podstawach długości $6$ i $8$
romb o przekątnych długości $4$ i $8$

Wysokość trójkąta $h = \sqrt{2}$ , pole podstawy jest równe $1$ , stąd objętość jest równa $6$ .
Objętość jest równa $2 \cdot 3 \cdot 6 = 36$ .
Objętość jest równa $\frac{(6 + 8) \cdot 7}{2} \cdot 6 = 294$ .
Objętość jest równa $\frac{4 \cdot 8}{2} \cdot 6 = 96$ .

Ćwiczenie 10

Objętość graniastosłupa jest równa $120$ . Oblicz sumę długości jego krawędzi bocznych, wiedząc, że jego podstawą jest

kwadrat o obwodzie $20$
trapez równoramienny, którego krótsza podstawa ma długość $6$ , kąt ostry $45 °$ , a ramię ma długość $3 \sqrt{2}$
prostokąt o bokach długości $4$ i $5$
sześciokąt foremny o boku długości $1$

Bok kwadratu ma długość $5$ , pole $25$ . Długość krawędzi $\frac{120}{25} = 4,8$ .
Suma długości krawędzi bocznych jest równa
$4 \cdot 4,8 = 19,2$
Z twierdzenia Pitagorasa $2 x^{2} = {(3 \sqrt{2})}^{2}$ , stąd $x = 3 .$
Podstawa dolna ma długość $12$ .
$V = \frac{(12 + 6)}{2} \cdot 3 \cdot h = 120$ Stąd $h = \frac{120}{27}$ , więc suma długości krawędzi bocznych jest równa $\frac{480}{27}$ .
$120 = 4 ∙ 5 ∙ h$ , stąd $h = 6$ , więc suma długości krawędzi bocznych jest równa $24$ .
Otrzymujemy równanie: $6 \cdot \frac{1 \sqrt{3}}{4} \cdot h = 120$ , stąd $h =$ $\frac{80}{\sqrt{3}}$ . Zatem suma długości krawędzi bocznych jest równa $\frac{480}{\sqrt{3}} = \frac{480 \sqrt{3}}{3} = 160 \sqrt{3}$ .

iDoB6wHbvh_d5e632

Ćwiczenie 11

Jak zmieni się objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, gdy

jego wysokość zwiększy się dwukrotnie
długość krawędzi jego podstawy zwiększy się dwukrotnie
jego wysokość zwiększy się dwukrotnie, a długość krawędzi zmniejszy się dwukrotnie

Ćwiczenie 12

Objętość pudełka w kształcie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa $90 \sqrt{3} c m^{3}$ . Wysokość ściany bocznej jest równa $10 cm$ . Oblicz sumę długości jego krawędzi.

Wysokość pudełka – $10 cm$ , pole podstawy jest równe

\frac{x^{2} \sqrt{3}}{4} c m^{2}

Stąd

90 \sqrt{3} = 10 \cdot \frac{x^{2} \sqrt{3}}{4}

Zatem $x = 6 cm$ . Suma długości krawędzi jest równa

6 ∙ 6 cm + 3 ∙ 10 cm = 66 cm

Ćwiczenie 13

Ile litrów wody zmieści się w pudle o wymiarach $120 cm, 80 cm, 30 cm$ i wysokości równej $40 cm$ ?

$V = \frac{(80 + 30) \cdot 40}{2} \cdot 120 = 264000$
$264000 c m^{3} = 264 litry$

Ćwiczenie 14

R8a7984L2aESs1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

Objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa $24 \sqrt{3} {cm}^{3}$ . Wysokość graniastosłupa ma długość $6 cm$ . Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

Z równania $24 \sqrt{3} = 6 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3} ∙ 6}{4}$ wyznaczamy długość krawędzi podstawy $a = \frac{2 \sqrt{6}}{3} cm .$

Ćwiczenie 16

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi $64 \sqrt{3} {cm}^{3}$ . Oblicz wysokość graniastosłupa, wiedząc, że jest ona czterokrotnie dłuższa od krawędzi podstawy.

Z równania $64 \sqrt{3} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 4 a$ wyznaczamy długość krawędzi podstawy $a = 4 cm$ . Wysokość: $16 cm$ .

Ćwiczenie 17

Podstawą graniastosłupa jest romb. Stosunek długości przekątnych podstawy i wysokości graniastosłupa jest równy $1 : 3 : 4$ . Objętość graniastosłupa jest równa $384 {cm}^{3}$ . Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

Niech $x$ oznacza długość krótszej przekątnej podstawy. Wtedy dłuższa przekątna jest równa $3 x$ , a wysokość graniastosłupa jest równa $4 x$ . Otrzymujemy równanie

384 = \frac{x \cdot 3 x}{2} \cdot 4 x

Stąd $x = 4 cm$ . Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy równanie

{(\frac{x}{2})}^{2} + {(\frac{3 x}{2})}^{2} = a^{2}

wyznaczymy długość krawędzi rombu $a = 2 \sqrt{10} cm$ .

Ćwiczenie 18

Suma długości wszystkich krawędzi każdego z trzech graniastosłupów prawidłowych: trójkątnego, czworokątnego oraz sześciokątnego jest równa $36 cm$ . Wszystkie krawędzie w każdym z graniastosłupów mają jednakową długość. Oblicz objętość każdego z graniastosłupów.

Długość krawędzi graniastosłupa trójkątnego $x$ wyznaczymy z równania: $9 x = 36$ , stąd $x = 4$ .
Długość krawędzi graniastosłupa czworokątnego $y$ wyznaczmy z równania: $12 y = 36$ , stąd $y = 3$ .
Długość krawędzi graniastosłupa sześciokątnego $z$ wyznaczymy z równania: $18 z = 36$ , stąd $z = 2$ .
Objętość graniastosłupa trójkątnego: $V = \frac{16 \sqrt{3}}{4} \cdot 4 = 16 \sqrt{3} ({cm}^{3}) .$
Objętość graniastosłupa czworokątnego: $V = 3^{3} = 27 ({cm}^{3})$ .
Objętość graniastosłupa sześciokątnego: $V = 6 \cdot \frac{4 \sqrt{3}}{4} \cdot 2 = 12 \sqrt{3} ({cm}^{3})$ .

Ćwiczenie 19

Pole podstawy graniastosłupa jest równe $36 {cm}^{2}$ . Wysokość tego graniastosłupa jest równa $6 cm$ . O ile procent należy zmniejszyć wysokość tego graniastosłupa, aby jego objętość zmniejszyła się o $10 %$ ?

Również o $10 %$ .
Z równania $0,9 \cdot 36 \cdot 6 = 36 \cdot h$ wyznaczamy $h = 5,4 cm$ , a to stanowi $0,9$ poprzedniej wysokości, czyli zmniejszyła się ona o $10 %$ .

Ćwiczenie 20

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość $5 cm$ . Jego dłuższa przekątna nachylona jest do podstawy pod kątem $45 °$ . Oblicz jego objętość.

Z zadania wynika, że wysokość graniastosłupa jest równa $10 cm$ . Zatem $V = 6 \cdot \frac{5^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 10 = 375 \sqrt{3} ({cm}^{3})$ .

Ćwiczenie 21

Podstawą graniastosłupa prostego jest deltoid o polu $100 {cm}^{2}$ . Jedna przekątna deltoidu jest dwa razy dłuższa od drugiej. Wysokość graniastosłupa stanowi $20 %$ sumy długości przekątnych deltoidu. Oblicz objętość graniastosłupa.

Z równania $100 = 2 x \cdot \frac{x}{2}$ wyznaczamy krótszą przekątną $x = 10 cm$ i dłuższą $2 x = 20 cm$ . Wysokość wynosi zatem

0,2 \cdot 3 x = 0,6 \cdot 10 = 6 cm

V = 100 ∙ 6 = 600 {cm}^{3}

Ćwiczenie 22

Podstawą graniastosłupa pochyłego jest kwadrat o boku $5$ . Wszystkie krawędzie boczne mają długość $10$ i są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem $45 °$ Oblicz objętość graniastosłupa.

Wysokość jest bokiem kwadratu o przekątnej $10$ , więc jej długość jest równa $5 \sqrt{2}$ .

V = 5^{2} \cdot 5 \sqrt{2} = 125 \sqrt{2}

Pole powierzchni graniastosłupa

Ostrosłup – opis bryły

Jednostki objętości. Objętość graniastosłupa

Jednostki objętości. Zamiana jednostek

Objętość graniastosłupa