Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja 3D pokazuje krążące jednakowe sześciany, które łączą się w prostopadłościan złożony z dwudziestu czterech sześcianów.
R9TTPInumFZRb1
Animacja 3D pokazuje krążące jednakowe sześciany, które łączą się w duże sześciany - jeden złożony z ośmiu sześcianów oraz drugi złożony z dwudziestu siedmiu sześcianów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja 3D pokazuje krążące jednakowe sześciany, które łączą się w duże sześciany - jeden złożony z ośmiu sześcianów oraz drugi złożony z dwudziestu siedmiu sześcianów.
Przykład 2
R1MUu59hum3xU1
Rysunek Multimedialnego parku Fontann w Warszawie.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Multimedialny Park Fontann w Warszawie tworzą dwie fontanny, z których tryska prawie 30 tysięcy litrów wody na minutę. Dzięki laserom w strumieniach wody oświetlanej kolorowym światłem pojawiają się bajkowe animacje. Woda tryskająca z fontann w ciągu minuty napełniłaby prostopadłościan o wymiarach i i . W jaki sposób można to obliczyć?
Rrg4tnSwBLe1H1
Rysunek prostopadłościanu, którego krawędzie podstawy mają długość 3 m i 2 m oraz wysokość równą 5 m.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Jeden litr to decymetr sześcienny, więc . Zamieniamy teraz na
stąd
Obliczamy objętość prostopadłościanu.
Najczęściej stosowane jednostki objętości to i . W wielu przypadkach zachodzi konieczność zamiany jednostek objętości. Korzystamy wtedy z zależności między jednostkami długości.
Przykład 3
R1BHXQgqJsq8L1
Animacja
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja
Przykład 4
Przykład 5
Ilość ciał sypkich lub płynów określa się w jednostkach pojemności: mililitr, litr, hektolitr.
Przykład 6
Tabela. Dane
Jednostki objętości
Jednostki pojemności
iDoB6wHbvh_d5e199
Objętość graniastosłupa
Ważne!
Objętość graniastosłupa jest równa iloczynowi pola jego podstawy przez wysokość.
– objętość
- pole podstawy
- wysokość graniastosłupa
Obliczając objętość graniastosłupa, należy pamiętać, aby wszystkie jego wymiary wyrażone były w tej samej jednostce.
Przykład 7
Podstawą graniastosłupa jest trapez o wysokości , a podstawy mają długości i . Wysokość graniastosłupa jest równa .
R16YaDtm8W35r1
Rysunek graniastosłupa o podstawie trapezu o wysokości 6 cm i podstawach długości 1,2 dm i 8 cm. Wysokość graniastosłupa jest równa 2 dm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zapisujemy wymiary podstawy i wysokość graniastosłupa w centymetrach.
Obliczamy pole podstawy graniastosłupa – pole trapezu.
Obliczamy objętość graniastosłupa.
Odpowiedź: Objętość graniastosłupa jest równa .
Przykład 8
W krajach anglosaskich jedną z miar pojemności jest galon. Galon amerykański to około . Pojemność baku samochodu Bogdana wynosi . Ile kanistrów paliwa o pojemności galona trzeba by nalać do baku tego samochodu, aby go napełnić? Zapisujemy pojemność baku w .
Obliczamy, ile potrzeba kanistrów paliwa, by wypełnić bak.
Odpowiedź: Potrzeba kanistrów paliwa.
Ciekawostka
W światowym przemyśle naftowym jednostką objętości jest baryłka. baryłka galony W Europie jednak ilość ropy wyraża się w tonach. Z jednej baryłki ropy otrzymuje się około galonów benzyny.
iDoB6wHbvh_d5e325
A
Ćwiczenie 1
Re9UVvqNJdAsR1
Zadanie interaktywne
Zadanie interaktywne
Uzupełnij.
a) ............
b) ............
c) ..............
d) ............
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 2
to
RXTWBv8DDmt1i
static
Ćwiczenie 2
to
R1JCxNNbKmeMU
A
Ćwiczenie 3
RFnY2oGgxRlVP1
Zadanie interaktywne
Zadanie interaktywne
Uzupełnij.
a) ............
b) ............
c) ............
d) ............
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 4
RXBogSpJ8I7Mf1
Zadanie interaktywne
Zadanie interaktywne
Uzupełnij.
Litr soku waży . Zatem soku waży ............ , soku waży ............ , natomiast soku waży ............ .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
B
Ćwiczenie 5
Metr sześcienny betonu waży około . Ile waży beton zawarty w prostopadłościennej taczce o wymiarach i i ?
A
Ćwiczenie 6
Do akwarium wrzucono dwie sześcienne kostki o objętości każda. O ile centymetrów podniesie się poziom wody ?
RthtZypACeXFK1
Rysunek akwarium w kształcie prostopadłościanu o krawędziach podstawy równych 5 dm i 6 dm oraz wysokości 4 dm. Zaznaczony poziom wody równy 1 dm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Objętość kostek
Czyli
Stąd
A
Ćwiczenie 7
Wszystkie krawędzie graniastosłupa prawidłowego są równe i mają długość . Oblicz objętość takiego graniastosłupa, jeśli jego podstawa jest
trójkątem
czworokątem
sześciokątem
A
Ćwiczenie 8
Wysokość każdego z graniastosłupów prostych jest równa . Oblicz ich objętości.
R1de44ypSpY6b1
Rysunek trzech graniastosłupów prostych. Pierwszy graniastosłup ma w podstawie trójkąt równoboczny o boku równym 5. Drugi graniastosłup ma w podstawie trapez o podstawach długości 4 i 6oraz wysokości trapezu równej 5. Trzeci graniastosłup ma w podstawie kwadrat o boku równym 3. Wysokość wszystkich graniastosłupów wynosi 10.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
a) b) c)
A
Ćwiczenie 9
W graniastosłupie prostym krawędź boczna ma długość . Oblicz objętość graniastosłupa, wiedząc, że jego podstawą jest
trójkąt prostokątny równoramienny o przeciwprostokątnej długości
równoległobok, w którym wysokość jest równa , a podstawa
trapez prostokątny o wysokości oraz podstawach długości i
romb o przekątnych długości i
Wysokość trójkąta , pole podstawy jest równe , stąd objętość jest równa .
Objętość jest równa .
Objętość jest równa .
Objętość jest równa .
A
Ćwiczenie 10
Objętość graniastosłupa jest równa . Oblicz sumę długości jego krawędzi bocznych, wiedząc, że jego podstawą jest
kwadrat o obwodzie
trapez równoramienny, którego krótsza podstawa ma długość , kąt ostry , a ramię ma długość
prostokąt o bokach długości i
sześciokąt foremny o boku długości
Bok kwadratu ma długość , pole . Długość krawędzi . Suma długości krawędzi bocznych jest równa
Z twierdzenia Pitagorasa , stąd Podstawa dolna ma długość . Stąd , więc suma długości krawędzi bocznych jest równa .
, stąd , więc suma długości krawędzi bocznych jest równa .
Otrzymujemy równanie: , stąd . Zatem suma długości krawędzi bocznych jest równa .
iDoB6wHbvh_d5e632
B
Ćwiczenie 11
Jak zmieni się objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, gdy
jego wysokość zwiększy się dwukrotnie
długość krawędzi jego podstawy zwiększy się dwukrotnie
jego wysokość zwiększy się dwukrotnie, a długość krawędzi zmniejszy się dwukrotnie
zwiększy się dwukrotnie
zwiększy się czterokrotnie
zmniejszy się dwukrotnie
B
Ćwiczenie 12
Objętość pudełka w kształcie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa . Wysokość ściany bocznej jest równa . Oblicz sumę długości jego krawędzi.
Wysokość pudełka – , pole podstawy jest równe
Stąd
Zatem . Suma długości krawędzi jest równa
A
Ćwiczenie 13
Ile litrów wody zmieści się w pudle o wymiarach i wysokości równej ?
A
Ćwiczenie 14
R8a7984L2aESs1
Zadanie interaktywne
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 15
Objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa . Wysokość graniastosłupa ma długość . Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.
Z równania wyznaczamy długość krawędzi podstawy
B
Ćwiczenie 16
Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi . Oblicz wysokość graniastosłupa, wiedząc, że jest ona czterokrotnie dłuższa od krawędzi podstawy.
Z równania wyznaczamy długość krawędzi podstawy . Wysokość: .
A
Ćwiczenie 17
Podstawą graniastosłupa jest romb. Stosunek długości przekątnych podstawy i wysokości graniastosłupa jest równy . Objętość graniastosłupa jest równa . Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.
Niech oznacza długość krótszej przekątnej podstawy. Wtedy dłuższa przekątna jest równa , a wysokość graniastosłupa jest równa . Otrzymujemy równanie
Stąd . Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy równanie
wyznaczymy długość krawędzi rombu .
A
Ćwiczenie 18
Suma długości wszystkich krawędzi każdego z trzech graniastosłupów prawidłowych: trójkątnego, czworokątnego oraz sześciokątnego jest równa . Wszystkie krawędzie w każdym z graniastosłupów mają jednakową długość. Oblicz objętość każdego z graniastosłupów.
Długość krawędzi graniastosłupa trójkątnego wyznaczymy z równania: , stąd . Długość krawędzi graniastosłupa czworokątnego wyznaczmy z równania: , stąd . Długość krawędzi graniastosłupa sześciokątnego wyznaczymy z równania: , stąd . Objętość graniastosłupa trójkątnego: Objętość graniastosłupa czworokątnego: . Objętość graniastosłupa sześciokątnego: .
B
Ćwiczenie 19
Pole podstawy graniastosłupa jest równe . Wysokość tego graniastosłupa jest równa . O ile procent należy zmniejszyć wysokość tego graniastosłupa, aby jego objętość zmniejszyła się o ?
Również o . Z równania wyznaczamy , a to stanowi poprzedniej wysokości, czyli zmniejszyła się ona o .
B
Ćwiczenie 20
Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość . Jego dłuższa przekątna nachylona jest do podstawy pod kątem . Oblicz jego objętość.
Z zadania wynika, że wysokość graniastosłupa jest równa . Zatem .
A
Ćwiczenie 21
Podstawą graniastosłupa prostego jest deltoid o polu . Jedna przekątna deltoidu jest dwa razy dłuższa od drugiej. Wysokość graniastosłupa stanowi sumy długości przekątnych deltoidu. Oblicz objętość graniastosłupa.
Z równania wyznaczamy krótszą przekątną i dłuższą . Wysokość wynosi zatem
A
Ćwiczenie 22
Podstawą graniastosłupa pochyłego jest kwadrat o boku . Wszystkie krawędzie boczne mają długość i są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem Oblicz objętość graniastosłupa.
Wysokość jest bokiem kwadratu o przekątnej , więc jej długość jest równa .