Pole powierzchni prostopadłościanu

Własności prostopadłościanu i sześcianu

Przypomnijmy najważniejsze własności prostopadłościanu i sześcianu.

R1OhJEAQ817H01

Rysunek sześcianu i prostopadłościanu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Poniższe dwie animacje 3D przedstawiają siatki prostopadłościanu. Załóż specjalne okulary i obejrzyj oba filmy.

R1OGwp2NacClD1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1YLlQo4ncdvf1

Poniższe dwie animacje 3D przedstawiają siatki sześcianu. Załóż specjalne okulary i obejrzyj oba filmy.

R2x3l7vKuyxmT1

R156Bes6PdD131

Rvo8M2i5pF5Qn1

Ćwiczenie 1

Uzupełnij poniższe zdania podanymi wyrazami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę, i wybierz poprawną odpowiedź w każdym przypadku. Wszystkie krawędzie 1. Prostopadłościan, 2. prostopadłościan i sześcian, 3. Sześcian, 4. prostopadłościanu i sześcianu, 5. Prostopadłościan, 6. prostopadłościanu, 7. Prostopadłościan i sześcian, 8. Prostopadłościan, 9. Sześcian, 10. prostopadłościanu, 11. Sześcian, 12. prostopadłościan i sześcian, 13. prostopadłościanu i sześcianu, 14. Sześcian, 15. Prostopadłościan i sześcian, 16. sześcianu, 17. Prostopadłościan i sześcian, 18. sześcian, 19. prostopadłościanu, 20. Prostopadłościan, 21. prostopadłościanu i sześcianu, 22. Sześcian, 23. Prostopadłościan, 24. sześcianu są tej samej długości.Wszystkie ściany 1. Prostopadłościan, 2. prostopadłościan i sześcian, 3. Sześcian, 4. prostopadłościanu i sześcianu, 5. Prostopadłościan, 6. prostopadłościanu, 7. Prostopadłościan i sześcian, 8. Prostopadłościan, 9. Sześcian, 10. prostopadłościanu, 11. Sześcian, 12. prostopadłościan i sześcian, 13. prostopadłościanu i sześcianu, 14. Sześcian, 15. Prostopadłościan i sześcian, 16. sześcianu, 17. Prostopadłościan i sześcian, 18. sześcian, 19. prostopadłościanu, 20. Prostopadłościan, 21. prostopadłościanu i sześcianu, 22. Sześcian, 23. Prostopadłościan, 24. sześcianu są prostokątami.1. Prostopadłościan, 2. prostopadłościan i sześcian, 3. Sześcian, 4. prostopadłościanu i sześcianu, 5. Prostopadłościan, 6. prostopadłościanu, 7. Prostopadłościan i sześcian, 8. Prostopadłościan, 9. Sześcian, 10. prostopadłościanu, 11. Sześcian, 12. prostopadłościan i sześcian, 13. prostopadłościanu i sześcianu, 14. Sześcian, 15. Prostopadłościan i sześcian, 16. sześcianu, 17. Prostopadłościan i sześcian, 18. sześcian, 19. prostopadłościanu, 20. Prostopadłościan, 21. prostopadłościanu i sześcianu, 22. Sześcian, 23. Prostopadłościan, 24. sześcianu ma sześć ścian. 1. Prostopadłościan, 2. prostopadłościan i sześcian, 3. Sześcian, 4. prostopadłościanu i sześcianu, 5. Prostopadłościan, 6. prostopadłościanu, 7. Prostopadłościan i sześcian, 8. Prostopadłościan, 9. Sześcian, 10. prostopadłościanu, 11. Sześcian, 12. prostopadłościan i sześcian, 13. prostopadłościanu i sześcianu, 14. Sześcian, 15. Prostopadłościan i sześcian, 16. sześcianu, 17. Prostopadłościan i sześcian, 18. sześcian, 19. prostopadłościanu, 20. Prostopadłościan, 21. prostopadłościanu i sześcianu, 22. Sześcian, 23. Prostopadłościan, 24. sześcianu ma dwanaście krawędzi.1. Prostopadłościan, 2. prostopadłościan i sześcian, 3. Sześcian, 4. prostopadłościanu i sześcianu, 5. Prostopadłościan, 6. prostopadłościanu, 7. Prostopadłościan i sześcian, 8. Prostopadłościan, 9. Sześcian, 10. prostopadłościanu, 11. Sześcian, 12. prostopadłościan i sześcian, 13. prostopadłościanu i sześcianu, 14. Sześcian, 15. Prostopadłościan i sześcian, 16. sześcianu, 17. Prostopadłościan i sześcian, 18. sześcian, 19. prostopadłościanu, 20. Prostopadłościan, 21. prostopadłościanu i sześcianu, 22. Sześcian, 23. Prostopadłościan, 24. sześcianu ma osiem wierzchołków.Z każdego wierzchołka 1. Prostopadłościan, 2. prostopadłościan i sześcian, 3. Sześcian, 4. prostopadłościanu i sześcianu, 5. Prostopadłościan, 6. prostopadłościanu, 7. Prostopadłościan i sześcian, 8. Prostopadłościan, 9. Sześcian, 10. prostopadłościanu, 11. Sześcian, 12. prostopadłościan i sześcian, 13. prostopadłościanu i sześcianu, 14. Sześcian, 15. Prostopadłościan i sześcian, 16. sześcianu, 17. Prostopadłościan i sześcian, 18. sześcian, 19. prostopadłościanu, 20. Prostopadłościan, 21. prostopadłościanu i sześcianu, 22. Sześcian, 23. Prostopadłościan, 24. sześcianu wychodzą trzy krawędzie.Ściany boczne 1. Prostopadłościan, 2. prostopadłościan i sześcian, 3. Sześcian, 4. prostopadłościanu i sześcianu, 5. Prostopadłościan, 6. prostopadłościanu, 7. Prostopadłościan i sześcian, 8. Prostopadłościan, 9. Sześcian, 10. prostopadłościanu, 11. Sześcian, 12. prostopadłościan i sześcian, 13. prostopadłościanu i sześcianu, 14. Sześcian, 15. Prostopadłościan i sześcian, 16. sześcianu, 17. Prostopadłościan i sześcian, 18. sześcian, 19. prostopadłościanu, 20. Prostopadłościan, 21. prostopadłościanu i sześcianu, 22. Sześcian, 23. Prostopadłościan, 24. sześcianu są prostokątami, ale nie kwadratami.Wszystkie ściany 1. Prostopadłościan, 2. prostopadłościan i sześcian, 3. Sześcian, 4. prostopadłościanu i sześcianu, 5. Prostopadłościan, 6. prostopadłościanu, 7. Prostopadłościan i sześcian, 8. Prostopadłościan, 9. Sześcian, 10. prostopadłościanu, 11. Sześcian, 12. prostopadłościan i sześcian, 13. prostopadłościanu i sześcianu, 14. Sześcian, 15. Prostopadłościan i sześcian, 16. sześcianu, 17. Prostopadłościan i sześcian, 18. sześcian, 19. prostopadłościanu, 20. Prostopadłościan, 21. prostopadłościanu i sześcianu, 22. Sześcian, 23. Prostopadłościan, 24. sześcianu są kwadratami.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczanie pola powierzchni prostopadłościanu

RtWhMkyWumFML1

Ćwiczenie 2

R1cjgJSHnMHir

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1WOwdgGOmmTK

Dany jest prostopadłościan o wymiarach dziesięć centymetrów na dwa i dwie dziesiąte centymetra na pięć centymetrów. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Najmniejsza ściana tego prostopadłościanu ma pole powierzchni równe 1. jedenaście cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. sto osiemdziesiąt sześć cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. sto sześćdziesiąt sześć cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. pięćdziesiąt cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. dwadzieścia dwa cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. dwadzieścia pięć cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.Największa ściana tego prostopadłościanu ma pole powierzchni równe 1. jedenaście cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. sto osiemdziesiąt sześć cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. sto sześćdziesiąt sześć cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. pięćdziesiąt cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. dwadzieścia dwa cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. dwadzieścia pięć cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.Średnia ściana tego prostopadłościanu ma pole powierzchni równe 1. jedenaście cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. sto osiemdziesiąt sześć cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. sto sześćdziesiąt sześć cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. pięćdziesiąt cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. dwadzieścia dwa cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. dwadzieścia pięć cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.Pole całkowite tego prostopadłościanu wynosi 1. jedenaście cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. sto osiemdziesiąt sześć cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. sto sześćdziesiąt sześć cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. pięćdziesiąt cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. dwadzieścia dwa cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. dwadzieścia pięć cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Pole powierzchni prostopadłościanu to suma pól wszystkich jego ścian.

P = P_{1} + P_{2} + P_{3} + P_{4} + P_{5} + P_{6}

RB2xaYMW02hra1

Rysunek siatki prostopadłościanu. Zaznaczone pola poszczególnych ścian: P indeks dolny jeden, P indeks dolny dwa, P indeks dolny trzy, P indeks dolny cztery, P indeks dolny pięć, P indeks dolny sześć. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W prostopadłościanie są trzy pary ścian o tych samych wymiarach, czyli także o tych samych polach:

P_{1} = P_{3}

P_{2} = P_{4}

P_{5} = P_{6}

Pole powierzchni prostopadłościanu możemy także obliczyć, korzystając ze wzorów:

P = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)

lub

P = 2 \cdot a \cdot b + 2 \cdot a \cdot c + 2 \cdot b \cdot c

gdzie: $a$ , $b$ i $c$ to wymiary prostopadłościanu.

RB18509gXBybe1

Rysunek prostopadłościanu o krawędziach długości a, b, c. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Oblicz pola powierzchni podanych prostopadłościanów.

R1MbzdHvFgLhu
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1cgTgfqCnG98
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RRm9EtWT8Jyge
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R4ASIU4LBlSZe

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

RvS8ksjfjeh0M21

Oblicz pola powierzchni prostopadłościanów o podanych wymiarach. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Jeśli bryła ma wymiary

1 cm \times 3 cm \times 4 cm

, to jej pole powierzchni wynosi

P =

1952 {dm}^{2}

, 2.

206000 {cm}^{2}

, 3.

38 {cm}^{2}

, 4.

15, 2 m^{2}

, 5.

0, 0038 {dm}^{2}

, 6.

195, 2 m^{2}

, 7.

206 m^{2}

, 8.

15200 {cm}^{2}

.Jeśli bryła ma wymiary

2 dm \times 6 dm \times 8 dm

, to jej pole powierzchni wynosi

P =

1952 {dm}^{2}

, 2.

206000 {cm}^{2}

, 3.

38 {cm}^{2}

, 4.

15, 2 m^{2}

, 5.

0, 0038 {dm}^{2}

, 6.

195, 2 m^{2}

, 7.

206 m^{2}

, 8.

15200 {cm}^{2}

.Jeśli bryła ma wymiary

30 dm \times 500 cm \times 11 m

, to jej pole powierzchni wynosi

P =

1952 {dm}^{2}

, 2.

206000 {cm}^{2}

, 3.

38 {cm}^{2}

, 4.

15, 2 m^{2}

, 5.

0, 0038 {dm}^{2}

, 6.

195, 2 m^{2}

, 7.

206 m^{2}

, 8.

15200 {cm}^{2}

.Jeśli bryła ma wymiary

40 cm \times 4 dm \times 12 m

, to jej pole powierzchni wynosi

P =

1952 {dm}^{2}

, 2.

206000 {cm}^{2}

, 3.

38 {cm}^{2}

, 4.

15, 2 m^{2}

, 5.

0, 0038 {dm}^{2}

, 6.

195, 2 m^{2}

, 7.

206 m^{2}

, 8.

15200 {cm}^{2}

Przeciągnij i upuść pola powierzchni prostopadłościanów o podanych wymiarach.

$206 m^{2}$ , $206 000 {cm}^{2}$ , $15 200 {cm}^{2}$ , $38 {cm}^{2}$ , $1 952 {dm}^{2}$ , $0, 0038 {dm}^{2}$ , $15, 2 m^{2}$ , $195, 2 m^{2}$

a) $1 cm \times 3 cm \times 4 cm$ ,    $P =$ ....................
b) $2 dm \times 6 dm \times 8 dm$ ,    $P =$ ....................
c) $30 dm \times 500 cm \times 11 m$ ,    $P =$ ....................
d) $40 cm \times 4 dm \times 12 m$ ,    $P =$ ....................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczanie pola powierzchni sześcianu

R1boYb8j51Sm21

Ćwiczenie 5

Uzupełnij pola powierzchni sześcianów, korzystając z przedstawionych siatek.

RWCLEO9zQQJuC

Rysunek czterech siatek sześcianów. Siatka A składa się z sześciu jednakowych kwadratów. Bok kwadratu ma długość sześciu centymetrów. Siatka B składa się z sześciu jednakowych kwadratów. Bok kwadratu ma długość dziewięciu centymetrów. Siatka C składa się z sześciu jednakowych kwadratów. Bok kwadratu ma długość dziesięciu centymetrów. Siatka D składa się z sześciu jednakowych kwadratów. Bok kwadratu ma długość dwunastu centymetrów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R121Dfnks2seC

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Rysx6QQvcxzCe2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Każdy sześcian ma $12$ krawędzi. Każdy przykład zacznij od obliczenia długości jednej krawędzi.

Ćwiczenie 7

R1Zwtkmbtt3a9

Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi sześcianu mając podane poniżej jego pole powierzchni. Uzupełnij luki, wpisując w nie odpowiednie liczby. Pole powierzchni pewnego sześcianu wynosi

1, 5 {cm}^{2}

, więc suma długości jego krawędzi to Tu uzupełnij

cm

.Pole powierzchni pewnego sześcianu wynosi

8, 64 {cm}^{2}

, więc suma długości jego krawędzi to Tu uzupełnij

cm

.Pole powierzchni pewnego sześcianu wynosi

2, 94 {cm}^{2}

, więc suma długości jego krawędzi to Tu uzupełnij

cm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Na podstawie pola powierzchni sześcianu oblicz pole jednej ściany, a następnie długość krawędzi sześcianu. Na koniec skorzystaj z faktu, ze sześcian ma $12$ krawędzi.

R1e4KLYVG1xxH3

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Jaką długość krawędzi i jakie pole powierzchni ma sześcian, którego siatkę można wykonać, wykorzystując cały arkusz papieru przedstawiony na rysunku? Z arkusza wycinamy pojedyncze ściany, z których następnie formujemy siatkę. Kratka ma bok długości $1$ .

R1dPhy99cAv2b1

Rysunek dwóch prostokątnych arkuszy papieru o bokach długości 6 i 4 oraz 3 i 18. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RcZQE69PNLvPZ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Jakie pole powierzchni może mieć prostopadłościan, którego siatkę można wykonać, wykorzystując cały arkusz papieru przedstawiony na rysunku? Z arkusza wycinamy pojedyncze ściany, z których następnie formujemy siatkę.

Kratka ma bok długość $1$ .

RIu59qjlgfopa1

Rysunek dwóch prostokątnych arkuszy papieru o bokach długości 7 i 4 oraz 6 i 5. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RDihjtOXGAlGB

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

ROcKdcaKva8o3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zacznijmy od zamiany jednostek.

60 cm = 6 dm

50 cm = 5 dm

40 cm = 4 dm

Pole powierzchni tej skrzyni obliczamy w następujący sposób:

5 \cdot 6 + 2 \cdot 5 \cdot 4 + 2 \cdot 6 \cdot 4 = 118 [{dm}^{2}]