Jak obliczamy pole powierzchni prostopadłościanu

R1d2d02r8u9jg1

Pole powierzchni prostopadloscianu i szescianu_atrapa_animacja_715

Ćwiczenie 1

RPa4HqGgXPPqV1

W szkolnej pracowni matematycznej są drewniane klocki: $50$ klocków w kształcie prostopadłościanu o wymiarach $3 cm$ , $4 cm$ i $5 cm$ oraz $100$ klocków sześciennych o krawędzi $4 cm$ . Uczniowie klasy 5b postanowili pomalować wszystkie jednym kolorem farby. Zakupili puszkę farby, która wystarczy do pomalowania powierzchni $1 m^{2}$ . Czy wystarczy zakupionej farby do pomalowania wszystkich klocków?

Przeciągnij i upuść.

14 300, 4780, 9 600, 98, NIE, TAK, 14 200, 95, 96, 9 800, 94, 4 700

Jaką powierzchnię ma jeden klocek w kształcie prostopadłościanu? ............
Jaką powierzchnię mają wszystkie klocki prostopadłościenne? ............
Jaką powierzchnię ma jeden klocek w kształcie sześcianu? ............
Jaką powierzchnię mają wszystkie klocki sześcienne? ............
Jaka jest łączna powierzchnia do pomalowania? ............
Czy wystarczy zakupionej farby do pomalowania wszystkich klocków? ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

RDix1BQLnSf0z1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

RalitCIFAbjr91

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Oblicz pole każdej ściany prostopadłościanu. Dodaj otrzymane wyniki i oblicz pole powierzchni $(P)$ tego prostopadłościanu.

RtcPuX4M1Edso1

Rysunek siatki prostopadłościanu o krawędziach długości 2 cm, 4 cm i 6 cm. Zaznaczone pola poszczególnych ścian: P z indeksem dolnym jeden, P z indeksem dolnym dwa, P z indeksem dolnym trzy, P z indeksem dolnym cztery, P z indeksem dolnym pięć, P z indeksem dolnym sześć. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole powierzchni prostopadłościanu

Definicja: Pole powierzchni prostopadłościanu

Pole powierzchni prostopadłościanu to suma pól wszystkich jego ścian.

P = P_{1} + P_{2} + P_{3} + P_{4} + P_{5} + P_{6}

R2BO2WOYWsDXA1

Rysunek siatki prostopadłościanu z zaznaczonymi polami poszczególnych ścian: P z indeksem dolnym jeden, P z indeksem dolnym dwa, P z indeksem dolnym trzy, P z indeksem dolnym cztery, P z indeksem dolnym pięć, P z indeksem dolnym sześć. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

W prostopadłościanie są trzy pary ścian o tych samych wymiarach, czyli także o tych samych polach

P_{1} = P_{3}, P_{2} = P_{4}, P_{5} = P_{6}

Pole powierzchni prostopadłościanu możemy także obliczyć, korzystając ze wzorów

P = 2 ∙ (a ∙ b + a ∙ c + b ∙ c)

lub

P = 2 ∙ a ∙ b + 2 ∙ a ∙ c + 2 ∙ b ∙ c

gdzie: $a, b$ i $c$ to wymiary prostopadłościanu.

RHgNj79scueun1

Rysunek prostopadłościanu o krawędziach podstawy równych a i b oraz krawędzi bocznej równej c. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iF97IXJEiQ_d5e282

Obliczamy pole powierzchni prostopadłościanu

Ćwiczenie 5

Na siatce prostopadłościanu zapisano pola niektórych ścian. Oblicz pole powierzchni tego prostopadłościanu.

R10SLqU8V7TJC1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RxX51jSQpLY5h1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RN8tG0rwNs4Sh1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RDYMODR2MxeBc1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$138 {cm}^{2}$
$52 m^{2}$
$104 {dm}^{2}$
$170 {cm}^{2}$

Ćwiczenie 6

Rysunek przedstawia siatkę prostopadłościanu. Odczytaj potrzebne dane z rysunku i oblicz pole powierzchni prostopadłościanu.

R18PcXucduiw51
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1OTzhcpZUIoH1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RqLugSVqATxEL1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$46 {cm}^{2}$
$112 {dm}^{2}$
$34 m^{2}$

iF97IXJEiQ_d5e398

Ćwiczenie 7

Oblicz pole powierzchni prostopadłościanu.

R1HuauuL0Y5s51
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rwtai099YmKQU1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RMO0WbLP2XrPV1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$100 {dm}^{2}$
$178 m^{2}$
$2024 {cm}^{2}$

Ćwiczenie 8

Rysunek przedstawia siatkę sześcianu. Wykonaj odpowiednie obliczenia i uzupełnij zdania.

R2uqYc0mVazXu1

Rysunek siatki sześcianu o krawędzi długości 5 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Sześcian składa się z $6$ jednakowych ścian, które są kwadratami o boku … $cm$ .
Pole jednej ściany wynosi … ${cm}^{2}$ .
Ponieważ siatka składa się z sześciu jednakowych kwadratów, to pole powierzchni sześcianu wynosi … ${cm}^{2}$

$5$
$25$
$150$

RnIeWyzaiEWiZ1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iF97IXJEiQ_d5e503

Pole powierzchni sześcianu

Reguła: Pole powierzchni sześcianu

Pole powierzchni sześcianu możemy obliczyć, korzystając ze wzoru

P = 6 ∙ a^{2},

gdzie $a$ – długość krawędzi sześcianu.

R1NRAeXFjXWam1

Rysunek sześcianu o krawędziach długości a. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Oblicz pole powierzchni jednej ściany sześcianu oraz pole powierzchni sześcianu przedstawionego na rysunku.

R17rhuBh9K5BK1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R3WmztfRGKV231
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RhOGv63N25pjk1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$P_{Ś} = 36 {cm}^{2}, P_{S} = 216 {cm}^{2}$
$P_{Ś} = 64 {dm}^{2}, P_{S} = 384 {dm}^{2}$
$P_{Ś} = 169 m^{2}, P_{S} = 1014 m^{2}$

classicmobile

Ćwiczenie 10

Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu wynosi $48 cm$ .
Pole powierzchni tego sześcianu jest równe

R1O9V844mXw8V

$96 {cm}^{2}$
$288 {cm}^{2}$
$384 {cm}^{2}$

static

Ćwiczenie 10

Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu wynosi $48 cm$ .
Pole powierzchni tego sześcianu jest równe

RezlkIsmUfWrF

$96 {cm}^{2}$
$288 {cm}^{2}$
$384 {cm}^{2}$

classicmobile

Ćwiczenie 11

Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu wynosi $84 cm$ .
Pole powierzchni tego sześcianu jest równe

RIYnzBGS3bOtd

$147 {cm}^{2}$
$294 {cm}^{2}$
$504 {cm}^{2}$

static

Ćwiczenie 11

Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu wynosi $84 cm$ .
Pole powierzchni tego sześcianu jest równe

RY5Duw4aF8bZW

$147 {cm}^{2}$
$294 {cm}^{2}$
$504 {cm}^{2}$

classicmobile

Ćwiczenie 12

Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu wynosi $120 cm$ .
Pole powierzchni tego sześcianu jest równe

R1MZqAOYULBQI

$120 {cm}^{2}$
$600 {cm}^{2}$
$720 {cm}^{2}$

static

Ćwiczenie 12

Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu wynosi $120 cm$ .
Pole powierzchni tego sześcianu jest równe

R1Ck7NhEC1FSz

$120 {cm}^{2}$
$600 {cm}^{2}$
$720 {cm}^{2}$

classicmobile

Ćwiczenie 13

Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu wynosi $24 m$ .
Pole powierzchni tego sześcianu jest równe

RzApUJyv9rDMw

$24 m^{2}$
$96 m^{2}$
$144 m^{2}$

static

Ćwiczenie 13

Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu wynosi $24 m$ .
Pole powierzchni tego sześcianu jest równe

RgwpI4F2XETWj

$24 m^{2}$
$96 m^{2}$
$144 m^{2}$

classicmobile

Ćwiczenie 14

Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu wynosi $108 dm$ .
Pole powierzchni tego sześcianu jest równe

R1RjNmdPWsxvT

$81 {dm}^{2}$
$108 {dm}^{2}$
$486 {dm}^{2}$

static

Ćwiczenie 14

Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu wynosi $108 dm$ .
Pole powierzchni tego sześcianu jest równe

Rj5edp3wX7nGY

$81 {dm}^{2}$
$108 {dm}^{2}$
$486 {dm}^{2}$

Pola powierzchni prostopadłościanów i sześcianów. Zadania

iF97IXJEiQ_d5e790

Ćwiczenie 15

Oblicz pole powierzchni prostopadłościanu o krawędziach długości

$3 m, 4 m$ i $6 m$
$2 dm, 8 dm$ i $6 dm$
$3 cm, 5 cm$ i $10 cm$
$20 cm, 700 mm$ i $1 m$
$0,06 m, 0,4 dm$ i $90 mm$

$108 m^{2}$
$152 {dm}^{2}$
$190 {cm}^{2}$
$2,08 m^{2}$
$228 {cm}^{2}$

Ćwiczenie 16

Oblicz pole powierzchni

sześcianu o krawędzi długości $10 cm$
sześcianu o krawędzi długości $2 dm$
prostopadłościanu, którego podstawą jest kwadrat o boku długości $8 cm$ , a krawędź boczna ma długość $10 cm$

$600 {cm}^{2}$
$24 {dm}^{2}$
$448 {cm}^{2}$

Ćwiczenie 17

Uzupełnij tabelę.

Tabela. Dane
Numer sześcianu	$I$	$II$	$III$
Długość krawędzi sześcianu	$7 cm$	$\dots dm$	$\dots m$
Pole jednej ściany sześcianu	$\dots c m^{2}$	$81 d m^{2}$	$\dots m^{2}$
Pole powierzchni sześcianu	$\dots c m^{2}$	$\dots dm$	$216 m^{2}$

Tabela. Dane
Numer sześcianu	$I$	$II$	$III$
Długość krawędzi sześcianu	$7 cm$	$9 dm$	$6 m$
Pole jednej ściany sześcianu	$49 c m^{2}$	$81 d m^{2}$	${36 m}^{2}$
Pole powierzchni sześcianu	$294 c m^{2}$	$486 dm$	$216 m^{2}$

Ćwiczenie 18

Pole powierzchni prostopadłościanu o wymiarach: $6 cm, 4 cm$ i $3 cm$ jest o $12 {cm}^{2}$ większe od pola powierzchni pewnego sześcianu. Oblicz długość krawędzi tego sześcianu.

$4 cm$

Ćwiczenie 19

Sala lekcyjna ma długość $7 m$ , szerokość $6 m$ i wysokość $3 m$ . Okna i drzwi zajmują powierzchnię $20 m^{2}$ . Litr farby wystarcza na pomalowanie $6 m^{2}$ powierzchni. Ile dziesięciolitrowych pojemników farby należy zakupić, aby pomalować salę lekcyjną (sufit i ściany)?

$2$ pojemniki

Ćwiczenie 20

Prostopadłościan o krawędziach długości $3 cm, 4 cm$ i $5 cm$ rozcięto na sześciany jednostkowe (o krawędzi $1 cm$ ). Ściany prostopadłościanu pomalowano przed rozcięciem. Ile sześcianów jednostkowych

ma jedną ścianę pomalowaną?
ma dwie ściany pomalowane?
nie ma żadnej ściany pomalowanej?
R1YoYl6xNZB8I1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$22$
$24$
$6$

Ćwiczenie 21

W szkolnej pracowni matematycznej jest $50$ drewnianych klocków w kształcie prostopadłościanu o wymiarach $3 cm, 4 cm$ i $5 cm$ oraz $100$ klocków sześciennych o krawędzi $4 cm$ . Uczniowie klasy $5 b$ postanowili pomalować wszystkie jednym kolorem farby. Zakupili puszkę farby, która wystarczy do pomalowania powierzchni $1 m^{2} .$ Czy wystarczy zakupionej farby do pomalowania wszystkich klocków?
Wykonaj kolejne obliczenia i wpisz, ile wynosi

pole powierzchni jednego klocka w kształcie prostopadłościanu … ${cm}^{2}$
pole powierzchni wszystkich klocków prostopadłościennych … ${cm}^{2}$
pole powierzchni jednego klocka w kształcie sześcianu .. ${cm}^{2}$
pole powierzchni wszystkich klocków sześciennych … ${cm}^{2}$
łączne pole powierzchni do pomalowania $\dots {cm}^{2} = \dots {dm}^{2} = \dots m^{2}$
Odpowiedź. Zakupionej farby … na pomalowanie wszystkich klocków.

$94$
$4700$
$96$
$9600$
$14300, 143, 1,43$
nie wystarczy

Siatki i modele graniastosłupów

Objętość figury. Jednostki objętości

Pole powierzchni prostopadłościanu i sześcianu

Jak obliczamy pole powierzchni prostopadłościanu

Obliczamy pole powierzchni prostopadłościanu