Pole powierzchni prostopadłościanu

Własności prostopadłościanu i sześcianu

Przypomnijmy najważniejsze własności prostopadłościanu i sześcianu.

R1OhJEAQ817H01

Rysunek sześcianu i prostopadłościanu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Poniższe dwie animacje 3D przedstawiają siatki prostopadłościanu. Załóż specjalne okulary i obejrzyj oba filmy.

R1OGwp2NacClD1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1YLlQo4ncdvf1

Poniższe dwie animacje 3D przedstawiają siatki sześcianu. Załóż specjalne okulary i obejrzyj oba filmy.

R2x3l7vKuyxmT1

R156Bes6PdD131

Rvo8M2i5pF5Qn1

Ćwiczenie 1

Uzupełnij poniższe zdania podanymi wyrazami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę, i wybierz poprawną odpowiedź w każdym przypadku. Wszystkie krawędzie 1. Prostopadłościan, 2. prostopadłościan i sześcian, 3. Sześcian, 4. prostopadłościanu i sześcianu, 5. Prostopadłościan, 6. prostopadłościanu, 7. Prostopadłościan i sześcian, 8. Prostopadłościan, 9. Sześcian, 10. prostopadłościanu, 11. Sześcian, 12. prostopadłościan i sześcian, 13. prostopadłościanu i sześcianu, 14. Sześcian, 15. Prostopadłościan i sześcian, 16. sześcianu, 17. Prostopadłościan i sześcian, 18. sześcian, 19. prostopadłościanu, 20. Prostopadłościan, 21. prostopadłościanu i sześcianu, 22. Sześcian, 23. Prostopadłościan, 24. sześcianu są tej samej długości.Wszystkie ściany 1. Prostopadłościan, 2. prostopadłościan i sześcian, 3. Sześcian, 4. prostopadłościanu i sześcianu, 5. Prostopadłościan, 6. prostopadłościanu, 7. Prostopadłościan i sześcian, 8. Prostopadłościan, 9. Sześcian, 10. prostopadłościanu, 11. Sześcian, 12. prostopadłościan i sześcian, 13. prostopadłościanu i sześcianu, 14. Sześcian, 15. Prostopadłościan i sześcian, 16. sześcianu, 17. Prostopadłościan i sześcian, 18. sześcian, 19. prostopadłościanu, 20. Prostopadłościan, 21. prostopadłościanu i sześcianu, 22. Sześcian, 23. Prostopadłościan, 24. sześcianu są prostokątami.1. Prostopadłościan, 2. prostopadłościan i sześcian, 3. Sześcian, 4. prostopadłościanu i sześcianu, 5. Prostopadłościan, 6. prostopadłościanu, 7. Prostopadłościan i sześcian, 8. Prostopadłościan, 9. Sześcian, 10. prostopadłościanu, 11. Sześcian, 12. prostopadłościan i sześcian, 13. prostopadłościanu i sześcianu, 14. Sześcian, 15. Prostopadłościan i sześcian, 16. sześcianu, 17. Prostopadłościan i sześcian, 18. sześcian, 19. prostopadłościanu, 20. Prostopadłościan, 21. prostopadłościanu i sześcianu, 22. Sześcian, 23. Prostopadłościan, 24. sześcianu ma sześć ścian. 1. Prostopadłościan, 2. prostopadłościan i sześcian, 3. Sześcian, 4. prostopadłościanu i sześcianu, 5. Prostopadłościan, 6. prostopadłościanu, 7. Prostopadłościan i sześcian, 8. Prostopadłościan, 9. Sześcian, 10. prostopadłościanu, 11. Sześcian, 12. prostopadłościan i sześcian, 13. prostopadłościanu i sześcianu, 14. Sześcian, 15. Prostopadłościan i sześcian, 16. sześcianu, 17. Prostopadłościan i sześcian, 18. sześcian, 19. prostopadłościanu, 20. Prostopadłościan, 21. prostopadłościanu i sześcianu, 22. Sześcian, 23. Prostopadłościan, 24. sześcianu ma dwanaście krawędzi.1. Prostopadłościan, 2. prostopadłościan i sześcian, 3. Sześcian, 4. prostopadłościanu i sześcianu, 5. Prostopadłościan, 6. prostopadłościanu, 7. Prostopadłościan i sześcian, 8. Prostopadłościan, 9. Sześcian, 10. prostopadłościanu, 11. Sześcian, 12. prostopadłościan i sześcian, 13. prostopadłościanu i sześcianu, 14. Sześcian, 15. Prostopadłościan i sześcian, 16. sześcianu, 17. Prostopadłościan i sześcian, 18. sześcian, 19. prostopadłościanu, 20. Prostopadłościan, 21. prostopadłościanu i sześcianu, 22. Sześcian, 23. Prostopadłościan, 24. sześcianu ma osiem wierzchołków.Z każdego wierzchołka 1. Prostopadłościan, 2. prostopadłościan i sześcian, 3. Sześcian, 4. prostopadłościanu i sześcianu, 5. Prostopadłościan, 6. prostopadłościanu, 7. Prostopadłościan i sześcian, 8. Prostopadłościan, 9. Sześcian, 10. prostopadłościanu, 11. Sześcian, 12. prostopadłościan i sześcian, 13. prostopadłościanu i sześcianu, 14. Sześcian, 15. Prostopadłościan i sześcian, 16. sześcianu, 17. Prostopadłościan i sześcian, 18. sześcian, 19. prostopadłościanu, 20. Prostopadłościan, 21. prostopadłościanu i sześcianu, 22. Sześcian, 23. Prostopadłościan, 24. sześcianu wychodzą trzy krawędzie.Ściany boczne 1. Prostopadłościan, 2. prostopadłościan i sześcian, 3. Sześcian, 4. prostopadłościanu i sześcianu, 5. Prostopadłościan, 6. prostopadłościanu, 7. Prostopadłościan i sześcian, 8. Prostopadłościan, 9. Sześcian, 10. prostopadłościanu, 11. Sześcian, 12. prostopadłościan i sześcian, 13. prostopadłościanu i sześcianu, 14. Sześcian, 15. Prostopadłościan i sześcian, 16. sześcianu, 17. Prostopadłościan i sześcian, 18. sześcian, 19. prostopadłościanu, 20. Prostopadłościan, 21. prostopadłościanu i sześcianu, 22. Sześcian, 23. Prostopadłościan, 24. sześcianu są prostokątami, ale nie kwadratami.Wszystkie ściany 1. Prostopadłościan, 2. prostopadłościan i sześcian, 3. Sześcian, 4. prostopadłościanu i sześcianu, 5. Prostopadłościan, 6. prostopadłościanu, 7. Prostopadłościan i sześcian, 8. Prostopadłościan, 9. Sześcian, 10. prostopadłościanu, 11. Sześcian, 12. prostopadłościan i sześcian, 13. prostopadłościanu i sześcianu, 14. Sześcian, 15. Prostopadłościan i sześcian, 16. sześcianu, 17. Prostopadłościan i sześcian, 18. sześcian, 19. prostopadłościanu, 20. Prostopadłościan, 21. prostopadłościanu i sześcianu, 22. Sześcian, 23. Prostopadłościan, 24. sześcianu są kwadratami.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczanie pola powierzchni prostopadłościanu

RtWhMkyWumFML1

Ćwiczenie 2

R1cjgJSHnMHir

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1WOwdgGOmmTK

Dany jest prostopadłościan o wymiarach

10 cm \times 2, 2 cm \times 5 cm

. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Najmniejsza ściana tego prostopadłościanu ma pole powierzchni równe 1.

11 {cm}^{2}

, 2.

186 {cm}^{2}

, 3.

166 {cm}^{2}

, 4.

50 {cm}^{2}

, 5.

22 {cm}^{2}

, 6.

25 {cm}^{2}

.Największa ściana tego prostopadłościanu ma pole powierzchni równe 1.

11 {cm}^{2}

, 2.

186 {cm}^{2}

, 3.

166 {cm}^{2}

, 4.

50 {cm}^{2}

, 5.

22 {cm}^{2}

, 6.

25 {cm}^{2}

.Średnia ściana tego prostopadłościanu ma pole powierzchni równe 1.

11 {cm}^{2}

, 2.

186 {cm}^{2}

, 3.

166 {cm}^{2}

, 4.

50 {cm}^{2}

, 5.

22 {cm}^{2}

, 6.

25 {cm}^{2}

.Pole całkowite tego prostopadłościanu wynosi 1.

11 {cm}^{2}

, 2.

186 {cm}^{2}

, 3.

166 {cm}^{2}

, 4.

50 {cm}^{2}

, 5.

22 {cm}^{2}

, 6.

25 {cm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Pole powierzchni prostopadłościanu to suma pól wszystkich jego ścian.

P = P_{1} + P_{2} + P_{3} + P_{4} + P_{5} + P_{6}

RB2xaYMW02hra1

Rysunek siatki prostopadłościanu. Zaznaczone pola poszczególnych ścian: P indeks dolny jeden, P indeks dolny dwa, P indeks dolny trzy, P indeks dolny cztery, P indeks dolny pięć, P indeks dolny sześć. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W prostopadłościanie są trzy pary ścian o tych samych wymiarach, czyli także o tych samych polach:

P_{1} = P_{3}

P_{2} = P_{4}

P_{5} = P_{6}

Pole powierzchni prostopadłościanu możemy także obliczyć, korzystając ze wzorów:

P = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)

lub

P = 2 \cdot a \cdot b + 2 \cdot a \cdot c + 2 \cdot b \cdot c

gdzie: $a$ , $b$ i $c$ to wymiary prostopadłościanu.

RB18509gXBybe1

Rysunek prostopadłościanu o krawędziach długości a, b, c. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Oblicz pola powierzchni podanych prostopadłościanów.

R1MbzdHvFgLhu
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1cgTgfqCnG98
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RRm9EtWT8Jyge
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R4ASIU4LBlSZe

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

RvS8ksjfjeh0M21

Oblicz pola powierzchni prostopadłościanów o podanych wymiarach. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Jeśli bryła ma wymiary

1 cm \times 3 cm \times 4 cm

, to jej pole powierzchni wynosi

P =

1952 {dm}^{2}

, 2.

206000 {cm}^{2}

, 3.

38 {cm}^{2}

, 4.

15, 2 m^{2}

, 5.

0, 0038 {dm}^{2}

, 6.

195, 2 m^{2}

, 7.

206 m^{2}

, 8.

15200 {cm}^{2}

.Jeśli bryła ma wymiary

2 dm \times 6 dm \times 8 dm

, to jej pole powierzchni wynosi

P =

1952 {dm}^{2}

, 2.

206000 {cm}^{2}

, 3.

38 {cm}^{2}

, 4.

15, 2 m^{2}

, 5.

0, 0038 {dm}^{2}

, 6.

195, 2 m^{2}

, 7.

206 m^{2}

, 8.

15200 {cm}^{2}

.Jeśli bryła ma wymiary

30 dm \times 500 cm \times 11 m

, to jej pole powierzchni wynosi

P =

1952 {dm}^{2}

, 2.

206000 {cm}^{2}

, 3.

38 {cm}^{2}

, 4.

15, 2 m^{2}

, 5.

0, 0038 {dm}^{2}

, 6.

195, 2 m^{2}

, 7.

206 m^{2}

, 8.

15200 {cm}^{2}

.Jeśli bryła ma wymiary

40 cm \times 4 dm \times 12 m

, to jej pole powierzchni wynosi

P =

1952 {dm}^{2}

, 2.

206000 {cm}^{2}

, 3.

38 {cm}^{2}

, 4.

15, 2 m^{2}

, 5.

0, 0038 {dm}^{2}

, 6.

195, 2 m^{2}

, 7.

206 m^{2}

, 8.

15200 {cm}^{2}

Przeciągnij i upuść pola powierzchni prostopadłościanów o podanych wymiarach.

$206 m^{2}$ , $206 000 {cm}^{2}$ , $15 200 {cm}^{2}$ , $38 {cm}^{2}$ , $1 952 {dm}^{2}$ , $0, 0038 {dm}^{2}$ , $15, 2 m^{2}$ , $195, 2 m^{2}$

a) $1 cm \times 3 cm \times 4 cm$ ,    $P =$ ....................
b) $2 dm \times 6 dm \times 8 dm$ ,    $P =$ ....................
c) $30 dm \times 500 cm \times 11 m$ ,    $P =$ ....................
d) $40 cm \times 4 dm \times 12 m$ ,    $P =$ ....................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczanie pola powierzchni sześcianu

R1boYb8j51Sm21

Ćwiczenie 5

Uzupełnij pola powierzchni sześcianów, korzystając z przedstawionych siatek.

RWCLEO9zQQJuC

Rysunek czterech siatek sześcianów. Siatka A składa się z sześciu jednakowych kwadratów. Bok kwadratu ma długość sześciu centymetrów. Siatka B składa się z sześciu jednakowych kwadratów. Bok kwadratu ma długość dziewięciu centymetrów. Siatka C składa się z sześciu jednakowych kwadratów. Bok kwadratu ma długość dziesięciu centymetrów. Siatka D składa się z sześciu jednakowych kwadratów. Bok kwadratu ma długość dwunastu centymetrów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R121Dfnks2seC

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Rysx6QQvcxzCe2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Każdy sześcian ma $12$ krawędzi. Każdy przykład zacznij od obliczenia długości jednej krawędzi.

Ćwiczenie 7

R1Zwtkmbtt3a9

Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi sześcianu mając podane poniżej jego pole powierzchni. Uzupełnij luki, wpisując w nie odpowiednie liczby. Pole powierzchni pewnego sześcianu wynosi

1, 5 {cm}^{2}

, więc suma długości jego krawędzi to Tu uzupełnij

cm

.Pole powierzchni pewnego sześcianu wynosi

8, 64 {cm}^{2}

, więc suma długości jego krawędzi to Tu uzupełnij

cm

.Pole powierzchni pewnego sześcianu wynosi

2, 94 {cm}^{2}

, więc suma długości jego krawędzi to Tu uzupełnij

cm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Na podstawie pola powierzchni sześcianu oblicz pole jednej ściany, a następnie długość krawędzi sześcianu. Na koniec skorzystaj z faktu, ze sześcian ma $12$ krawędzi.

R1e4KLYVG1xxH3

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Jaką długość krawędzi i jakie pole powierzchni ma sześcian, którego siatkę można wykonać, wykorzystując cały arkusz papieru przedstawiony na rysunku? Z arkusza wycinamy pojedyncze ściany, z których następnie formujemy siatkę. Kratka ma bok długości $1$ .

R1dPhy99cAv2b1

Rysunek dwóch prostokątnych arkuszy papieru o bokach długości 6 i 4 oraz 3 i 18. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RcZQE69PNLvPZ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Jakie pole powierzchni może mieć prostopadłościan, którego siatkę można wykonać, wykorzystując cały arkusz papieru przedstawiony na rysunku? Z arkusza wycinamy pojedyncze ściany, z których następnie formujemy siatkę.

Kratka ma bok długość $1$ .

RIu59qjlgfopa1

Rysunek dwóch prostokątnych arkuszy papieru o bokach długości 7 i 4 oraz 6 i 5. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RDihjtOXGAlGB

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

ROcKdcaKva8o3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zacznijmy od zamiany jednostek.

60 cm = 6 dm

50 cm = 5 dm

40 cm = 4 dm

Pole powierzchni tej skrzyni obliczamy w następujący sposób:

5 \cdot 6 + 2 \cdot 5 \cdot 4 + 2 \cdot 6 \cdot 4 = 118 [{dm}^{2}]