W tym rozdziale mówimy o trapezie, który nie jest równoległobokiem.

iZtrW4tbWU_d5e85

Wysokość trapezu

R1WYatkevEzJV1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 1

Narysuj dowolny trapez równoramienny i dowolny trapez prostokątny. W każdym z nich narysuj odcinek prostopadły do obu podstaw, tak by połączył podstawy. Zauważ, że w trapezie można narysować wiele takich odcinków, ale wszystkie one mają taką samą długość.

Wysokość trapezu

Definicja: Wysokość trapezu

Odcinek, który łączy obie podstawy trapezu i jest prostopadły do nich, nazywamy wysokością trapezu.

Ważne!

Trapez ma jedną wysokość. Można ją narysować w różnych miejscach. Wysokość trapezu to odcinek, który musi być prostopadły do podstaw i łączy podstawy lub ich przedłużenia.

Ćwiczenie 2

Narysuj wysokość trapezu.

RXZTe90k05v2J1

Rysunki czterech różnych trapezów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole trapezu – wzór

R1WJ6x3rbAFdW1

Pole trapezu

Własność: Pole trapezu

Pole trapezu jest połową iloczynu sumy długości jego podstaw oraz wysokości.

R7pMNhNJcAXzz1

Rysunek trapezu o podstawach a i b i wysokości h. Zapis: P = ułamek, licznik (a +b) razy h mianownik 2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iZtrW4tbWU_d5e196

Obliczanie pola trapezu

Ćwiczenie 3

Oblicz pola trapezów przedstawionych na rysunkach.

RuiPE5rlP8e3s1

Rysunki pięciu trapezów. Pierwszy trapez o podstawach 3 cm i 9 cm oraz wysokości 3 cm. Drugi trapez o podstawach 2 dm i 8 dm oraz wysokości 4 dm. Trzeci trapez o podstawach 4 m i 6 m oraz wysokości 3 m. Czwarty trapez o podstawach 3 cm i 4 cm oraz wysokości 2 cm. Piąty trapez o podstawach 11 cm i 27 cm oraz wysokości 12 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$18$
$20$
$15$
$7$
$228$

Ćwiczenie 4

Uzupełnij tabelę.

Tabela. Dane
Długości podstaw trapezu	$19 cm$	$8 dm$	$1,6 m$	$17 cm$	$26 m$	$25 cm$
Długości podstaw trapezu	$11 cm$	$15 dm$	$2,4 m$	$13 cm$	$34 m$	$0,17 m$
Wysokość	$7 cm$	$6 dm$	$1,2 m$	$\dots cm$	$\dots m$	$3 dm$
Pole trapezu	$\dots {cm}^{2}$	$\dots {dm}^{2}$	$\dots m 2$	$60 {cm}^{2}$	$270 m^{2}$	$\dots {dm}^{2}$

Ćwiczenie 5

Oblicz pole trapezu o podstawach długości $5,5 cm$ i $6,5 cm$ i wysokości $2,5 cm$ .

Pole trapezu jest równe $15 c m^{2}$ .

Ćwiczenie 6

Suma długości podstaw trapezu wynosi $9 m$ , a wysokość ma długość $5 m$ . Oblicz pole tego trapezu.

Pole trapezu jest równe $22,5 m^{2}$ .

Ćwiczenie 7

Jedna podstawa trapezu ma długość $7 cm$ , a druga jest od niej o $3 cm$ dłuższa. Oblicz pole tego trapezu, jeśli wiadomo, że wysokość trapezu jest równa $6 cm$ .

Pole trapezu jest równe $51 c m^{2}$ .

Ćwiczenie 8

Oblicz pole trapezu, w którym podstawy mają długości $12 dm$ i $8 dm$ , a wysokość jest dwa razy krótsza od dłuższej podstawy.

Pole trapezu jest równe $60 d m^{2}$ .

Ćwiczenie 9

Oblicz pole trapezu równoramiennego $ABCD$ przedstawionego na rysunku.

Rr8oVUTU0tME71

Rysunek trapezu równoramiennego A B C D i wysokości DE , poprowadzona do postawy dolnej AB. Podstawa AB podzielona na dwa odcinki AE i EB. Podane długości: CD =3 cm, DE = 4 cm, AE =2,5 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole trapezu jest równe $22 c m^{2}$ .

Ćwiczenie 10

Jedna podstawa trapezu równoramiennego ma długość $9,4 cm$ , a druga jest od niej o $3,8 cm$ krótsza. Oblicz pole tego trapezu, jeśli wiadomo, że jego wysokość jest dwa razy dłuższa od krótszej podstawy.

Pole trapezu jest równe $84 c m^{2}$ .

Pole trapezu – zadania

Ćwiczenie 11

Oblicz pola figur. Przyjmij, że bok kratki ma długość $1 dm$ .

R73mVKVRk8hKB1

Rysunki czterech różnych wielokątów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$4,5$
$8,5$
$16$
$15$

iZtrW4tbWU_d5e398

Znając pole trapezu oraz długości jego wysokości i jednej z podstaw, możemy wyznaczyć długość drugiej podstawy.

Przykład 1

Pole trapezu jest równe $45 c m^{2}$ , jego wysokość ma długość $5 cm$ , a jedna z podstaw $10 cm$ . Obliczmy długość drugiej podstawy.
Wiemy, że $P = \frac{(a + b) ∙ h}{2}$ , więc sposób obliczenia pola tego trapezu można przedstawić za pomocą następującego grafu

R97w8FQ2hN2ZZ1

Graf, który ilustruje sposób obliczenia pola trapezu a +10 cm puste razy 5 cm puste dzielone przez 2 cm = 45 centymetrów kwadratowych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeśli wykonamy działania odwrotne, to obliczymy długość podstawy $a$ .

RsNsGYfLIZxOa1

Graf, który ilustruje sposób obliczenia długości podstawy a. a + 10 cm =18 cm razy 5 cm =90 centymetrów kwadratowych dzielone przez 2 = 45 centymetrów kwadratowych. Odwrotnie: 45 centymetrów kwadratowych razy 2 =90 centymetrów kwadratowych dzielone przez 5 cm =18 cm -10cm =a =8 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczenia te można zapisać także bez grafu.
$45 c m^{2} ∙ 2 = 90 c m^{2}$
$90 c m^{2} : 5 cm = 18 cm$
$18 cm - 10 cm = 8 cm$
Obliczyliśmy więc, że druga podstawa trapezu ma długość $8 cm$ .

Ćwiczenie 12

RR1EclylEFsQQ1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 13

RWgIzP8XaGnU51

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

RHwY041VAWkth1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

Pole trapezu jest równe $36 c m^{2}$ . Oblicz wysokość trapezu, wiedząc, że podstawy mają długości $4,2 cm$ i $11,8 cm$ .

Wysokość trapezu ma $4,5 cm$ .

Ćwiczenie 16

Obwód trapezu równoramiennego wynosi $40 cm$ , a jego pole $40 c m^{2}$ . Oblicz długość wysokości tego trapezu, jeżeli ramię trapezu ma długość $7,5 cm$ .

Wysokość ma długość $3,2 cm$ .

Pole równoległoboku i rombu

Wysokość trójkąta

Pole trapezu

Wysokość trapezu

Pole trapezu – wzór

Obliczanie pola trapezu