Analizując przykłady zawarte w tym materiale, poznasz wzór na pole trójkąta oraz jego zastosowanie. Rozwiązując ćwiczenia, wykorzystasz zdobytą wiedzę obliczając pole trójkąta, a także wyznaczysz elementy trójkąta na podstawie znajomości jego pola.
Pole trójkąta – wzór R1VvXAgQvOAHe 1 Animacja przedstawia i uzasadnia prawdziwość wzoru na pole trójkąta.
Animacja przedstawia i uzasadnia prawdziwość wzoru na pole trójkąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1VvXAgQvOAHe
Pole trojkata_atrapa_animacja_502
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja przedstawia i uzasadnia prawdziwość wzoru na pole trójkąta.
Pole trójkąta Reguła: Pole trójkąta
Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości jego podstawy oraz wysokości poprowadzonej do tej podstawy.
RZFg3KwDN6cGY 1 Rysunek trójkąta o boku a i wysokości h opuszczonej na bok a. Zapis: P = ułamek, licznik a razy h, mianownik dwa.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Podstawą trójkąta nazwiemy ten bok trójkąta, do którego poprowadzona jest wysokość.
1
Ćwiczenie 1
Długości boków trójkąta oznaczono literami a , b i c . Litery h 1 , h 2 i h 3 oznaczają długości wysokości tego trójkąta poprowadzone odpowiednio do boków a , b i c .
R1eOeW9RSv4Lz 1 Rysunek trójkąta o bokach a, b, c oraz wysokościach: h z indeksem dolnym jeden, h z indeksem dolnym dwa, h z indeksem dolnym trzy poprowadzone odpowiednio do boków a, b i c trójkąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RCFxg7r6ixQ3F Który wzór nie jest wzorem na pole tego trójkąta? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. P = a · h 1 2 , 2. P = b · h 1 2 , 3. P = b · h 2 2 , 4. P = c · h 3 2
P = a ∙ h 1 2
P = b ∙ h 1 2
P = b ∙ h 2 2
P = c ∙ h 3 2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Obliczanie pola trójkąta 1
Ćwiczenie 2
Zapoznaj się z poniższym rysunkiem, na którym przedstawione są cztery trójkąty.
R1QhC9AXtLDfm 1 Rysunki czterech różnych trójkątów. Trójkąt A ma podstawę długości czterech kratek i wysokość długości trzech kratek, trójkąt B ma podstawę długości dwóch kratek i wysokość długości pięciu kratek, trójkąt C ma podstawę długości trzech kratek i wysokość długości pięciu kratek, trójkąt D ma podstawę długości sześciu kratek i wysokość długości dwóch kratek.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RTkRCKmZZfh96 Który z trójkątów przedstawionych na rysunku ma pole równe 6 ? Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. Trójkąt A , 2. Trójkąt B , 3. Trójkąt C , 4. Trójkąt D
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!
Pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości a i b jest równe połowie pola prostokąta o wymiarach a i b .
RJir3hYw1uxSm 1 Rysunek prostokąta o bokach a i b. Poprowadzona przekątna dzieli go na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych a i b.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Pole trójkąta Reguła: Pole trójkąta
Pole trójkąta prostokątnego jest równe połowie iloczynu długości jego przyprostokątnych.
R1AcVgsJ5lvO0 1 Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości a i b. Zapis: P = ułamek ,licznik a razy b mianownik 2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1aX4F3ZzGG4G 1
Ćwiczenie 3
Trójkąt prostokątny ma boki długości: 6 cm , 8 cm i 10 cm . Ile jest równe pole tego trójkąta? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 24 cm 2 , 2. 30 cm 2 , 3. 40 cm 2 , 4. 48 cm 2
24 c m 2
30 c m 2
40 c m 2
48 c m 2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RA3eRs92ki58k 1
Ćwiczenie 4
Jedna z wysokości trójkąta ma długość 1 , 2 m , a bok trójkąta, prostopadły do tej wysokości, jest od niej 3 razy krótszy. Oblicz pole tego trójkąta. Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Pole tego trójkąta jest równe 1. 0 , 28 , 2. 0 , 26 , 3. 0 , 24 , 4. 0 , 22 m 2 .
Jedna z wysokości trójkąta ma długość 1 , 2 m , a bok trójkąta, prostopadły do tej wysokości, jest od niej 3 razy krótszy. Oblicz pole tego trójkąta. Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Pole tego trójkąta jest równe 1. 0 , 28 , 2. 0 , 26 , 3. 0 , 24 , 4. 0 , 22 m 2 .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 1
RPsbluvhqurcr Animacja przedstawia, w jaki sposób obliczyć wysokość trójkąta mając daną długość boku trójkąta, na który opada ta wysokość oraz pole trójkąta.
Animacja przedstawia, w jaki sposób obliczyć wysokość trójkąta mając daną długość boku trójkąta, na który opada ta wysokość oraz pole trójkąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Film dostępny pod adresem /preview/resource/RPsbluvhqurcr
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja przedstawia, w jaki sposób obliczyć wysokość trójkąta mając daną długość boku trójkąta, na który opada ta wysokość oraz pole trójkąta.
RC6EmCWspHzdY 2
Ćwiczenie 5
Pole trójkąta jest równe 40 cm 2 . Oblicz wysokość tego trójkąta prostopadłą do boku o długości 16 cm . Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 5 cm , 2. 3 cm , 3. 8 cm , 4. 12 cm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RdqoRKoY9MNu4 2
Ćwiczenie 6
Pole trójkąta jest równe 36 cm 2 . Oblicz długość boku tego trójkąta, jeżeli wysokość trójkąta prostopadła do tego boku ma długość 6 cm . Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 12 cm , 2. 10 cm , 3. 14 cm , 4. 18 cm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
ResDZk1ZyeBR3 3
Ćwiczenie 7
Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość 6 cm , a ramię trójkąta 5 cm . Długość wysokości prostopadłej do podstawy trójkąta jest równa 4 cm . Wykonaj potrzebne obliczenia i uzupełnij zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Pole tego trójkąta wynosi Tu uzupełnij cm 2 .Wysokość prostopadła do ramienia trójkąta ma długość Tu uzupełnij cm .
Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość 6 cm , a ramię trójkąta 5 cm . Długość wysokości prostopadłej do podstawy trójkąta jest równa 4 cm . Wykonaj potrzebne obliczenia i uzupełnij zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Pole tego trójkąta wynosi Tu uzupełnij cm 2 .Wysokość prostopadła do ramienia trójkąta ma długość Tu uzupełnij cm .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 8
Na bokach trójkąta prostokątnego A B C zbudowano trójkąty prostokątne równoramienne, tak jak na poniższym rysunku.
RefWRzFHn4AGi 1 Rysunek trójkąta prostokątnego A B C. Bok AB jest ramieniem trójkąta równoramiennego prostokątnego A B F, bok AC jest ramieniem trójkąta równoramiennego prostokątnego A C E, bok CB jest ramieniem trójkąta równoramiennego prostokątnego B C D.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1RZofBl85cZO Pole trójkąta A B F jest równe 8 , pole trójkąta B C D - 12 , 5 , a pole trójkąta A C E - 4,5 . Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Długość boku A B wynosi Tu uzupełnij.Długość boku B C wynosi Tu uzupełnij.Długość boku A C wynosi Tu uzupełnij.Obwód trójkąta A B C wynosi Tu uzupełnij.Pole trójkąta A B C wynosi Tu uzupełnij.
Pole trójkąta A B F jest równe 8 , pole trójkąta B C D - 12 , 5 , a pole trójkąta A C E - 4,5 . Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Długość boku A B wynosi Tu uzupełnij.Długość boku B C wynosi Tu uzupełnij.Długość boku A C wynosi Tu uzupełnij.Obwód trójkąta A B C wynosi Tu uzupełnij.Pole trójkąta A B C wynosi Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Pokaż podpowiedź Pole trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnych a obliczymy ze wzoru: P = a · a 2 .
Jeżeli P = 8 , to 8 = a · a 2 .