Analizując przykłady zawarte w tym materiale, poznasz wzór na pole trójkąta oraz jego zastosowanie. Rozwiązując ćwiczenia, wykorzystasz zdobytą wiedzę obliczając pole trójkąta, a także wyznaczysz elementy trójkąta na podstawie znajomości jego pola.
Pole trójkąta – wzór
R1VvXAgQvOAHe1
Animacja przedstawia i uzasadnia prawdziwość wzoru na pole trójkąta.
Animacja przedstawia i uzasadnia prawdziwość wzoru na pole trójkąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja przedstawia i uzasadnia prawdziwość wzoru na pole trójkąta.
Pole trójkąta
Reguła: Pole trójkąta
Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości jego podstawy oraz wysokości poprowadzonej do tej podstawy.
RZFg3KwDN6cGY1
Rysunek trójkąta o boku a i wysokości h opuszczonej na bok a. Zapis: P = ułamek, licznik a razy h, mianownik dwa.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Podstawą trójkąta nazwiemy ten bok trójkąta, do którego poprowadzona jest wysokość.
1
Ćwiczenie 1
Długości boków trójkąta oznaczono literami , i . Litery , i oznaczają długości wysokości tego trójkąta poprowadzone odpowiednio do boków , i .
R1eOeW9RSv4Lz1
Rysunek trójkąta o bokach a, b, c oraz wysokościach: h z indeksem dolnym jeden, h z indeksem dolnym dwa, h z indeksem dolnym trzy poprowadzone odpowiednio do boków a, b i c trójkąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RCFxg7r6ixQ3F
Który wzór nie jest wzorem na pole tego trójkąta? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Obliczanie pola trójkąta
1
Ćwiczenie 2
Zapoznaj się z poniższym rysunkiem, na którym przedstawione są cztery trójkąty.
R1QhC9AXtLDfm1
Rysunki czterech różnych trójkątów. Trójkąt A ma podstawę długości czterech kratek i wysokość długości trzech kratek, trójkąt B ma podstawę długości dwóch kratek i wysokość długości pięciu kratek, trójkąt C ma podstawę długości trzech kratek i wysokość długości pięciu kratek, trójkąt D ma podstawę długości sześciu kratek i wysokość długości dwóch kratek.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RTkRCKmZZfh96
Który z trójkątów przedstawionych na rysunku ma pole równe ? Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. Trójkąt , 2. Trójkąt , 3. Trójkąt , 4. Trójkąt
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!
Pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości i jest równe połowie pola prostokąta o wymiarach i .
RJir3hYw1uxSm1
Rysunek prostokąta o bokach a i b. Poprowadzona przekątna dzieli go na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych a i b.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Pole trójkąta
Reguła: Pole trójkąta
Pole trójkąta prostokątnego jest równe połowie iloczynu długości jego przyprostokątnych.
R1AcVgsJ5lvO01
Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości a i b. Zapis: P = ułamek ,licznik a razy b mianownik 2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1aX4F3ZzGG4G1
Ćwiczenie 3
Trójkąt prostokątny ma boki długości: , i . Ile jest równe pole tego trójkąta? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RA3eRs92ki58k1
Ćwiczenie 4
Jedna z wysokości trójkąta ma długość , a bok trójkąta, prostopadły do tej wysokości, jest od niej razy krótszy. Oblicz pole tego trójkąta. Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Pole tego trójkąta jest równe 1. , 2. , 3. , 4. .
Jedna z wysokości trójkąta ma długość , a bok trójkąta, prostopadły do tej wysokości, jest od niej razy krótszy. Oblicz pole tego trójkąta. Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Pole tego trójkąta jest równe 1. , 2. , 3. , 4. .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 1
RPsbluvhqurcr
Animacja przedstawia, w jaki sposób obliczyć wysokość trójkąta mając daną długość boku trójkąta, na który opada ta wysokość oraz pole trójkąta.
Animacja przedstawia, w jaki sposób obliczyć wysokość trójkąta mając daną długość boku trójkąta, na który opada ta wysokość oraz pole trójkąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja przedstawia, w jaki sposób obliczyć wysokość trójkąta mając daną długość boku trójkąta, na który opada ta wysokość oraz pole trójkąta.
RC6EmCWspHzdY2
Ćwiczenie 5
Pole trójkąta jest równe . Oblicz wysokość tego trójkąta prostopadłą do boku o długości . Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RdqoRKoY9MNu42
Ćwiczenie 6
Pole trójkąta jest równe . Oblicz długość boku tego trójkąta, jeżeli wysokość trójkąta prostopadła do tego boku ma długość . Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
ResDZk1ZyeBR33
Ćwiczenie 7
Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość , a ramię trójkąta . Długość wysokości prostopadłej do podstawy trójkąta jest równa . Wykonaj potrzebne obliczenia i uzupełnij zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Pole tego trójkąta wynosi Tu uzupełnij.Wysokość prostopadła do ramienia trójkąta ma długość Tu uzupełnij.
Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość , a ramię trójkąta . Długość wysokości prostopadłej do podstawy trójkąta jest równa . Wykonaj potrzebne obliczenia i uzupełnij zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Pole tego trójkąta wynosi Tu uzupełnij.Wysokość prostopadła do ramienia trójkąta ma długość Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 8
Na bokach trójkąta prostokątnego zbudowano trójkąty prostokątne równoramienne, tak jak na poniższym rysunku.
RefWRzFHn4AGi1
Rysunek trójkąta prostokątnego A B C. Bok AB jest ramieniem trójkąta równoramiennego prostokątnego A B F, bok AC jest ramieniem trójkąta równoramiennego prostokątnego A C E, bok CB jest ramieniem trójkąta równoramiennego prostokątnego B C D.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1RZofBl85cZO
Pole trójkąta jest równe , pole trójkąta - , a pole trójkąta - . Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Długość boku wynosi Tu uzupełnij.Długość boku wynosi Tu uzupełnij.Długość boku wynosi Tu uzupełnij.Obwód trójkąta wynosi Tu uzupełnij.Pole trójkąta wynosi Tu uzupełnij.
Pole trójkąta jest równe , pole trójkąta - , a pole trójkąta - . Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Długość boku wynosi Tu uzupełnij.Długość boku wynosi Tu uzupełnij.Długość boku wynosi Tu uzupełnij.Obwód trójkąta wynosi Tu uzupełnij.Pole trójkąta wynosi Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Pole trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnych obliczymy ze wzoru: .
