Pole wielokąta
W tym materiale poznasz definicje wielokątów wypukłych i wklęsłych. Dowiesz się jak obliczać pola różnych wielokątów, w tym także wielokątów foremnych. Rozwiążesz zadania dotyczące tych zagadnień.
Wielokąty wypukłe i wklęsłe
Wielokąt jest wklęsły, jeżeli co najmniej jeden z jego kątów ma miarę większą od . Wielokąt, który nie jest wklęsły, to wielokąt wypukły.
Rysunek przedstawia kilka wielokątów wypukłych, a rysunek kilka wielokątów wklęsłych. Możemy zauważyć, że na rysunku odcinki łączące wybrane punkty w wielokącie są w nim zawarte, a na rysunku istnieją odcinki łączące punkty w wielokącie, które częściowo leżą poza tym wielokątem.
Jeżeli odcinek łączący dwa dowolne punkty w wielokącie jest całkowicie w nim zawarty, to taki wielokąt nazywamy wypukłym.
Trapezoid to czworokąt, w którym nie ma żadnej pary boków równoległych. Czworokąty wypukłe to trapezy albo trapezoidy.
Obliczanie pól wielokątów
Wiemy już, że każdy wielokąt, zarówno wypukły, jak i wklęsły, można podzielić na skończoną liczbę trójkątów. Pole wielokąta jest równe sumie pól trójkątów. Jednak nie zawsze łatwe jest wyznaczenie tych pól. W praktyce dzielimy więc wielokąt na takie figury, których pola łatwo wyznaczyć, przy tym staramy się, aby tych figur było jak najmniej.
Pokażemy, w jaki sposób obliczyć pole wielokąta , gdzie , , , , , , ?
Zaznaczamy wielokąt w układzie współrzędnych. Następnie dzielimy go na trapez oraz trójkąty i obliczamy pola tych figur.
Pole sześciokąta foremnego
Pole sześciokąta foremnego o boku długości jest równe
Sześciokąt foremny, którego bok ma długość , można podzielić na przystających trójkątów równobocznych. Długość boku takiego trójkąta jest równa , zatem jego pole to .
Pole sześciokąta foremnego jest sześciokrotnie większe od pola trójkąta, zatem
Obliczymy obwód sześciokąta foremnego o polu .
Obliczamy długość boku sześciokąta.
bo .
Obliczamy obwód sześciokąta.
Obwód sześciokąta jest równy .
Obliczymy długość krótszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości .
Sześciokąt można podzielić na trzy przystające sześciokąty foremne.
Obliczamy długość boku każdego z mniejszych sześciokątów.
bo i
Krótsza przekątna sześciokąta jest razy dłuższa od .
Krótsza przekątna sześciokąta foremnego o boku długości jest równa .
Pole deltoidu
Deltoid jest czworokątem, którego przekątne są prostopadłe i jedna z nich jest zawarta w osi symetrii deltoidu.
Wykażemy, że pole deltoidu można obliczyć podobnie jak pole rombu.
Rozważmy deltoid o przekątnych długości i .
Zauważmy, że deltoid można przekształcić w prostokąt o bokach długości i .
Pole tego prostokąta, jak również pole deltoidu, jest równe .
Pole deltoidu o przekątnych długości i jest równe
Krótsza przekątna dzieli deltoid na trójkąt równoboczny o polu i trójkąt równoramienny o ramieniu długości . Obliczymy pole deltoidu.
Oznaczmy wierzchołki deltoidu , , , . Trójkąt jest równoboczny i jego pole jest równe .
Obliczamy długość boku tego trójkąta.
Stąd
Z trójkąta prostokątnego , korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczamy długość boku .
Obliczamy pole deltoidu jako sumę pól trójkątów i .
Pole deltoidu jest równe .
Twierdzenie Picka
Matematyk Aleksander George Pick , pracujący na uniwersytetach w Wiedniu, Pradze i Dreźnie, odkrył metodę, która pozwala na obliczenie pola wielokąta, którego wierzchołki są punktami kratowymi (czyli leżą na przecięciu linii tworzących kratki) bez wykorzystania znanych nam wzorów i bez podziału wielokąta na trójkąty (lub inne wielokąty).
Zauważył on, że pole takich wielokątów zależy tylko od liczby punktów kratowych, które leżą wewnątrz i na brzegu wielokąta.
Zmieniaj położenie wierzchołków wielokąta. Obliczaj w każdym przypadku pole wielokąta i porównuj otrzymany przez Ciebie wynik z wynikiem zapisanym na ekranie.
Na rysunku przedstawione są trzy wielokąty, których pola są równe. Punkty kratowe leżące na brzegach wielokątów zaznaczone są kolorem niebieskim, a we wnętrzu – czerwonym.
Wyznacz pole wielokąta, korzystając ze wzoru Picka.
Bronek nie dokończył rysunku wielokąta . Dokończ rysunek, wiedząc, że pole wielokąta jest równe , a każdy z brakujących wierzchołków leży w jednym z punktów zaznaczonych na rysunku.
Bronek narysował wielokąt . Pole tego wielokąta jest równe , a wewnątrz niego znajduje się punktów kratowych. Ile punktów kratowych leży na brzegu tego wielokąta?
Udowodnij, że jeśli przekątne czworokąta są prostopadłe, to niezależnie od jego kształtu pole czworokąta jest równe połowie iloczynu długości przekątnych.
Uporządkuj rosnąco liczby , , , gdzie jest polem sześciokąta, którego bok ma długość . jest polem rombu, którego przekątna ma długość , a bok ma długość . Natomiast jest polem deltoidu o przekątnych długości .
Oszacuj, ile szkła potrzeba na wykonanie dwóch witraży, z których jeden ma kształt sześciokąta foremnego o boku długości , a drugi deltoidu o przekątnych długości .
Punkt jest punktem wewnętrznym ośmiokąta foremnego. Leży on w odległości od każdego z wierzchołków. Oblicz pole ośmiokąta.
Każdy z boków trójkąta równobocznego podzielono na trzy równe części. Połączono punkty podziału i otrzymano sześciokąt foremny. Oblicz pole tego sześciokąta, jeżeli bok trójkąta ma długość .
Bok kwadratu ma długość . Każdy z boków tego kwadratu podzielono na trzy równe części. Połączono punkty podziału i otrzymano ośmiokąt. Oblicz pole tego ośmiokąta.