Pole równoległoboku

Skorzystaj ze wzoru na pole trójkąta.

Wiemy, że przekątna kwadratu dzieli go na dwa trójkąty prostokątne, w których przekątna kwadratu jest przeciwprostokątną. Niech $a$ oznacza długość boku tego kwadratu. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy wzór

Przekształcając powyższy wzór, otrzymujemy

Wiemy, że wzór na pole kwadratu o boku długości $a$ to $P=a^2$. Dzieląc powyższą równość obustronnie przez $2$, otrzymamy

Z powyższej równości wynika bezpośrednio, że wzór na pole kwadratu o przekątnej długości $d$ to

Zauważ, że długości boków tego boiska na planie są $30$ razy mniejsze niż w rzeczywistości.

R1ccByaQ6F0Lp

Ilustracja przedstawia prostokąt o dłuższym boku długości a i krótszym boku długości b. W prostokącie zaznaczono obie przekątne, które przecinają się ze sobą pod kątem 120 stopni. Każda przekątna ma długość 10 cm.

Przekątne dzielą prostokąt o bokach długości $a$ i $b$ na cztery trójkąty. Dwa z nich to trójkąty równoboczne o bokach długości $5 \mathrm{cm}$. Szerokość prostokąta jest więc równa $5 \mathrm{cm}$. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość: $b=5\sqrt{3} \mathrm{cm}$. Pole prostokąta jest równe $25\sqrt{3} {\mathrm{cm}}^2$.

Jeśli $a$ i $b$ są długościami boków prostokąta, to z treści zadania mamy: $\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$ i $2a+2b=28$, stąd $a=6 \mathrm{cm}$ i $b=8 \mathrm{cm}$. Pole prostokąta wynosi $48 {\mathrm{cm}}^2$.

Oznaczmy długość prostokąta przez $x$, wtedy szerokość prostokąta wynosi $0,25x$. Korzystamy ze wzoru na pole prostokąta i wyznaczamy z niego długość prostokąta.

Długość prostokąta wynosi $5$, a szerokość prostokąta wynosi $1,25$. Oznacza to, że obwód tego prostokąta wynosi $12,5$.

Figura składa się z $10$ kwadratów o polu $2,5:10=0,25$. Bok kwadratu ma długość $0,5$. Obwód figury wynosi $14·0,5=7$

Zacznij od obliczenia rzeczywistych wymiarów dywanu oraz rzeczywistego wymiaru podłogi. Następnie oblicz odpowiednie pola i podziel je, a w kolejnym kroku zamień ułamek na procenty.

Dywan ma rzeczywiste wymiary $4 \mathrm{m}$ i $4 \mathrm{m}$, więc jego powierzchnia wynosi $16 {\mathrm{m}}^2$. Podłoga ma powierzchnię $25 {\mathrm{m}}^2$. Dywan stanowi $64\%$ powierzchni podłogi.

Bok kwadratu w rzeczywistości ma długość $1,6 \mathrm{dm}$, a na planie ma długość $4,8 \mathrm{dm}$.

Zauważ, że wszystkie równoległoboki mają takie same wysokości. Na różnicę pola powierzchni między figurami będzie wpływała tylko różnica w długości podstawy.

1. Wykorzystaj wzór na pole równoległoboku, aby obliczyć jego wysokość.

2. Wykorzystaj twierdzenie Pitagorasa do obliczenia długości krótszego boku, a następnie wzór na pole równoległoboku, aby obliczyć długość jego drugiej wysokości.

3. Wyznacz długość boku równoległoboku uzależnioną od jego wysokości, a następnie wykorzystaj wzór na pole równoległoboku.

1. $3 \mathrm{cm}$

2. z twierdzenia Pitagorasa krótszy bok ma długość $2\sqrt{2} \mathrm{cm}$, druga wysokość ma długość $24:2\sqrt{2}=6\sqrt{2} \left(\mathrm{cm}\right)$

3. $h·\frac{1}{6}h=24$, stąd $h=12 \mathrm{cm}$.

1. Oznaczmy równoległobok $ABCD$, wtedy $\left|AD\right|=2\sqrt{2}$. Jeśli $h$ jest wysokością równoległoboku opuszczoną na bok $AB$, to z  twierdzenia Pitagorasa mamy
   $2h^2={\left(2\sqrt{2}\right)}^2$, $h=2$. Pole $P$ równoległoboku jest równe: $P=\left|AB\right|·h$, $P=12$, $h=2$, więc $\left|AB\right|=6$. Obwód $L$ równoległoboku jest równy $L=4\sqrt{2}+12$.

2. Jeśli $h=3$ jest wysokością równoległoboku, opuszczoną na bok $AB$, to $\left|AB\right|=12:3=4$ oraz $\left|\mathrm{AD}\right|=2·3=6$, stąd $L=8+12=20$.

1. $L=4\sqrt{2}+12$

2. $L=20$

Jeśli $p_1$ oraz $p_2$ są długościami przekątnych rombu, to pole $P$ rombu jest równe: $P=\frac{1}{2}{p}_1·p_2$,

stąd
$720=\frac{1}{2}{p}_1·80$, $p_1=18$.

Przekątne przecinają się w połowie długości pod kątem prostym, więc długość $a$ boku rombu jest równa $a=\sqrt{{40}^2+9^2}=\sqrt{1681}=41$. Obwód rombu wynosi $164$.

Jeśli $h_1$ oraz $h_2$ są długościami przekątnych rombu, to pole $P$ rombu jest równe $P=\frac{1}{2}{h}_1·h_2$. Przekątne przecinają się w połowie długości pod kątem prostym, więc długość $a$ boku rombu jest równa $a=\sqrt{{\left(\frac{h_1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{h_2}{2}\right)}^2}$.

R1HZ5dyDX0iQf

Ilustracja przedstawia romb o podstawie długości 10 m i wysokości h opuszczonej na tą podstawę. Krótszy bok rombu ma długość 4 m.

Oznaczmy przez $h$ wysokość równoległoboku, opuszczoną na bok o długości $10 \mathrm{m}$. Rabatka w kształcie rombu ma bok długości $4 \mathrm{m}$ i jedną z wysokości również długości $h$. Pole rombu wynosi $4h$, a pole równoległoboku $10h$, stąd bratki stanowią $60\%$ powierzchni rabatki.

$60\%$

Wysokości równoległoboku zwiększą się też o $10\%$, więc pole zwiększy się o $21\%$.

Jeśli pole $P_1$ mniejszego prostokąta wynosi $a·b$, to pole $P_2$ większego prostokąta wynosi

Pole zwiększy się o $21\%$.

$21\%$

Otrzymana figura jest rombem, którego przekątne mają długości równe długościom boków prostokąta.
Pole rombu wynosi $\frac{1}{2}·4·8 {\mathrm{cm}}^2=16 {\mathrm{cm}}^2$.