Pole wielokąta

Aplet podzielony jest na dwie części. Po lewej stronie znajduje się miejsce na komentarz, a po prawej miejsce na rysunek. W lewej części widnieje tytuł apletu: Twierdzenie Picka. Pod spodem w jednej linii są: przycisk ze strzałką skierowaną w lewą stronę, numer etapu oraz przycisk ze strzałką w  prawą stronę. Przyciski pozwalają na poruszanie się pomiędzy etapami apletu. Poniżej znajduje się następująca treść komentarza: Austriacki matematyk George Pick odkrył w 1889 roku prosty sposób pozwalający wyznaczyć pole wielokąta, którego wierzchołki leżą na punktach kratowych. Okazuje się, że decyduje o tym liczba punktów kratowych znajdujących się na brzegu wielokąta i liczba punktów znajdujących się w jego wnętrzu. Pod komentarzem widnieje zdjęcie austriackiego matematyka George Picka. Po prawej stronie znajduje się na kartce w kratkę narysowany nieregularny sześciokąt. Zaznaczono na figurze sześć wierzchołków, a wewnątrz trzy punkty kratowe. W drugim etapie treść komentarza jest następująca: Na rysunku obok widoczne są trzy wielokąty o różnych kształtach. Wyróżniono kolorem punkty kratowe należące do brzegu każdego z nich oraz punkty kratowe leżące we wnętrz tych wielokątów. Możesz też odczytać wartość pola każdego z tych wielokątów. Są one równe i wynoszą $8 {\text{cm}}^{\text{2}}$. Sprawdź to koniecznie! Po prawej stronie są trzy wspomniane w komentarzu figury. Pierwsza z nich jest sześciokątem, która posiada jedenaście punktów kratowych na brzegu oraz trzy punkty kratowe wewnątrz figury. Druga figura jest pięciokątem, która posiada osiem punktów kratowych na brzegu oraz pięć punktów kratowych wewnątrz. Trzecia figura jest sześciokątem o dziesięciu punktach kratowych na brzegu oraz czterech punktach kratowych wewnątrz. Każda figura ma pole równe osiem. Na każdej z figur znajdują się punktu pozwalające na zmianę położenia dwóch wierzchołków figury. Wówczas pojawiają się nowe lub znikają już zaznaczone punkty kratowe znajdujące się na brzegu lub wewnątrz figury. W trzecim etapie komentarz brzmi: Zbadajmy jak zmienia się pole, gdy przy stałej liczbie punktów kratowych na brzegu wielokąta zmieniamy liczbę punktów kratowych w jego wnętrzu? W tym celu wykonujemy eksperyment. Przechodzimy do kolejnego etapu. Treść komentarza: Eksperyment 1. Przesuń w każdym wielokącie punkt P o jedną kratkę w górę. W ten sposób przybył jeden punkt wewnętrzny, ale nie zmieniła się liczba punktów na brzegu wielokąta. Co stało się z polem każdego wielokąta w wyniku tego eksperymentu? W pierwszej figurze zmieniając położenie jednego punktu bez zmiany liczby punktów kratowych na brzegu , tworzy się dodatkowy punkt kratowy wewnątrz figury. Pole wynosi wówczas dziewięć. Podobnie dzieje się dla dwóch kolejnych figur. Dodanie jednego punktu kratowego wewnątrz przy niezmienionej ilości punktów kratowych na brzegu powoduje wzrost pola do dziewięciu. W piątym etapie komentarz brzmi: Zapewne zauważyłeś, że: gdy liczba punktów kratowych wewnętrznych zwiększyła się o jeden wówczas pole wielokąta też zwiększyło się o jeden. Rysunki po prawo nie zmieniają się. W szóstym etapie komentarz brzmi: Teraz odkryjemy, co się dzieje z polem wielokąta, jeśli zmieni się liczba punktów kratowych na jego brzegu, a pozostanie nie zmieniona liczba punktów kratowych we wnętrzu wielokąta. Rysunki po prawo nie zmieniają się. Komentarz w siódmym etapie: Przesuń punkt Q w każdym wielokącie o jedną kratkę w górę. W ten sposób zwiększyła się liczba punktów kratowych na brzegu każdego wielokąta, ale liczba punktów wewnętrznych pozostała ta sama. Jak zmieniło się pole wielokąta w tym eksperymencie? Przesuwając wskazany punkt Q o jedną jednostkę do góry w każdej figurze po prawej stronie liczba punktów kratowych na brzegu wzrosła o jeden, a pole zwiększyło się do dziewięciu i pół. W ósmym etapie komentarz brzmi: Zapewne zauważyłeś, że gdy liczba punktów kratowych brzegu wielokąta zwiększyła się o jeden wówczas pole wielokąta zwiększyło się o jedną drugą. W ostatnim etapie komentarz brzmi: Oznaczamy liczbę punktów wewnętrznych symbolem W, zaś brzegowych symbolem B. Niech P oznacza pole wielokąta. Zatem P jest proporcjonalne do W plus jeden i do B przez dwa. Okazuje się, że pole wielokąta jest dokładnie równe: $P=W+\frac{B}{2}-1$. Pod wzorem znajduje się przycisk ze strzałką pozwalającą przejść wszystkie etapy apletu od początku.