Pole równoległoboku
W tym materiale zawarte są przykłady, które pokazują jak obliczyć pola różnych równoległoboków. Po przeanalizowaniu zadań, możesz sprawdzić swoje umiejętności, samodzielnie wyznaczając pola kwadratów, prostokątów, równoległoboków i rombów oraz figur z nich zbudowanych .
Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary równoległych boków.
Równoległobokami są na przykład prostokąty, kwadraty i romby.
Obliczanie pola prostokąta
Pole prostokąta o bokach długości oraz jest równe:
Obliczymy pole prostokąta o przekątnej długości , którego krótszy bok ma długość .
Zapisujemy szerokość prostokąta w centymetrach.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość prostokąta.
Obliczamy pole prostokąta.
Pole prostokąta jest równe .
Zapoznaj się z poniższym apletem.
Obliczymy pole przedstawionej w aplecie „parasolki”.
Zauważmy, że choć „parasolka” zbudowana jest z fragmentów koła, to jej pole można obliczyć mimo nieznajomości wzoru na pole koła.
„Parasolka” i prostokąt o bokach długości i składają się z części odpowiednio do siebie przystających. O takich figurach mówimy, że są równoważne. Pola tych figur są równe.
Pole „parasolki” jest równe .
Pole kwadratu
Kwadrat to prostokąt, którego boki są równe. Jego pole obliczamy więc podobnie jak pole prostokąta.
Pole kwadratu o boku długości jest równe
Pole kwadratu jest równe . Obliczymy długość jego przekątnej.
Obliczamy najpierw długość boku kwadratu.
Długość przekątnej obliczamy, korzystając ze wzoru na przekątną kwadratu.
Długość przekątnej kwadratu jest równa .
Pole kwadratu można obliczyć, znając długość jego przekątnej.
Pole kwadratu o przekątnej długości jest równe
Uzasadnij prawdziwość wzoru na pole kwadratu o przekątnej długości .
Obliczymy obwód i pole kwadratu, wiedząc, że jego przekątna jest o dłuższa od boku.
Oznaczmy: – długość boku kwadratu. Wtedy jego przekątna ma długość .
Korzystamy ze wzoru na przekątną kwadratu.
Usuwamy niewymierność z mianownika ułamka, rozszerzając ułamek przez i wykonując wskazane działania.
Obliczamy obwód kwadratu.
Obliczamy pole kwadratu.
Obwód kwadratu jest równy , a jego pole .
Pole równoległoboku
Rysunek przedstawia równoległobok (w różnym położeniu) o wysokości poprowadzonej do boku długości .
Przekształcimy równoległobok tak, aby otrzymać prostokąt.
przypadek
R14L4G1vICPhj1 przypadek
R5rBbJp57WBcr1 Zauważmy, że pole równoległoboku jest równe polu wyznaczonego prostokąta.
Pole równoległoboku o podstawie długości i wysokości poprowadzonej do tej podstawy jest równe
Stosunek długości boków równoległoboku jest równy . Obwód równoległoboku jest równy . Wysokość poprowadzona do dłuższego boku jest równa . Obliczymy długość drugiej wysokości równoległoboku.
Oznaczmy:
(gdzie jest liczbą dodatnią) – długość krótszego boku równoległoboku
(gdzie jest liczbą dodatnią) – długość dłuższego boku równoległoboku.
Obliczamy długości boków równoległoboku, korzystając z tego, że obwód równoległoboku jest równy .
Obliczamy pole równoległoboku.
Pole równoległoboku możemy też obliczyć jako iloczyn krótszego boku i wysokości poprowadzonej do tego boku.
Druga z wysokości równoległoboku jest równa .
Pole rombu
Rysunek przedstawia romb o wysokości i boku długości .
Przekształcimy romb tak, aby otrzymać prostokąt.
Zauważmy, że pole rombu jest równe polu wyznaczonego prostokąta.
Pole rombu o wysokości i boku długości jest równe
Rysunek przedstawia romb o przekątnych długości i . Przekształcimy romb tak, aby otrzymać prostokąt.
Zauważmy, że pole rombu jest równe polu wyznaczonego prostokąta.
Pole rombu o przekątnych długości i jest równe
Obwód rombu jest równy , a jedna z przekątnych rombu ma długość . Obliczymy pole rombu.
Obliczamy długość boku rombu.
Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym. Oznaczmy – punkt przecięcia przekątnych rombu, , , , – wierzchołki rombu. Otrzymujemy trójkąt prostokątny , w którym jedna z przyprostokątnych ma długość , a przeciwprostokątna ma długość .
Obliczamy długość drugiej przyprostokątnej, czyli połowę długości drugiej przekątnej rombu.
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.
Obliczamy długość drugiej przyprostokątnej.
Znając długości przekątnych rombu, obliczamy jego pole.
Pole rombu jest równe .
Zadania
Figura na rysunku zbudowana jest z jednakowych kwadratów. Pole tej figury jest równe .
Na środku kwadratowej podłogi w odległości od każdej ze ścian leży kwadratowy dywan. Na planie wykonanym w skali dywan ma wymiary i . Jaki procent powierzchni podłogi zajmuje ten dywan?
Oblicz pole prostokąta przedstawionego na poniższym rysunku.
Oblicz pole każdego z równoległoboków przedstawionych na rysunku. Przyjmij za jednostkę pole jednej kratki.
Proste i na poniższym rysunku są równoległe.
Pole równoległoboku jest równe .
Oblicz wysokość równoległoboku, wiedząc, że długość boku, do którego ta wysokość jest poprowadzona, wynosi .
Wysokość poprowadzona do dłuższego boku jest równa . Kąt ostry ma miarę . Oblicz drugą wysokość równoległoboku.
Wysokość równoległoboku jest sześć razy większa od długości boku, do którego została poprowadzona. Oblicz wysokość.
Pola równoległoboków przedstawionych na rysunku są równe . Oblicz obwód obu równoległoboków.
Rabatka ma kształt równoległoboku, takiego jak na rysunku.
Wydzielono część rabatki w kształcie rombu największego z możliwych i takiego, którego boki są równoległe do boków równoległoboku. Na części w kształcie rombu posadzono fiołki, a na pozostałej części bratki. Jaki procent rabatki obsadzono bratkami?
Każdy bok prostokąta zwiększono . O ile procent zwiększy się jego pole?